الاشتقاق ودراسة الدوال

1) تمهيد وأهداف درس الاشتقاق

الاشتقاق هو الأداة الأساسية لدراسة سلوك الدوال: رتابة، قيم قصوى، تقعر، نقط انعطاف… وهو أيضاً أساس للكثير من التطبيقات في الفيزياء، الاقتصاد، الهندسة وغيرها.

الفكرة البسيطة: نريد قياس سرعة تغيّر الدالة عندما يتحرّك المتغيّر \(x\) قرب قيمة معيّنة. هذه السرعة المحلّية يمثّلها اشتقاق الدالة في تلك النقطة.

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

فهم معنى معدل التغيّر بين نقطتين على منحنى.
استيعاب العلاقة بين معدل التغيّر والمماس في نقطة.
إعطاء تعريف المشتقة في نقطة وعلى مجال باستعمال النهاية.
حساب مشتقات الدوال الأساسية واستعمال قواعد الاشتقاق.
استعمال إشارة المشتقة لدراسة رتابة الدالة وتحديد القيم القصوى.
التعامل مع المشتقة الثانية لتحديد التقعر ونقط الانعطاف (عند الحاجة).
إنجاز دراسة كاملة لدالة: مجال التعريف، النهايات، المشتقة، جدول التغيّر، التمثيل البياني.

منهجية عامة في دراسة دالة

تحديد مجال تعريف الدالة.
حساب النهايات المهمة (خاصة عند حدود المجال وعند \( \pm\infty \)).
حساب المشتقة \( f'(x) \) وتحديد مجال اشتقاقها.
دراسة إشارة \( f'(x) \) وإنشاء جدول التغيّر.
استخراج القيم القصوى المتمثّلة في قِيَم \( f(x) \) عند نقاط تغيّر الرتابة.
عند الحاجة، دراسة المشتقة الثانية \( f''(x) \) لتحديد التقعر ونقط الانعطاف.
استغلال كل هذه المعلومات لرسم منحنى تقريبي دقيق.

2) معدل التغيّر والتأويل الهندسي

معدل التغيّر بين نقطتين

لتكن \( f \) دالة معرفة على مجال يحتوي العددين \( a \) و\( b \) مع \( a \neq b \). يُسمّى العدد: \[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] معدل التغيّر للدالة بين \( a \) و\( b \).

مثال بسيط

إذا كانت: \[ f(x) = x^2 \] فإن معدل التغيّر بين \( 1 \) و\( 3 \) هو: \[ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4. \]

تأويل هندسي

إذا اعتبرنا النقطة ذات الإحداثيات \( (a, f(a)) \) والنقطة \( (b, f(b)) \) على منحنى الدالة، فإن المستقيم الذي يمرّ بهما يُسمّى القاطع للمنحنى، ويمثّل معدل التغيّر \[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] معامل توجيه هذا القاطع.

كلما كان الفرق \( b - a \) صغيراً، اقترب القاطع من المماس عند النقطة \( (a, f(a)) \).

3) تعريف المشتقة في نقطة والمماس

تعريف المشتقة في نقطة

لتكن \( f \) دالة معرفة على مجال ويكن \( a \) عنصراً من هذا المجال. نقول إن \( f \) قابلة للاشتقاق في \( a \) إذا كانت النهاية: \[ \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \] موجودة ومحدودة. في هذه الحالة نسمّي هذه النهاية المشتقة في \( a \) ونكتب: \[ f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}. \]

علاقة الاشتقاق بالاتصال

إذا كانت \( f \) قابلة للاشتقاق في \( a \) فإن \( f \) متصلة في \( a \).

العكس غير صحيح دائماً: قد تكون الدالة متصلة في \( a \) ولكن غير قابلة للاشتقاق فيها.

التأويل الهندسي للمشتقة

إذا كانت \( f \) قابلة للاشتقاق في \( a \) فإن المستقيم المماس للمنحنى في النقطة \( (a, f(a)) \) موجود، ومعادلته: \[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]

أي أن \( f'(a) \) يمثّل معامل توجيه المماس في تلك النقطة.

