Ondes électromagnétiques

1) Introduction et définition

Une onde électromagnétique (OEM) est une perturbation couplée des champs électrique \( \vec{E} \) et magnétique \( \vec{B} \) qui se propage même dans le vide, en transportant de l’énergie sans transport de matière. Les OEM couvrent un large spectre : radio, micro-ondes, infrarouge, visible, ultraviolet, X, \(\gamma\).

Onde EM plane : superposition de \( \vec{E}(x,t)=\vec{E}_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\) et \( \vec{B}(x,t)=\vec{B}_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\) avec \( \vec{E}\perp\vec{B}\perp\vec{k}\).

2) Propagation dans le vide et milieux

  • Dans le vide : \( \boxed{c=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 3{,}00\times10^8\ \text{m·s}^{-1}} \) et \( \boxed{E=cB} \).
  • Dans un milieu d’indice \(n\) : \( v=\dfrac{c}{n}\), \( \lambda_{milieu}=\dfrac{\lambda_{vide}}{n}\) tandis que \( f \) se conserve.
  • Relation onde : \( v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f\).
E B k
OEM plane : \( \vec{E}\perp \vec{B}\perp \vec{k} \) et \( E=cB \) dans le vide.

3) Rappels qualitatifs des équations de Maxwell (au programme)

  • Faraday : variation de \( \vec{B} \) crée un champ \( \vec{E} \) (induction).
  • Ampère-Maxwell : courant + variation de \( \vec{E} \) créent \( \vec{B} \).
  • Dans le vide homogène : chaque champ satisfait l’équation d’onde \( \partial_{xx}E=\dfrac{1}{c^2}\partial_{tt}E \) (idem pour \(B\)).
Connaître l’idée : l’auto-entretien de l’onde (E variable engendre B, B variable engendre E).

4) Spectre électromagnétique et échelle des longueurs d’onde

Ordonné par \( f \) croissante (ou \( \lambda \) décroissante) : Radio → Micro-ondes → IR → Visible (400–700 nm) → UV → X → \( \gamma \).

Radio µ-ondes IR Visible UV X γ λ diminue → ← f augmente
Spectre EM : même nature physique, propriétés et usages varient avec \( \lambda \) et \( f \).

5) Polarisation (linéaire, circulaire) et sources

Polarisation : orientation du vecteur \( \vec{E} \) au cours du temps en un point. Linéaire : \( \vec{E} \) oscille dans un plan fixe. Circulaire : norme constante et rotation uniforme (superposition de deux polarisations linéaires en quadrature).

  • Sources usuelles : antenne dipolaire (radio), oscillateurs micro-ondes, LED/laser (visible, IR), rayons X en tube, rayonnement cosmique \(\gamma\).
  • Un polariseur sélectionne une direction d’oscillation de \( \vec{E} \).

6) Interaction OEM–milieux : réflexion, réfraction, absorption

  • Réflexion/réfraction : loi de Snell–Descartes, \( n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2 \).
  • Conservation de f au passage d’un milieu à l’autre ; \( \lambda \) s’adapte : \( \lambda_2=\lambda_1 \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{\lambda_1}{n_2/n_1} \).
  • Absorption/atténuation : \( I(x)=I_0\,e^{-\alpha x} \) (milieu absorbant).
incident (i₁) réfléchi réfracté (i₂) n₁ n₂
Interface \( n_1 \to n_2 \) : \( n_1\sin i_1=n_2\sin i_2 \). \( f \) se conserve, \( \lambda \) change.

7) Densité d’énergie, intensité et vecteur de Poynting

Dans le vide : densité d’énergie instantanée \( u=\dfrac{\varepsilon_0E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2\mu_0} \). Le vecteur de Poynting \( \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times \vec{B}) \) donne le flux d’énergie (W·m\(^{-2}\)).

  • Intensité moyenne d’une onde plane harmonique : \( \boxed{I=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{c}{\mu_0}B_0^2} \).
  • Impédance du vide (utile culture) : \( Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 377\ \Omega \).

8) Interférences et diffraction (notions)

Deux OEM cohérentes peuvent interférer (renforcement/annulation selon déphasage). En diffraction (ouverture, obstacle), le front d’onde s’étale. Ces notions justifient des expériences optiques (trous d’Young, fentes, réseaux) — à connaître qualitativement.

Pour le Bac, savoir relier franges/largeur à \( \lambda \) (ordre de grandeur) et comprendre l’exigence de cohérence.

9) Aspects de sécurité et domaines d’application

  • UV/X/γ : rayonnements ionisants (effets biologiques). Protection : blindage, dose, temps d’exposition.
  • Radio–micro-ondes : télécoms, radars, cuisson (absorption par l’eau).
  • Visible/IR : vision, lasers (classement de sécurité), thermographie.

10) Méthodologie d’exercice

  1. Identifier le type de question : paramètres d’onde (\(f,\lambda,v\)), passage de milieu, intensité \(I\), relation \(E=cB\)…
  2. Écrire les relations de base et vérifier unités.
  3. Traiter pas à pas (conversion nm↔m, MHz↔Hz, dB si mentionné…).

