Dipôle RC

1) Définition, rappels et grandeurs

Un dipôle RC est l’association **série** d’une résistance \(R\) (loi d’Ohm \(u_R=Ri\)) et d’un condensateur \(C\) (\(i=C\,\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}\)). La constante de temps est \(\boxed{\tau=RC}\).

Loi des mailles (source \(u_E(t)\)) : \(u_E(t)=u_R(t)+u_C(t)\).
Énergie dans \(C\) : \(E_C=\dfrac{1}{2}C\,u_C^2\). Courant positif si \(u_C\) augmente.
Unités : \(R[\Omega]\), \(C[\text{F}]\), \(\tau[\text{s}]\), \(f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}[\text{Hz}]\).

Figure A — Dipôle RC série alimenté par \(u_E(t)\).

2) Équation différentielle générale et conditions initiales

Pour un RC série : \(\boxed{\,\tau\,\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}+u_C=u_E(t)\,}\) avec \(\tau=RC\).

De \(u_E=u_R+u_C=Ri+u_C=RC\,\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}+u_C\Rightarrow \tau\,\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}+u_C=u_E(t)\).

Continuité de \(u_C\) à \(t=0\) (la tension d’un condensateur ne saute pas).
Pente initiale : \(\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}\right|_{0^+}=\dfrac{u_E(0^+)-u_C(0^+)}{\tau}\).
État final (si \(u_E\) tend vers une constante \(E_f\)) : \(u_C(\infty)=E_f\).

3) Réponse à un échelon : charge et décharge

Échelon \(u_E(t)=E\,u(t)\), \(u_C(0)=U_0\) : \(\displaystyle \boxed{\,u_C(t)=E+\big(U_0-E\big)e^{-t/\tau}\,}\).

Charge (\(U_0=0\)) : \(u_C(t)=E\big(1-e^{-t/\tau}\big)\), \(i(t)=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}\).
Décharge (source nulle, \(U_0\neq 0\)) : \(u_C(t)=U_0 e^{-t/\tau}\), \(i(t)=-\dfrac{U_0}{R}e^{-t/\tau}\).
À \(t=\tau\) : \(u_C=E(1-e^{-1})\approx0{,}632\,E\).

Figure B — Charge/décharge : exponentielles de temps caractéristique \(\tau\).

4) Méthodes graphiques : tangente à l’origine, 5τ

Tangente à l’origine : la tangente en \(t=0\) coupe l’asymptote finale à \(t=\tau\).
Temps d’établissement : \(t\approx 5\tau\) pour atteindre ~\(99{,}3\%\) de la valeur finale.
Lecture de \(\tau\) : chercher l’instant où \(u_C=0{,}632\,E\).

5) Régime sinusoïdal : impédances, gain et phase

Impédances : \(Z_R=R\), \(Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}\). RC série de sortie **sur \(C\)** (passe-bas) : \(\displaystyle \boxed{\,H(j\omega)=\frac{U_C}{U_E}=\frac{1}{1+j\omega RC}\,}\).

Module : \(|H|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}\), Phase : \(\varphi=-\arctan(\omega\tau)\).
Fréquence de coupure : \(\boxed{\,\omega_c=1/\tau,\ f_c=\dfrac{1}{2\pi RC}\,}\) ; à \(f_c\), \(|H|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) (−3 dB), \(\varphi=-45^\circ\).
Sortie **sur \(R\)** (passe-haut) : \(H_{PH}(j\omega)=\dfrac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\).

Figure C — Filtre passe-bas RC : module et phase (qualitatif).

6) Approximations de Bode & ordres de grandeur

Pour \(\omega\ll \omega_c\) : \(|H|\approx1\), \(\varphi\approx 0^\circ\).
Pour \(\omega=\omega_c\) : \(|H|=1/\sqrt{2}\), \(\varphi=-45^\circ\).
Pour \(\omega\gg \omega_c\) : \(|H|\approx \dfrac{1}{\omega\tau}\) (−20 dB/dec), \(\varphi\approx -90^\circ\).

En dB : \(G_{\text{dB}}=20\log_{10}|H|\). Une décade = facteur 10 en fréquence.

7) Réponses à d’autres entrées (rampe, créneau, impulsion)

La solution s’écrit \(u_C=u_C^{(h)}+u_C^{(p)}\) (homogène + particulière) ou via convolution avec l’impulsion du premier ordre.

Rampe \(u_E=k t\,u(t)\) : \(u_C(t)=k\left(t-\tau+\tau e^{-t/\tau}\right)\) (si \(u_C(0)=0\)).
Créneau (période \(T\), rapport cyclique \(D\)) : superposition de charges/décharges ; régime périodique si \(T\) fini.
Impulsion courte : intégrateur approximatif si \(T_{\text{imp}}\ll\tau\).

