Noyaux, masse et énergie

1) Introduction

La physique nucléaire relie la composition des noyaux (protons et neutrons), leur masse et les énergies mises en jeu lors des transformations. Les notions essentielles au programme : défaut de masse, énergie de liaison (totale et par nucléon), bilans énergétiques des réactions, courbe de stabilité et ordre de grandeur des phénomènes de fission/fusion.

Noyau : assemblage de \(Z\) protons et \(N\) neutrons (nucléons). Nombre de masse \(A=Z+N\). Représentation \(^A_Z\!X\).

2) Unités et constantes utiles

Unité de masse atomique : \(1\ \mathrm{u}=1/12\) de la masse de \({}^{12}\mathrm{C}\).
Équivalence masse–énergie : \(E=mc^2\).
Conversion : \(\boxed{1\ \mathrm{u}\,c^2 = 931{,}5\ \mathrm{MeV}}\) (à connaître).
Masse du proton \(m_p=1{,}007276\ \mathrm{u}\), du neutron \(m_n=1{,}008665\ \mathrm{u}\), de l’électron \(m_e=0{,}00054858\ \mathrm{u}\).
Charge élémentaire \(e=1{,}602\times10^{-19}\ \mathrm{C}\), \(1\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\ \mathrm{J}\).

Au Bac, travaillez en u et MeV, puis convertissez si nécessaire en joules : \(1\ \mathrm{MeV}=1{,}602\times10^{-13}\ \mathrm{J}\).

3) Défaut de masse et énergie de liaison

Défaut de masse d’un noyau \(^A_Z\!X\) : \(\displaystyle \Delta m = Zm_p + Nm_n - m_{\text{noyau}}\) (en u). C’est la différence entre la somme des masses des nucléons libres et la masse du noyau lié.

Énergie de liaison : \(\displaystyle \boxed{E_L=\Delta m\,c^2}\). Elle quantifie l’énergie à fournir pour désassembler totalement le noyau en nucléons libres.

Énergie de liaison par nucléon : \(\displaystyle \varepsilon=\dfrac{E_L}{A}\). C’est un indicateur de stabilité (plus \(\varepsilon\) est grand, plus le noyau est fortement lié).

Le défaut de masse correspond à l’énergie de liaison stockée dans le noyau.

Exemple — \({}^{4}\mathrm{He}\) : \(Z=2, N=2\). \(m_p=1{,}007276\ \mathrm{u}\), \(m_n=1{,}008665\ \mathrm{u}\), \(m({}^{4}\mathrm{He})=4{,}002603\ \mathrm{u}\).

\(\Delta m=2m_p+2m_n-m_{\mathrm{noyau}}=2(1{,}007276)+2(1{,}008665)-4{,}002603=0{,}030372\ \mathrm{u}\).

\(E_L=\Delta m c^2=0{,}030372\times 931{,}5\simeq 28{,}3\ \mathrm{MeV}\), donc \(\varepsilon\approx 7{,}1\ \mathrm{MeV/nucléon}\).

4) Courbe de l’énergie de liaison par nucléon

La variation de \(\varepsilon\) en fonction de \(A\) est caractéristique : elle augmente rapidement pour les petits \(A\), atteint un maximum vers \(A\approx 56\) (noyaux du fer), puis décroît lentement pour les noyaux lourds.

La stabilité maximale se situe près du fer. Les noyaux légers gagnent de l’énergie par fusion, les noyaux très lourds par fission.

Fusion (petits \(A\) \(\to\) plus grand \(A\)) : \(\varepsilon\) augmente, énergie libérée.
Fission (très grand \(A\) \(\to\) fragments plus légers) : \(\varepsilon\) augmente, énergie libérée.

5) Réactions nucléaires et bilan énergétique

Énergie libérée (ou absorbée) \(Q\) d’une réaction : \(\displaystyle \boxed{Q=\left(\sum m_{\text{initiale}}-\sum m_{\text{finale}}\right)c^2}\).

\(Q>0\) : réaction exoénergétique (libère de l’énergie) ; \(Q<0\) : endoénergétique.
Conservation : nombre de masse \(A\), numéro atomique \(Z\) (ou des charges), et énergie–impulsion.

Exemple fission — \({}^{235}\mathrm{U}+n \rightarrow {}^{92}\mathrm{Kr}+{}^{141}\mathrm{Ba}+3n\) (schématique) : la somme des masses diminue, \(Q\sim 200\ \mathrm{MeV}\) par fission (ordre de grandeur).

Exemple fusion — \(^{2}\mathrm{H}+{}^{3}\mathrm{H}\rightarrow {}^{4}\mathrm{He}+n\) : \(Q\approx 17{,}6\ \mathrm{MeV}\).

6) Stabilité, vallée de stabilité et rôles de Z et N

Pour une stabilité maximale, le rapport \(N/Z\) varie avec \(A\) (plus de neutrons nécessaires pour compenser la répulsion coulombienne entre protons). Les noyaux s’ajustent via des désintégrations β afin de se rapprocher de la « vallée de stabilité ».

Au programme : savoir identifier une réaction possible respectant \(A\) et \(Z\), discuter qualitativement la stabilité via \(\varepsilon\) et le signe de \(Q\).

7) Méthodologie Bac — étapes-clés

Écrire la réaction et vérifier les bilans \(A\) et \(Z\).
Rassembler les masses (nucléons/atomes, attention aux e⁻ si on utilise des masses atomiques).
Calculer \(\Delta m\) puis \(Q=\Delta m c^2\) (en MeV via \(931{,}5\)).
Conclure : signe de \(Q\), énergie libérée/absorbée, ordre de grandeur par nucléon.

