النهايات والاتصال

كثير الحدود متصل على \( \mathbb{R} \)، إذن النهاية عند \( 2 \) هي قيمة الدالة:

\[ 3(2)^2 - 5(2) + 1 = 3\cdot 4 - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3. \]

إذن: \[ \lim_{x\to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3. \]

بالتعويض: \[ \frac{1 - 3 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0} \] شكل غير محدد. نحلّل البسط:

\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). \]

إذن: \[ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = x - 2 \] لكل \( x \neq 1 \).

النهاية: \[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x\to 1} (x - 2) = -1. \]

درجة البسط والمقام هي \( 2 \)، إذن نقسم على \( x^2 \):

\[ \frac{4x^2 - x + 1}{2x^2 + 3x - 5} = \frac{4 - \dfrac{x}{x^2} + \dfrac{1}{x^2}} {2 + \dfrac{3x}{x^2} - \dfrac{5}{x^2}} = \frac{4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} {2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{5}{x^2}}. \]

عندما \( x\to +\infty \) تؤول الحدود التي فيها \( \dfrac{1}{x} \) أو \( \dfrac{1}{x^2} \) إلى الصفر، إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{4x^2 - x + 1}{2x^2 + 3x - 5} = \frac{4}{2} = 2. \]

التعويض يعطي \( \dfrac{0}{0} \). نضرب في المرافق:

\[ \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}. \]

النهاية: \[ \lim_{x\to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}. \]

نكتب: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. \]

الفرق: \[ \tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x\left(\frac{1}{\cos x} - 1\right). \]

يمكن كتابة: \[ \frac{1}{\cos x} - 1 = \frac{1 - \cos x}{\cos x}. \]

إذن: \[ \tan x - \sin x = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{\cos x}. \]

ندرس: \[ \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x}{\cos x}. \]

باستعمال النهايات الشهيرة: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\quad \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2},\quad \lim_{x\to 0} \frac{x}{\cos x} = 0. \]

بالتالي: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0. \]

1) المقام ينعدم عند \( x = 2 \)، إذن: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}. \]

2) \( f \) خارج كثيرتي حدود، وكل كثيرات الحدود متصلة على \( \mathbb{R} \)، وبالتالي \( f \) متصلة على مجال تعريفها \( D_f \).

3) العدد \( 2 \) لا ينتمي إلى \( D_f \)، وبالتالي \( f \) غير معرّفة في \( 2 \)، فلا يمكن الحديث عن اتصال في هذه النقطة.

عندما \( x \le 1 \), لدينا \( f(x) = x^2 - 1 \)، وبالتالي: \[ \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 = 0. \]

عندما \( x > 1 \), لدينا \( f(x) = 3x - 4 \)، إذن: \[ \lim_{x\to 1^+} f(x) = 3\cdot 1 - 4 = -1. \]

قيمة الدالة عند \( 1 \) تحسب من التعبير الأول: \[ f(1) = 1^2 - 1 = 0. \]

بما أن النهاية اليسرى \( 0 \) والنهاية اليمنى \( -1 \) مختلفتان، فلا وجود للنهاية عند \( 1 \)، وبالتالي \( f \) غير متصلة في \( 1 \).

1) \( f \) كثير حدود، إذن متصلة على \( \mathbb{R} \)، وبالتالي متصلة على كل مجال، خصوصاً: \[ [1,2]. \]

2) نحسب: \[ f(1) = 1 - 1 - 1 = -1,\quad f(2) = 8 - 2 - 1 = 5. \]

3) لاحظ أن: \[ f(1) < 0,\quad f(2) > 0. \] وبما أن \( f \) متصلة على \( [1,2] \)، فإن مبرهنة القيم المتوسطة تضمن وجود عدد \( \xi \) في \( [1,2] \) بحيث: \[ f(\xi) = 0. \]

1) المقام ينعدم عند \( x = 3 \)، إذن: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}. \]

2) ندرس النهاية قرب \( 3 \). عندما يقترب \( x \) من \( 3 \)، يبقى البسط \( 2x + 1 \) قريباً من عدد غير منعدم، بينما المقام يقترب من الصفر، وبالتالي: \[ \lim_{x\to 3^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to 3^+} f(x) = +\infty. \]

إذن المستقيم \( x = 3 \) مستقيم مقارب عمودي.

3) عند \( +\infty \): \[ \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{x(2 + \dfrac{1}{x})}{x(1 - \dfrac{3}{x})} = \frac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{3}{x}}. \]

عندما \( x\to +\infty \) تؤول الكسور إلى الصفر، إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} f(x) = 2. \]

المستقيم \( y = 2 \) مستقيم مقارب أفقي عند \( +\infty \) (ونفس الشيء عند \( -\infty \)).

نكتب: \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}. \]

1) عند \( +\infty \): \[ \frac{f(x)}{x} = \frac{x + \dfrac{1}{x}}{x} = 1 + \frac{1}{x^2}. \]

إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1. \]

2) نبحث عن مستقيم من الشكل \( y = ax + b \) بحيث: \[ \lim_{x\to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0. \]

بما أنّ نسبة \( \dfrac{f(x)}{x} \) تؤول إلى \( 1 \)، نأخذ \( a = 1 \)، ثم نحسب: \[ f(x) - x = \left(x + \frac{1}{x}\right) - x = \frac{1}{x}. \]

إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} [f(x) - x] = 0 \] فيكون للمُنحنى أسيمبتوط مائل بمعادلة: \[ y = x. \]

من المعروف أن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0. \]

بما أن \( \sqrt{x} \) أصغر من \( x \) ولكن يكبر بدون حد أيضاً، يمكن استعمال المقارنة:

نكتب: \[ \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{x} \cdot \sqrt{x}. \]

عند \( +\infty \) لدينا: \[ \frac{\ln x}{x} \to 0 \] و \[ \sqrt{x} \to +\infty. \]

تحليل أكثر دقة في البرنامج يبيّن أن نمو \( \sqrt{x} \) أبطأ من \( x \)، وباستخدام طرق متقدّمة (أو معطى تمريني) نستنتج: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0. \]

1) لدينا: \[ h(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1}. \]

لكي تكون الجذور معرفة، يجب أن يكون: \[ x^2 + 1 > 0 \] وهذا محقّق لكل \( x \) حقيقي، إذن: \[ D_h = \mathbb{R}. \]

2) الدالة \( g \) كثير حدود، فهي متصلة على \( \mathbb{R} \). الدالة \( f \) متصلة على المجال \( ]0,+\infty[ \)، وبما أنّ: \[ g(x) = x^2 + 1 > 0 \] لكل \( x \)، فتركيب \( f \circ g \) متصل على \( \mathbb{R} \).