Intégrateur (entrée sur \(R\), sortie sur \(C\)) si \(\omega\ll 1/\tau\) ? Faux : pour intégrer un signal rapide, il faut \(\omega\gg 1/\tau\) (sortie faible mais proportionnelle à la dérivée inverse → approximation d’intégration sur certaines plages).

8) Tolérances des composants et incertitudes

Tolérances usuelles : \(R\) (1–5 %), \(C\) (5–20 %).
Propagation : \(\dfrac{\Delta \tau}{\tau}\approx \dfrac{\Delta R}{R}+\dfrac{\Delta C}{C}\).
\(f_c\) varie en sens inverse : \(\dfrac{\Delta f_c}{f_c}\approx \dfrac{\Delta \tau}{\tau}\).

Toujours annoncer l’incertitude sur \(\tau\) et \(f_c\) lors d’un TP.

9) TP Bac : protocoles de mesure

Chronogramme : générer un échelon, relever \(u_C(t)\), lire \(t\) pour \(0{,}632\,E\) → \(\tau\).
Bode expérimental : sinus, mesurer \(|H|\) et \(\varphi\) vs \(f\). Lire \(f_c\) à −3 dB.
Comparaison : vérifier \(\tau_{\text{chrono}}\approx R_{\text{mes}}C_{\text{mes}}\) et \(f_c\approx1/(2\pi RC)\).

10) Exemples chiffrés guidés

Exemple 1 : \(R=10\ \text{k}\Omega\), \(C=4{,}7\ \mu\text{F}\) ⇒ \(\tau=0{,}047\ \text{s}\). Échelon \(E=5\ \text{V}\) : \(u_C(\tau)=3{,}16\ \text{V}\).

Exemple 2 : \(R=1\ \text{k}\Omega\), \(C=100\ \text{nF}\) ⇒ \(f_c\simeq 1{,}59\ \text{kHz}\). À \(f=10\,f_c\) : \(|H|\approx 0{,}099\), \(\varphi\approx -84^\circ\).

11) Erreurs fréquentes et pièges

Confondre **sortie sur C** (passe-bas) et **sortie sur R** (passe-haut).
Oublier \(\omega=2\pi f\) en régime sinusoïdal.
Prendre \(|H|=0{,}5\) à la coupure (faux) au lieu de \(1/\sqrt{2}\approx0{,}707\).
Négliger la continuité de \(u_C\) à \(t=0\) (saut interdit).

12) Exercices Bac (22) — solutions détaillées

Ex.1 — Constante de temps

\(R=22\ \text{k}\Omega\), \(C=2{,}2\ \mu\text{F}\). Calculer \(\tau\).

\(\tau=RC=22\times10^3\times2{,}2\times10^{-6}=0{,}0484\ \text{s}\).

Ex.2 — Charge

Échelon \(E=5\ \text{V}\), \(\tau=0{,}10\ \text{s}\), \(u_C(0)=0\). Donner \(u_C(t)\) et \(u_C(0{,}10\ \text{s})\).

\(u_C(t)=5(1-e^{-t/0{,}1})\). À \(0{,}10\ \text{s}\), \(u_C=3{,}16\ \text{V}\).

Ex.3 — Décharge

\(U_0=8\ \text{V}\), \(\tau=0{,}05\ \text{s}\). Donner \(u_C(0{,}10\ \text{s})\).

\(u_C=8 e^{-2}\approx 1{,}08\ \text{V}\).

Ex.4 — Pente initiale

Montrer \( \left.\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}\right|_{0^+} = \dfrac{E-u_C(0)}{\tau}\).

De \(\tau \dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}+u_C=E\) à \(0^+\) : \(\dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}=(E-u_C(0))/\tau\).

Ex.5 — Courant de charge

\(E=10\ \text{V}\), \(R=5\ \text{k}\Omega\), \(C=10\ \mu\text{F}\). Trouver \(i(t)\).

\(\tau=0{,}05\ \text{s}\), \(i(t)=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}=2\ \text{mA} \, e^{-t/0{,}05}\).

Ex.6 — Énergie stockée

À l’état final, \(E=12\ \text{V}\), \(C=47\ \mu\text{F}\). Calculer \(E_C\).

\(E_C=\tfrac12 C E^2=0{,}5\times47\times10^{-6}\times144\approx 3{,}38\times10^{-3}\ \text{J}\).

Ex.7 — Temps à 90 %

Combien de \(\tau\) pour atteindre 90 % de \(E\) en charge ?

\(1-e^{-t/\tau}=0{,}9 \Rightarrow t=\tau\ln(10)\approx 2{,}303\,\tau\).

Ex.8 — 99 % de l’état final

Donner \(t\) pour \(99\,\%\) de \(E\).