مثال — مشتقة كثير حدود في نقطة

لتكن: \[ f(x) = x^2. \] المشتقة المعروفة هي: \[ f'(x) = 2x. \]

عند \( x = 1 \)، نحصل على: \[ f'(1) = 2. \] إذن معامل توجيه المماس في النقطة \( (1,1) \) يساوي \( 2 \)، ومعادلته: \[ y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1. \]

4) المشتقة على مجال وقواعد الاشتقاق

المشتقة كدالة

إذا كانت الدالة \( f \) قابلة للاشتقاق في كل عنصر من مجال \( I \)، فإننا نعرّف الدالة المشتقة على \( I \) بالكتابة: \[ x \mapsto f'(x). \]

قواعد الاشتقاق الأساسية

لتكن \( f \) و\( g \) دالتين قابلتين للاشتقاق، و\( \lambda \) عدداً حقيقياً:

مشتقة دالة ثابتة: \[ (\lambda)' = 0. \]
مشتقة دالة من الشكل: \[ f(x) = x^n,\quad n\in\mathbb{N}, \] هي: \[ f'(x) = n x^{n-1}. \]
مشتقة مجموع: \[ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). \]
مشتقة جداء: \[ (f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). \]
مشتقة خارج (حيث يكون \( g(x) \neq 0 \)): \[ \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}. \]
مشتقة تركيب: \[ (f\circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]

مشتقات دوال معروفة

\[ (x^n)' = n x^{n-1},\quad n\in\mathbb{N}. \]
\[ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] على المجال \( ]0,+\infty[ \).
\[ (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} \] على المجال \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \).
\[ (\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x,\quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}. \]
\[ (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x \] (إذا كانت الدالة الأسية في المقرر).
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \] على المجال \( ]0,+\infty[ \) (إذا كانت الدالة اللوغاريتمية في المقرر).

في علوم رياضية، يجب إتقان هذه المشتقات عن ظهر قلب لأنّها تُستعمل باستمرار في دراسة الدوال والمتتاليات والاحتمالات وغيرها.

5) العلاقة بين إشارة المشتقة ورتابة الدالة

مبرهنة الرتابة

لتكن \( f \) دالة قابلة للاشتقاق على مجال \( I \). إذا كان:

\( f'(x) \ge 0 \) لكل \( x \) في \( I \)، فالدالة \( f \) تزايدية على \( I \).
\( f'(x) \le 0 \) لكل \( x \) في \( I \)، فالدالة \( f \) تناقصية على \( I \).
إذا تغيّرت إشارة \( f'(x) \) من موجبة إلى سالبة عند نقطة معيّنة، فهذه النقطة غالباً تعطي قيمة عظمى محلية.
إذا تغيّرت إشارة \( f'(x) \) من سالبة إلى موجبة، فالنقطة تعطي قيمة صغرى محلية.

مثال — دراسة رتابة دالة بسيطة

لتكن: \[ f(x) = x^2 - 4x + 3. \]

نحسب المشتقة.
نبحث عن إشارة المشتقة.
نستنتج جدول التغيّر والقيم القصوى.

المشتقة: \[ f'(x) = 2x - 4. \]

نستخرج الجذر: \[ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. \]

إشارة المشتقة:

\(x\)	\(-\infty\)	2	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	-	0	+

إذن \( f \) تناقصية على المجال \( ]-\infty,2] \) وتزايدية على \( [2,+\infty[ \).

قيمة الدالة في \( 2 \): \[ f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. \] وهذه تمثّل قيمة صغرى محلية (بل وعالمية هنا).

جدول التغيّر يعتمد دائماً على إشارة المشتقة. لذلك دراسة إشارة \( f'(x) \) خطوة أساسية قبل رسم المنحنى أو تحديد القيم القصوى.

6) المشتقة الثانية، التقعر ونقط الانعطاف

تعريف المشتقة الثانية

إذا كانت \( f \) دالة قابلة للاشتقاق على مجال \( I \)، و\( f' \) أيضاً قابلة للاشتقاق على \( I \)، فإننا نعرّف الدالة المشتقة الثانية على \( I \) بالكتابة: \[ f''(x) = (f'(x))'. \]

الربط بين المشتقة الثانية وشكل المنحنى

إذا كان \( f''(x) > 0 \) على مجال معيّن، فالمنحنى يكون مقعّراً إلى الأعلى على ذلك المجال.
إذا كان \( f''(x) < 0 \) على مجال، فالمنحنى يكون مقعّراً إلى الأسفل على ذلك المجال.
نقطة يكون فيها \( f''(x) = 0 \) مع تغيّر إشارة \( f'' \) قد تكون نقطة انعطاف.

