Décroissance radioactive
1) Introduction générale
Certains noyaux atomiques sont instables et se transforment spontanément en noyaux plus stables en émettant des particules et/ou des photons : c’est la radioactivité. À l’échelle d’un noyau, l’instant de la désintégration est imprévisible ; à l’échelle d’un grand nombre de noyaux, le phénomène obéit à une loi statistique simple et exploitable au Bac (SM).
Isotope radioactif : noyaux d’un même élément chimique (même Z) ayant un nombre de masse A différent et instables. Exemples : \(^{14}_6\!C\), \(^{60}_{27}\!Co\), \(^{226}_{88}\!Ra\).
2) Modes de désintégration
- α (alpha) : émission d’un noyau d’hélium \(^{4}_{2}\!He\). Exemple : \(^{238}_{92}\!U \rightarrow ^{234}_{90}\!Th + ^{4}_{2}\!He\).
- β⁻ : un neutron \(\to\) proton + électron + antineutrino : \(^{14}_{6}\!C \rightarrow ^{14}_{7}\!N + e^- + \bar{\nu}_e\).
- β⁺ : un proton \(\to\) neutron + positon + neutrino : \(^{22}_{11}\!Na \rightarrow ^{22}_{10}\!Ne + e^+ + \nu_e\).
- γ (gamma) : désexcitation d’un noyau par émission d’un photon \(E_\gamma=h\nu\) (A et Z inchangés).
3) Modèle probabiliste et équation différentielle
On suppose que, durant un court intervalle de temps \(\mathrm{d}t\), la probabilité pour un noyau de se désintégrer est \(\lambda\,\mathrm{d}t\), où \(\lambda\) est la constante radioactive (s\(^{-1}\)).
Pour \(N(t)\) noyaux non désintégrés à l’instant \(t\), la variation pendant \(\mathrm{d}t\) vaut \(\mathrm{d}N=-\lambda N\,\mathrm{d}t\). En intégrant :
\[\frac{\mathrm{d}N}{N}=-\lambda\,\mathrm{d}t \quad\Rightarrow\quad \ln N = -\lambda t + C \Rightarrow \boxed{\,N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\,}\]
- La courbe \(N(t)\) est une exponentielle décroissante partant de \(N_0\).
- La durée de vie moyenne \(\tau\) vérifie \(\tau=\dfrac{1}{\lambda}\).
4) Grandeurs caractéristiques
Demi-vie : \(T_{1/2}\) telle que \(N(T_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\) d’où \(\boxed{T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}}\).
Durée de vie moyenne : \(\tau=\dfrac{1}{\lambda}\) (liée à l’aire sous la courbe de probabilité).
- Après \(n\) demi-vies : \(N = \dfrac{N_0}{2^n}\) ; l’activité \(A=\lambda N\) suit la même loi.
- Temps pour atteindre une fraction \(p\in(0,1)\) : \(t=\dfrac{\ln(1/p)}{\lambda}\).
5) Activité et lien avec la masse
Activité : \(A(t)=\left|\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\right|=\lambda N(t)=A_0 e^{-\lambda t}\) (unité SI : Becquerel, Bq).
Pour une masse \(m\) d’isotope de masse molaire \(M\) : \(N=\dfrac{m}{M}N_A\) d’où \(A=\lambda\dfrac{m}{M}N_A\). À \(t=0\) : \(A_0=\lambda \dfrac{m_0}{M}N_A\).
Exemple : \(^{60}\!Co\) (\(T_{1/2}=5{,}27\) ans). Pour \(m=2{,}0\ \text{mg}\) : \(\lambda=\ln2/T_{1/2}\) (en s\(^{-1}\)), \(A_0=\lambda\dfrac{m}{M}N_A \approx 1{,}1\times10^{11}\ \text{Bq}\) (ordre de grandeur).
6) Exploitation graphique (linéarisation)
La relation \(\ln N(t)=-\lambda t+\ln N_0\) montre que la représentation semi-logarithmique (ou la droite de \(\ln N\) en fonction de \(t\)) est une droite de pente \(-\lambda\).
- Demi-vie expérimentale : lire la durée pour que la courbe \(N(t)\) tombe à \(N_0/2\), ou utiliser la pente \(-\lambda\) de la droite \(\ln N\) vs \(t\) puis \(T_{1/2}=\ln2/\lambda\).
- Table des demi-vies : \(t=nT_{1/2}\Rightarrow N=N_0/2^{n}\) (utile pour des ordres de grandeur rapides).
7) Chaînes de désintégration et équilibre séculaire
Dans une succession de désintégrations, la population de la fille croît puis décroît. Si la mère a une demi-vie très longue devant celle de la fille, on atteint un équilibre séculaire où les activités deviennent presque égales :
\(\boxed{A_\text{mère}\approx A_\text{fille}}\quad\) si \(\;T_{1/2,\text{mère}}\gg T_{1/2,\text{fille}}\).
Cette propriété est exploitée en datation des séries de l’uranium et dans la radioprotection.
8) Mélanges isotopiques et limitations
Pour un mélange de deux radioéléments indépendants (constantes \(\lambda_1,\lambda_2\)) :
\(N(t)=N_{01}e^{-\lambda_1 t}+N_{02}e^{-\lambda_2 t}\), \(A(t)=\lambda_1 N_{01}e^{-\lambda_1 t} + \lambda_2 N_{02}e^{-\lambda_2 t}\) (somme d’exponentielles).
La courbe n’est plus une simple droite en semi-log ; on détecte souvent deux pentes à courts et longs temps.