11) Exercices type Bac (14) — solutions détaillées

Ex.1 — Relation \(E\)–\(B\)

Dans le vide, \(E_0=6{,}0\ \text{V·m}^{-1}\). Calculer \(B_0\).

\(E=cB \Rightarrow B_0=\dfrac{E_0}{c}=6/3{\times}10^8=2{,}0\times10^{-8}\ \text{T}\).

Ex.2 — Longueur d’onde et changement de milieu

Une onde de \(f=5{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}\) passe de l’air (\(n\approx1{,}00\)) au verre (\(n=1{,}50\)). Donner \(\lambda\) dans l’air et dans le verre.

\(\lambda_{air}=c/f=0{,}6\ \mu\text{m}\). \(\lambda_{verre}=\lambda_{air}/1{,}5=0{,}4\ \mu\text{m}\). \(f\) inchangée.

Ex.3 — Intensité

Calculer \(I\) pour \(E_0=3{,}0\ \text{V·m}^{-1}\).

\(I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2=0{,}5\cdot 8{,}85{\times}10^{-12}\cdot3{\times}10^8\cdot9\simeq1{,}20{\times}10^{-2}\ \text{W·m}^{-2}\).

Ex.4 — Fréquence du vert (rappel)

\(\lambda=540\ \text{nm}\). Calculer \(f\).

\(f=c/\lambda=3{\times}10^8/5{,}40{\times}10^{-7}\approx5{,}56{\times}10^{14}\ \text{Hz}\).

Ex.5 — Snell–Descartes

Air→eau (\(n_2=1{,}33\)). Angle d’incidence \(i_1=40^\circ\). Trouver \(i_2\).

\(\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1 \approx \dfrac{1}{1{,}33}\sin40^\circ \Rightarrow i_2\approx 29{,}3^\circ\).

Ex.6 — Atténuation

\(I(x)=I_0 e^{-\alpha x}\) avec \(\alpha=0{,}45\ \text{m}^{-1}\), \(I_0=12\ \text{mW·m}^{-2}\). Calculer \(I(3\ \text{m})\).

\(I(3)=12\,e^{-1{,}35}\approx 3{,}11\ \text{mW·m}^{-2}\).

Ex.7 — Énergie d’un photon

Pour \(f=7{,}0{\times}10^{14}\ \text{Hz}\), calculer \(E=h f\).

\(E=6{,}63{\times}10^{-34}\cdot 7{,}0{\times}10^{14}=4{,}64{\times}10^{-19}\ \text{J}\approx 2{,}9\ \text{eV}\).

Ex.8 — Passage d’un prisme

Pourquoi le rouge et le bleu ne dévient-ils pas de la même façon dans un prisme ?

Car \(n\) dépend de \( \lambda \) (dispersion) : \(n(\text{bleu})>n(\text{rouge})\), le bleu se dévie davantage.

Ex.9 — Polarisation

Définir la polarisation linéaire et citer un dispositif qui la réalise.

Polarisation linéaire : \( \vec{E} \) oscille dans un plan fixe. Réalisée par un filtre polariseur.

Ex.10 — Relation \(v,\lambda,f\)

Dans un milieu \(n=1{,}6\), une onde de \(f=4{,}5{\times}10^{14}\ \text{Hz}\). Calculer \(v\) et \(\lambda\).

\(v=c/n=1{,}875{\times}10^8\ \text{m·s}^{-1}\). \(\lambda=v/f\approx 4{,}17{\times}10^{-7}\ \text{m}=417\ \text{nm}\).

Ex.11 — Poynting

Montrer que \( \langle S \rangle = I \) pour une onde plane harmonique.

\(\vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}\). Avec \(B=E/c\) et moyenne temporelle sur un cycle : \( \langle S \rangle = \tfrac12 \varepsilon_0 c E_0^2 = I\).

Ex.12 — Champ magnétique associé

Une onde a \(I=2{,}0\ \text{W·m}^{-2}\). Calculer \(B_0\) dans le vide.

\(I=\tfrac12\dfrac{c}{\mu_0}B_0^2\Rightarrow B_0=\sqrt{\dfrac{2I\mu_0}{c}}\approx \sqrt{\dfrac{2\cdot2\cdot 4\pi{\times}10^{-7}}{3{\times}10^8}} \approx 2{,}3{\times}10^{-6}\ \text{T}\).

Ex.13 — Fréquence conservée

Pourquoi \( f \) se conserve au changement de milieu ?

La source impose le rythme d’oscillation ; la continuité temporelle à l’interface impose la même période des vibrations ⇒ \( f \) identique.

Ex.14 — Erreurs fréquentes

Corriger : « Si \(n\) augmente, la fréquence diminue ».

Faux : \( f \) ne change pas ; c’est \( \lambda \) qui diminue car \( v=c/n \) et \( \lambda=v/f \).

12) À retenir

  • \( \vec{E}\perp\vec{B}\perp\vec{k} \), \( E=cB \) (vide), \( v=\dfrac{c}{n} \) (milieu).
  • Spectre : même nature, propriétés varient avec \( \lambda,f \).
  • Snell–Descartes, \( f \) conservée, \( \lambda \) s’adapte.
  • Énergie : \( I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2 \), vecteur de Poynting \( \vec{S} \).

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