\(1-e^{-t/\tau}=0{,}99 \Rightarrow t=\tau\ln(100)\approx 4{,}605\,\tau\) (~\(5\tau\)).

Ex.9 — f_c

\(R=3{,}3\ \text{k}\Omega\), \(C=4{,}7\ \text{nF}\). Calculer \(f_c\).

\(f_c=\frac{1}{2\pi RC}\approx 10{,}3\ \text{kHz}\).

Ex.10 — Gain en dB

Passe-bas à \(f=5\,f_c\). Calculer \(|H|\) et \(G_{\text{dB}}\).

\(|H|=1/\sqrt{1+25}=0{,}196\). \(G=20\log_{10}(0{,}196)=-14{,}1\ \text{dB}\).

Ex.11 — Phase

Donner \(\varphi\) à \(f=f_c\) (passe-bas).

\(\varphi=-45^\circ\).

Ex.12 — Passe-haut : modules

Pour \(H_{PH}(j\omega)=\dfrac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\), évaluer \(|H|\) à \(0{,}1 f_c\) et \(10 f_c\).

À \(0{,}1 f_c\) : \(0{,}0995\). À \(10 f_c\) : \(0{,}995\).

Ex.13 — Identification de filtre

\(|H|\approx 1\) à 100 Hz et \(|H|\approx 0{,}1\) à 10 kHz. Quelle topologie (sortie) ?

**Passe-bas** sortie sur **C**.

Ex.14 — Sinus établi

Entrée \(u_E(t)=U_m\sin(\omega t)\). Écrire \(u_C(t)\) (passe-bas).

\(u_C=|H|\,U_m\sin(\omega t+\varphi)\) avec \(|H|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}\), \(\varphi=-\arctan(\omega\tau)\).

Ex.15 — Rampe

Montrer que pour \(u_E=kt\), \(u_C= k\left(t-\tau+\tau e^{-t/\tau}\right)\) (avec \(u_C(0)=0\)).

Particulière \(u_C^{(p)}=kt\), homogène \(K e^{-t/\tau}\). À \(0\) : \(0=0+K\Rightarrow K=-k\tau\). D’où l’expression.

Ex.16 — Créneau périodique

Pour un créneau \(E\) de période \(T\) et rapport \(D\), décrire qualitativement \(u_C(t)\).

Alternance de charges (durée \(DT\)) et décharges (\((1-D)T\)). En régime établi, \(u_C\) oscille entre deux niveaux dépendant de \(\tau\) et \(D\).

Ex.17 — Lecture expérimentale de τ

Sur un chronogramme, comment lire \(\tau\) par la tangente ?

Tangente en \(t=0\) coupe l’asymptote finale au temps \(\tau\).

Ex.18 — Tolérances

\(R=10\ \text{k}\Omega\) (±5 %), \(C=100\ \text{nF}\) (±10 %). Donner l’incertitude relative sur \(\tau\).

\(\Delta\tau/\tau\approx 0{,}05+0{,}10=0{,}15\) soit ±15 %.

Ex.19 — Équation différentielle

Résoudre \(\tau \dfrac{\mathrm d u_C}{\mathrm dt}+u_C=E\) pour \(t\ge 0\), \(u_C(0)=U_0\).

Solution \(u_C=E+(U_0-E)e^{-t/\tau}\).

Ex.20 — Intégrale d’énergie dissipée

En charge à partir de 0 V, calculer l’énergie dissipée par \(R\) jusqu’à l’état final.

Énergie fournie \(E_{\text{src}}=CE^2\). Énergie stockée \(E_C=\tfrac12 CE^2\). Donc \(E_R=E_{\text{src}}-E_C=\tfrac12 CE^2\).

Ex.21 — Erreur courante

Pourquoi \(|H|=0{,}5\) à la coupure est faux ?

À la coupure, \(|H|=1/\sqrt{2}\approx0{,}707\) (−3 dB) et non 0,5 (−6 dB).

Ex.22 — Dimensionnement

On veut \(f_c=2{,}0\ \text{kHz}\) avec \(C=10\ \text{nF}\). Calculer \(R\).

\(R=\dfrac{1}{2\pi f_c C}\approx 7{,}96\ \text{k}\Omega\).

13) Mini-fiche révision

\(\tau=RC\) ; échelon : \(u_C(t)=E+(U_0-E)e^{-t/\tau}\).
Passe-bas (sortie \(C\)) : \(H(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega\tau}\), \(f_c=\dfrac{1}{2\pi\tau}\).
Passe-haut (sortie \(R\)) : \(H_{PH}(j\omega)=\dfrac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\).
À \(f_c\) : \(|H|=1/\sqrt2\), \(\varphi=-45^\circ\). Règle des \(5\tau\).