مثال — دالة تربيعية

لتكن: \[ f(x) = x^2 - 4x + 3. \] سبق أن وجدنا: \[ f'(x) = 2x - 4. \]

المشتقة الثانية: \[ f''(x) = 2. \] هذا العدد موجب لكل \( x \)، إذن منحنى الدالة مقعّر إلى الأعلى على \( \mathbb{R} \)، ولا توجد نقطة انعطاف.

7) مثال شامل لدراسة دالة

دراسة دالة نموذجية

نعتبر الدالة: \[ f(x) = x^3 - 3x. \]

حدّد مجال تعريف الدالة.
احسب المشتقة \( f'(x) \) والمشتقة الثانية \( f''(x) \).
ادرس إشارة المشتقة واستنتج رتابة الدالة والقيم القصوى.
ادرس إشارة المشتقة الثانية وحدّد التقعر ونقط الانعطاف.

1) الدالة كثير حدود، إذن مجال تعريفها هو: \[ \mathbb{R}. \]

2) المشتقة: \[ f'(x) = 3x^2 - 3. \] والمشتقة الثانية: \[ f''(x) = 6x. \]

3) نحلّ: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ أو } x = 1. \]

نبحث عن إشارة \( f'(x) \):

\(x\)	\(-\infty\)	-1	1	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	+	0	-	0	+

إذن:

الدالة تزايدية على \( ]-\infty,-1] \).
تناقصية على \( [-1,1] \).
تزايدية من جديد على \( [1,+\infty[ \).

القيم القصوى: \[ f(-1) = -1 + 3 = 2,\quad f(1) = 1 - 3 = -2. \] إذن:

قيمة عظمى محلية \( 2 \) في \( x = -1 \).
قيمة صغرى محلية \( -2 \) في \( x = 1 \).

4) ندرس إشارة المشتقة الثانية: \[ f''(x) = 6x. \]

سالبة إذا كان \( x < 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأسفل.
موجبة إذا كان \( x > 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأعلى.

عند \( x = 0 \) نجد: \[ f''(0) = 0 \] وتتغيّر إشارة \( f'' \) من سالبة إلى موجبة، إذن النقطة \( (0, f(0)) = (0,0) \) نقطة انعطاف.

8) تمارين باك نموذجية (12 تمريناً مع الحلول)

تمرين 1 — مشتقة كثير حدود

لتكن: \[ f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1. \]

احسب المشتقة \( f'(x) \).
استنتج \( f'(1) \) ومعادلة المماس في النقطة ذات الفاصلة \( 1 \).

المشتقة: \[ f'(x) = 6x^2 - 10x + 3. \]

عند \( x = 1 \): \[ f'(1) = 6 - 10 + 3 = -1. \] وقيمة الدالة: \[ f(1) = 2 - 5 + 3 - 1 = -1. \]

إذن النقطة هي \( (1,-1) \)، ومعادلة المماس: \[ y = -1(x - 1) - 1 = -x. \]

تمرين 2 — دراسة رتابة دالة تربيعية

نعتبر: \[ f(x) = -x^2 + 4x - 1. \]

احسب \( f'(x) \).
ادرس إشارة \( f'(x) \) واستنتج رتابة الدالة.
استخرج القيمة العظمى للدالة.

المشتقة: \[ f'(x) = -2x + 4. \]

نحلّ: \[ -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2. \]

إشارة المشتقة:

\(x\)	\(-\infty\)	2	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	+	0	-

إذن \( f \) تزايدية على \( ]-\infty,2] \) وتناقصية على \( [2,+\infty[ \).

القيمة العظمى: \[ f(2) = -4 + 8 - 1 = 3. \]

تمرين 3 — مشتقة دالة جذرية

نعتبر: \[ f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \] على المجال \( ]0,+\infty[ \).

احسب المشتقة \( f'(x) \).
ادرس إشارة \( f'(x) \) على المجال \( ]0,+\infty[ \).

