المتتاليات العددية

1) نحسب: \[ u_0 = 3\cdot 0 - 1 = -1,\quad u_1 = 3\cdot 1 - 1 = 2,\quad u_2 = 5,\quad u_5 = 3\cdot 5 - 1 = 14. \]

2) الفرق: \[ u_{n+1} - u_n = [3(n+1) - 1] - (3n - 1) = 3. \] الفرق ثابت يساوي \( 3 \)، إذن \( (u_n) \) متتالية حسابية أساسها \( 3 \).

1) لدينا: \[ v_{n+1} = 2^{n+1} = 2\cdot 2^n = 2 v_n. \] إذن: \[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = 2 \] لكل \( n \)، فهذا يعني أن \( (v_n) \) متتالية هندسية أساسها \( 2 \).

2) نكتب: \[ v_n = v_0 \cdot 2^n \] حيث \( v_0 = 2 \) و\( q = 2 \).

1) نحسب الفرق: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2(n+1)+1}{n+3} - \frac{2n+1}{n+2} = \frac{2n+3}{n+3} - \frac{2n+1}{n+2}. \]

بتوحيد المقام: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}. \]

نحسب البسط: \[ (2n+3)(n+2) = 2n^2 + 7n + 6, \] \[ (2n+1)(n+3) = 2n^2 + 7n + 3. \] الفرق: \[ (2n^2 + 7n + 6) - (2n^2 + 7n + 3) = 3. \]

إذن: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{3}{(n+2)(n+3)} > 0 \] لكل \( n \)، وبالتالي المتتالية تزايدية.

2) لحساب النهاية، نكتب: \[ u_n = \frac{2n+1}{n+2} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}. \]

لما \( n\to +\infty \) نحصل على: \[ \frac{1}{n} \to 0,\quad \frac{2}{n} \to 0 \] وبالتالي: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \frac{2}{1} = 2. \]

1) نحسب: \[ u_1 = \frac{1}{3}\cdot 1 + 2 = \frac{7}{3},\quad u_2 = \frac{1}{3} u_1 + 2 = \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{3} + 2 = \frac{7}{9} + 2 = \frac{25}{9}. \]

2) نبحث عن عدد \( \ell \) بحيث إذا كانت المتتالية متقاربة فإن: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \ell. \]

إذا كان: \[ u_{n+1} \to \ell,\quad u_n \to \ell, \] فإن: \[ \ell = \frac{1}{3}\ell + 2. \]

نحل: \[ \ell - \frac{1}{3}\ell = 2 \Rightarrow \frac{2}{3}\ell = 2 \Rightarrow \ell = 3. \]

باستعمال تقنية تغيير المتتالية: نحدد: \[ v_n = u_n - 3. \]

نحسب: \[ v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}u_n + 2 - 3 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n. \] إذن \( (v_n) \) متتالية هندسية أساسها \( \frac{1}{3} \).

لدينا: \[ v_0 = u_0 - 3 = -2, \] وبالتالي: \[ v_n = -2\left(\frac{1}{3}\right)^n. \]

بما أن: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^n \to 0 \] فإن: \[ v_n \to 0 \] ونتيجةً لذلك: \[ u_n = v_n + 3 \to 3. \]

1) نكتب: \[ u_{n+1} - u_n = \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) - \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}} > 0. \] إذن المتتالية تزايدية.

2) نلاحظ أن: \[ 1 - \frac{1}{2^n} < 1 \] لأن \( \frac{1}{2^n} > 0 \)، ومن جهة أخرى: \[ 1 - \frac{1}{2^n} > 1 - 1 = 0. \]

وبالتالي: \[ 0 < u_n < 1 \] لكل \( n \). إذن \( (u_n) \) متتالية تزايدية ومحدودة من الأعلى بواحد، فحسب مبرهنة التقارب فهي متقاربة.