9) Applications (Bac)
- Datation au carbone 14 : après la mort de l’organisme, l’apport en \(^{14}\!C\) cesse ; la mesure du rapport \(^{14}\!C/^{12}\!C\) et \(T_{1/2}=5730\ \text{ans}\) permet d’obtenir l’âge \(t\) via \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\).
- Médecine nucléaire : traceurs (scintigraphie), radiothérapie (sources γ, β).
- Industrie : jaugeage, contrôle d’épaisseur, stérilisation.
10) Exercices type Bac (12) avec solutions
Exercice 1 — Loi exponentielle
Un échantillon contient \(N_0=8,0\times10^{12}\) noyaux ; \(\lambda=2{,}0\times10^{-4}\ \text{s}^{-1}\). Calculer \(N(3{,}0\times10^3\ \text{s})\).
\(N=N_0 e^{-\lambda t}=8{,}0\times10^{12}\,e^{-0{,}0002\times3000}=8{,}0\times10^{12}e^{-0{,}6}\approx 4{,}39\times10^{12}\).
Exercice 2 — Demi-vie
Un radionucléide a \(\lambda=1{,}6\times10^{-3}\ \text{s}^{-1}\). Déterminer \(T_{1/2}\) et \(\tau\).
\(T_{1/2}=\ln2/\lambda=0{,}693/1{,}6\times10^{-3}=433\ \text{s}\). \(\tau=1/\lambda=625\ \text{s}\).
Exercice 3 — Activité ↔ masse
Isotope de masse molaire \(M=60\ \text{g·mol}^{-1}\), \(\lambda=4{,}0\times10^{-8}\ \text{s}^{-1}\), masse \(m=1{,}5\ \text{mg}\). Calculer \(A_0\).
\(N=\dfrac{m}{M}N_A=\dfrac{1{,}5\times10^{-3}}{60}\times6{,}022\times10^{23}=1{,}505\times10^{19}\). Donc \(A_0=\lambda N\approx 6{,}0\times10^{11}\ \text{Bq}\).
Exercice 4 — Après n demi-vies
Au bout de 5 demi-vies, quelle fraction de l’activité initiale subsiste ?
\(A=A_0/2^5=A_0/32=3{,}125\ \%\).
Exercice 5 — Linéarisation
La droite \(\ln N = -0{,}012\,t + 27{,}4\) (t en jours). Déterminer \(\lambda\) et \(T_{1/2}\).
\(\lambda=0{,}012\ \text{j}^{-1}\). \(T_{1/2}=\ln2/\lambda=57{,}8\ \text{jours}\).
Exercice 6 — Âge par C-14
On mesure \(N/N_0=0{,}18\). \(T_{1/2}=5730\ \text{ans}\). Calculer l’âge.
\(t=\frac{\ln(1/0{,}18)}{\lambda}=\frac{\ln(5{,}56)}{\ln2/5730}\approx \frac{1{,}714}{0{,}000121}\approx 14\,170\ \text{ans}\) (≈ 14,2 ka).
Exercice 7 — Activité résiduelle
Échantillon : \(A_0=2{,}0\ \text{MBq}\), \(T_{1/2}=10\ \text{h}\). Quelle activité après 36 h ?
36 h = 3,6 demi-vies ⇒ \(A=A_0/2^{3{,}6}=2{,}0\times10^{6}/12{,}12 \approx 1{,}65\times10^{5}\ \text{Bq}\).
Exercice 8 — Chaîne mère/fille
Mère très longue, fille très courte. Que vaut le rapport \(A_\text{fille}/A_\text{mère}\) en régime permanent ?
\(A_\text{fille}\approx A_\text{mère}\) (équilibre séculaire, rapport ≈ 1).
Exercice 9 — Mélange de deux exponentielles
On observe deux pentes sur le graphe \(\ln A\) vs \(t\). Interpréter.
Présence de deux isotopes (ou deux voies) avec \(\lambda_1\neq\lambda_2\). À petit \(t\), domine le terme à grande activité initiale ; à grand \(t\), reste le terme à plus petite \(\lambda\) (demi-vie plus longue).
Exercice 10 — Équation différentielle
Montrer que \(A(t)\) vérifie aussi \(\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\).
Comme \(A=\lambda N\) et \(\lambda\) constant, \(\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\lambda\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda(-\lambda N)=-\lambda(\lambda N)=-\lambda A\).
Exercice 11 — Temps pour passer de A₁ à A₂
\(A_1=4{,}0\ \text{MBq}\), \(A_2=0{,}50\ \text{MBq}\), \(T_{1/2}=8\ \text{j}\). Calculer \(\Delta t\).
\(A_2/A_1=e^{-\lambda \Delta t}\Rightarrow \Delta t=\dfrac{\ln(A_1/A_2)}{\lambda}=\dfrac{\ln 8}{\ln2/8}=3\times8=24\ \text{j}\).
Exercice 12 — Masse restante
Un échantillon de masse \(m_0=10\ \text{mg}\) de \(^{131}I\) (\(T_{1/2}=8{,}0\ \text{j}\)). Masse après 20 jours ?
\(n=20/8=2{,}5\) demi-vies ⇒ \(m=m_0/2^{2{,}5}=10/5{,}657\approx 1{,}77\ \text{mg}\).
11) À retenir
- \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\), \(A(t)=A_0 e^{-\lambda t}\), \(T_{1/2}=\ln2/\lambda\), \(\tau=1/\lambda\).
- Masse ↔ activité : \(A=\lambda \dfrac{m}{M}N_A\).
- Linéarisation : droite \(\ln N\) vs \(t\) (pente \(-\lambda\)).
- Chaîne mère/fille : équilibre séculaire \(\Rightarrow A_\text{mère}\approx A_\text{fille}\).
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