المشتقة: \[ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}},\quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}. \] إذن: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}. \]

نكتبها على مقام مشترك: \[ f'(x) = \frac{x^{3/2} - 2}{2x^{2}\sqrt{x}}. \]

إشارة \( f'(x) \) هي إشارة البسط: \[ x^{3/2} - 2. \]

نحلّ: \[ x^{3/2} = 2 \Rightarrow x = 2^{2/3}. \]

من السهل التحقق أن البسط سالب قبل هذه القيمة وموجب بعدها، فيكون:

الدالة تناقصية على \( ]0,2^{2/3}] \).
تزايدية على \( [2^{2/3},+\infty[ \).

تمرين 4 — دالة كسرية ومجال اشتقاق

نعتبر: \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. \]

حدّد مجال تعريف \( f \).
احسب المشتقة \( f'(x) \).
استنتج مجال اشتقاق \( f \).

1) المقام ينعدم عند \( x = 1 \)، إذن: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}. \]

2) باستعمال قاعدة مشتقة خارج:

\[ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)\cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}. \]

3) المشتقة معرّفة أيضاً على \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \)، إذن مجال اشتقاق \( f \) هو نفسه مجال تعريفها.

تمرين 5 — استعمال الاشتقاق لإثبات رتبة

لتكن: \[ f(x) = x^3 + x. \]

احسب المشتقة \( f'(x) \).
أثبت أن \( f \) تزايدية على \( \mathbb{R} \).

1) المشتقة: \[ f'(x) = 3x^2 + 1. \]

2) بما أن: \[ 3x^2 \ge 0 \] لكل \( x \)، فإن: \[ 3x^2 + 1 > 0 \] لكل \( x \) حقيقي، أي أن \( f'(x) \) موجبة دائماً.

وبالتالي \( f \) تزايدية تماماً على \( \mathbb{R} \).

تمرين 6 — إيجاد نقاط قصوى ودرس تقعر

نعتبر: \[ f(x) = x^3 - 3x + 1. \]

احسب \( f'(x) \) و\( f''(x) \).
استخرج نقاط القيم القصوى.
ادرس التقعر وحدّد نقاط الانعطاف.

1) المشتقة الأولى: \[ f'(x) = 3x^2 - 3. \] المشتقة الثانية: \[ f''(x) = 6x. \]

2) نحلّ: \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \text{ أو } x = 1. \]

ندرس إشارة \( f'(x) \) كما في المثال السابق، فنجد أنّ:

قيمة عظمى محلية في \( x = -1 \).
قيمة صغرى محلية في \( x = 1 \).

3) لإيجاد نقاط الانعطاف ندرس إشارة \( f''(x) = 6x \):

سالبة إذا كان \( x < 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأسفل.
موجبة إذا كان \( x > 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأعلى.

عند \( x = 0 \) تتغيّر إشارة \( f'' \)، إذن النقطة ذات الفاصلة \( 0 \) نقطة انعطاف.

تمرين 7 — دالة أسية (عند تضمينها في المقرر)

لتكن: \[ f(x) = \mathrm{e}^x - x. \]

احسب المشتقة \( f'(x) \).
أثبت أن \( f \) تزايدية على \( \mathbb{R} \).
ما هي إشارة \( f(x) \)؟ (يمكن اعتماد معطيات إضافية في التمرين).

1) المشتقة: \[ f'(x) = \mathrm{e}^x - 1. \]

2) نلاحظ أنّ: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow \mathrm{e}^x = 1 \Rightarrow x = 0. \]

إشارة \( f'(x) \):

سالبة على \( ]-\infty,0[ \) لأن \( \mathrm{e}^x < 1 \).
موجبة على \( ]0,+\infty[ \) لأن \( \mathrm{e}^x > 1 \).

إذن الدالة تناقصية على \( ]-\infty,0] \) وتزايدية على \( [0,+\infty[ \). (الجزء الثالث يقتضي تحليل إضافي حسب المعطيات).

تمرين 8 — دالة لوغاريتمية (عند تضمينها في المقرر)

نعتبر: \[ f(x) = \ln x - x + 2 \] على المجال \( ]0,+\infty[ \).

احسب المشتقة \( f'(x) \).
استنتج جدول التغيّر على المجال المعطى.

1) المشتقة: \[ f'(x) = \frac{1}{x} - 1. \]

نحل: \[ \frac{1}{x} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1. \]

2) ندرس الإشارة:

إذا كان \( 0 < x < 1 \) فإن \( \frac{1}{x} > 1 \) ⇒ \( f'(x) > 0 \).
إذا كان \( x > 1 \) فإن \( \frac{1}{x} < 1 \) ⇒ \( f'(x) < 0 \).