Toujours préciser les unités et convertir correctement (u → MeV, MeV → J si demandé).

8) Exercices type Bac (12) avec solutions détaillées

Exercice 1 — Défaut de masse et \(E_L\) (He)

Reprendre \({}^{4}\mathrm{He}\) avec les données de la section 3. Calculer \(\Delta m\), \(E_L\) et \(\varepsilon\).

Résultat déjà obtenu : \(\Delta m=0{,}030372\ \mathrm{u}\), \(E_L\approx 28{,}3\ \mathrm{MeV}\), \(\varepsilon\approx 7{,}1\ \mathrm{MeV/nucléon}\).

Exercice 2 — Énergie de liaison (Fe-56)

On admet \(m(^{56}\mathrm{Fe})=55{,}9349\ \mathrm{u}\). Calculer approximativement \(\varepsilon\) en utilisant \(m_p,m_n\).

\(\Delta m=26m_p+30m_n - m_{\text{noyau}}\approx 26(1{,}007276)+30(1{,}008665)-55{,}9349=0{,}528\ \mathrm{u}\) (approx.).

\(E_L\approx 0{,}528\times 931{,}5=491\ \mathrm{MeV}\). \(\varepsilon=491/56\approx 8{,}8\ \mathrm{MeV/nucléon}\) (valeur élevée → très stable).

Exercice 3 — Signe de Q (qualitatif)

La fusion de deux noyaux légers vers un noyau de masse proche du fer est-elle exoénergétique ? Pourquoi ?

Oui, car \(\varepsilon\) augmente : le noyau final est plus lié par nucléon → masse totale diminue → \(Q>0\).

Exercice 4 — Bilan A et Z

Compléter et équilibrer : \({}^{14}_{7}\mathrm{N}(\alpha, p) \, ?\)

Entrée : \(A:14+4=18\), \(Z:7+2=9\). Sortie inclut p (\(A=1,Z=1\)). Noyau X : \(A=17,Z=8\Rightarrow {}^{17}_{8}\mathrm{O}\).

Exercice 5 — Q d’une réaction simple

Réaction : \(^{2}\mathrm{H}+{}^{2}\mathrm{H}\rightarrow {}^{3}\mathrm{He}+n\). Estimer \(Q\) (ordre de grandeur) sachant que la fusion légère est exoénergétique.

Par la courbe \(\varepsilon\), on attend \(Q>0\), de l’ordre de quelques MeV. Valeur connue ~3 à 4 MeV (admis).

Exercice 6 — Conversion d’unités

Convertir \(25\ \mathrm{MeV}\) en joules.

\(25\times 1{,}602\times10^{-13}=4{,}005\times10^{-12}\ \mathrm{J}\).

Exercice 7 — Masse ↔ énergie

Quelle masse correspond à \(200\ \mathrm{MeV}\) d’énergie ?

En u : \(m=\dfrac{E}{c^2}=\dfrac{200}{931{,}5}\ \mathrm{u}\approx 0{,}215\ \mathrm{u}\). En kg : \(200\ \mathrm{MeV}=3{,}204\times10^{-11}\ \mathrm{J}\), \(m=E/c^2\approx 3{,}56\times10^{-28}\ \mathrm{kg}\).

Exercice 8 — Discussion stabilité

Comparer la stabilité de \({}^{12}\mathrm{C}\) et \({}^{56}\mathrm{Fe}\) via \(\varepsilon\).

\(\varepsilon\) du fer est supérieure → fer plus « serré » (lié) par nucléon → stabilité plus grande.

Exercice 9 — Fission qualitative

Pourquoi les noyaux très lourds peuvent-ils libérer de l’énergie par fission ?

Car les fragments obtenus ont une \(\varepsilon\) moyenne plus élevée : masse totale diminue → \(Q>0\).

Exercice 10 — Correction d’erreur

Un élève écrit \(Q=\sum m_{\text{finale}}-\sum m_{\text{initiale}}\). Corriger.

La définition utilisée au cours : \(Q=\left(\sum m_{\text{initiale}}-\sum m_{\text{finale}}\right)c^2\).

Exercice 11 — Seuil d’une réaction

Si \(Q<0\) pour une réaction \(a+A\to B+b\), que conclure sur l’énergie minimale du projectile ?

Un seuil énergétique est requis : l’énergie cinétique initiale doit au moins compenser \(|Q|\) (plus termes cinématiques).

Exercice 12 — Énergie par nucléon libérée

Une fission libère \(200\ \mathrm{MeV}\) pour \(A=236\). Énergie libérée par nucléon ?

\(200/236\simeq 0{,}85\ \mathrm{MeV/nucléon}\) (ordre de grandeur, à comparer aux 8–9 MeV/nucléon de liaison).

9) À retenir

Défaut de masse \(\Delta m\) → énergie de liaison \(E_L=\Delta m c^2\), indicateur de stabilité \(\varepsilon=E_L/A\).
Courbe \(\varepsilon(A)\) : maximum près du fer ⇒ fusion (légers) et fission (lourds) libèrent de l’énergie.
Bilan énergétique : \(Q=(\Sigma m_i-\Sigma m_f)c^2\), vérifier \(A,Z\).
Conversions à maîtriser : \(1\ \mathrm{u}c^2=931{,}5\ \mathrm{MeV}\), \(1\ \mathrm{MeV}=1{,}602\times10^{-13}\ \mathrm{J}\).