نحسب النهاية: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 1 - 0 = 1. \]

1) نعلم أن: \[ -1 \le \sin n \le 1 \] لكل \( n \). بقسمة طرفي المتراجحة على \( n+1 > 0 \)، نحصل على: \[ -\frac{1}{n+1} \le \frac{\sin n}{n+1} \le \frac{1}{n+1}. \]

أي: \[ -u_n \le v_n \le u_n. \]

2) نعلم أن: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = 0,\quad \lim_{n\to +\infty} (-u_n) = 0. \]

وبما أن \( v_n \) محصور بين متتاليتين متقاربتين إلى نفس الحد \( 0 \)، فإن: \[ \lim_{n\to +\infty} v_n = 0. \]

1) نكتب: \[ f(x) = \frac{2x+1}{x+2} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}. \]

لما \( x\to +\infty \) لدينا: \[ \frac{1}{x} \to 0,\quad \frac{2}{x} \to 0 \] وبالتالي: \[ \lim_{x\to +\infty} f(x) = \frac{2}{1} = 2. \]

2) بما أن: \[ u_n = f(n) \] فإن: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} f(n) = 2. \]

1) بما أن: \[ u_n = 3\left(\frac{1}{2}\right)^n \] والأساس \( \frac{1}{2} \) له قيمة مطلقة أقل من واحد، فإن: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = 0. \]

2) مجموع حدود متتالية هندسية: \[ S_n = u_0\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \] حيث \( q \) الأساس. هنا: \[ u_0 = 3,\quad q = \frac{1}{2}. \]

إذن: \[ S_n = 3\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 6\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right). \]

نعلم من درس النهايات أن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0. \]

وبما أن: \[ u_n = f(n) \] حيث \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)، فإن: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = 0. \]

1) نبرهن بالتراجُع أن: \[ 0 \le u_n \le 2. \] ل \( n = 0 \)، لدينا: \[ 0 \le u_0 = 0 \le 2 \] صحيحة.

نفرض أن: \[ 0 \le u_n \le 2 \] ثم ندرس \( u_{n+1} \): \[ u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}. \] من الفرض: \[ 0 \le u_n \Rightarrow 2 \le u_n + 2 \Rightarrow 1 \le \frac{u_n + 2}{2} = u_{n+1}, \] ومن جهة أخرى: \[ u_n \le 2 \Rightarrow u_n + 2 \le 4 \Rightarrow u_{n+1} \le 2. \] إذن: \[ 1 \le u_{n+1} \le 2 \] خاصة: \[ 0 \le u_{n+1} \le 2. \]

2) من العلاقة: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 2}{2} - u_n = \frac{2 - u_n}{2} \] نرى أن الفرق موجب ما دام \( u_n < 2 \)، أي المتتالية تزايدية ومحدودة من الأعلى بالعدد \( 2 \)، إذن متقاربة.

3) لنعيّن الحد \( \ell \)، نفترض: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \ell, \] فنحصل على: \[ \ell = \frac{\ell + 2}{2} \Rightarrow 2\ell = \ell + 2 \Rightarrow \ell = 2. \]

1) بما أن: \[ \sqrt{n^2 + 1} > \sqrt{n^2} = n \] فإن: \[ u_n = \sqrt{n^2 + 1} - n > 0. \]

2) نضرب في المرافق: \[ u_n = \sqrt{n^2 + 1} - n = \frac{(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n)}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{(n^2+1) - n^2}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]

3) لما \( n\to +\infty \)، يكون: \[ \sqrt{n^2+1} \sim n \] وبالتالي: \[ \sqrt{n^2+1} + n \sim 2n \to +\infty \] فينتج: \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \to 0. \]

1) ندرس الفرق: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2+1} - \frac{n^2}{n^2+1}. \]

بعد توحيد المقام (حساب طويل نسبياً لكن نتيجته): \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2n+1}{(n^2+1)((n+1)^2+1)} > 0 \] لكل \( n \ge 0 \)، إذن المتتالية تزايدية.

2) نلاحظ أن: \[ 0 \le \frac{n^2}{n^2+1} < 1 \] لأن: \[ n^2 < n^2+1. \] إذن \( (u_n) \) محدودة من الأعلى بالعدد \( 1 \).

3) بما أنها تزايدية ومحدودة من الأعلى، فهي متقاربة. نحسب النهاية: \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} = 1. \]