إذن:

الدالة تزايدية على \( ]0,1] \).
تناقصية على \( [1,+\infty[ \).

تمرين 9 — إثبات عدم اشتقاق عند نقطة

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \begin{cases} x & x \ge 0,\\[4pt] -x & x < 0. \end{cases} \]

بيّن أن \( f \) متصلة في \( 0 \).
بيّن أن \( f \) غير قابلة للاشتقاق في \( 0 \).

1) لدينا: \[ f(0) = 0. \] النهاية اليسرى: \[ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (-x) = 0. \] النهاية اليمنى: \[ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} x = 0. \] وبالتالي \( f \) متصلة في \( 0 \).

2) المشتقة اليمنى: \[ \lim_{h\to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1. \]

المشتقة اليسرى: \[ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1. \]

بما أن المشتقة اليمنى لا تساوي المشتقة اليسرى، فلا توجد مشتقة لـ \( f \) في \( 0 \).

تمرين 10 — دراسة دالة كاملة (مختصر)

نعتبر: \[ f(x) = x - \ln x \] على المجال \( ]0,+\infty[ \) (عند تضمين اللوغاريتم في المقرر).

احسب \( f'(x) \).
ادرس إشارة \( f'(x) \) واستنتج رتابة الدالة.

المشتقة: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}. \]

إشارة \( f'(x) \) هي إشارة \( x - 1 \) لأن \( x \) موجب:

سالبة إذا \( 0 < x < 1 \).
موجبة إذا \( x > 1 \).

إذن \( f \) تناقصية على \( ]0,1] \) وتزايدية على \( [1,+\infty[ \).

تمرين 11 — تقعر ونقطة انعطاف

نعتبر: \[ f(x) = x^3. \]

احسب \( f'(x) \) و\( f''(x) \).
ادرس التقعر وحدّد نقطة الانعطاف.

1) المشتقة الأولى: \[ f'(x) = 3x^2. \] المشتقة الثانية: \[ f''(x) = 6x. \]

2) إشارة \( f''(x) \):

سالبة إذا \( x < 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأسفل.
موجبة إذا \( x > 0 \) ⇒ المنحنى مقعّر إلى الأعلى.

عند \( x = 0 \)، يتغيّر التقعر، إذن النقطة \( (0,0) \) نقطة انعطاف.

تمرين 12 — تركيب دالتين قابلتين للاشتقاق

نعتبر: \[ g(x) = x^2 + 1,\quad f(x) = \sqrt{x}. \]

نعرّف: \[ h(x) = f(g(x)). \]

اكتب تعبير \( h(x) \) وحدّد مجال تعريفها.
احسب المشتقة \( h'(x) \) باستعمال قاعدة تركيب.

1) لدينا: \[ h(x) = \sqrt{x^2 + 1}. \]

بما أنّ: \[ x^2 + 1 > 0 \] لكل \( x \)، فإن المجال هو: \[ \mathbb{R}. \]

2) نستخدم قاعدة تركيب: \[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]

نعلم أن: \[ f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}},\quad g'(x) = 2x. \]

إذن: \[ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. \]

9) خلاصة مركزة لدرس الاشتقاق ودراسة الدوال

معدل التغيّر بين نقطتين يمثّل معامل توجيه القاطع للمنحنى بين هاتين النقطتين.
المشتقة في نقطة تعرف كنهاية لمعدل التغيّر عندما يقترب الفرق من الصفر.
وجود المشتقة في نقطة يضمن الاتصال، لكن الاتصال لا يضمن دائماً وجود المشتقة.
المشتقة تفسير هندسيّاً بمعامل توجيه المماس، ومعادلته تعتمد على \( f'(a) \) و\( f(a) \).
إشارة المشتقة تحكم رتابة الدالة، وتغيّر الإشارة يعطي نقاط القيم القصوى المحلية.
المشتقة الثانية مرتبطة بالتقعر، وتغيّر إشارته يعطي نقاط الانعطاف.
الدراسة الكاملة لدالة تمرّ عبر: المجال، النهايات، المشتقة، جدول التغيّر، التقعر، ثم التمثيل البياني.
الاشتقاق أداة مركزية في البرنامج، ويستعمل في الدوال، المتتاليات، والاحتمالات والتطبيقات الفيزيائية.