Modulation d’amplitude

1) Objectif de la modulation et vocabulaire

Modulation : opération qui encode un signal bas fréquence (message) \(m(t)\) sur une porteuse haute fréquence \(p(t)\) pour l’acheminer efficacement par radio.

  • Porteuse sinusoïdale : \(p(t)=A_p\cos(\omega_p t)\) (\(f_p=\omega_p/2\pi\)).
  • Message BF : \(m(t)\) (par ex. audio 20 Hz–20 kHz). On pose souvent \(m(t)=A_m\cos(\omega_m t)\) pour l’étude.
  • Bande passante du message : \(B_m\) (largeur spectrale utile de \(m\)).
La modulation permet : adaptation antenne, multiplexage fréquentiel, robustesse à certaines perturbations, portée plus grande.

2) Modulation d’amplitude (AM) — définition et équation

En AM conventionnelle (avec porteuse), le signal transmis est :

\[ s(t)=A_p\left[1+m\cos(\omega_m t)\right]\cos(\omega_p t), \]

où \(m\) est l’indice de modulation (0 ≤ \(m\) ≤ 1 pour éviter la surmodulation).

En prenant \(m(t)=A_m\cos(\omega_m t)\) et \(m=A_m/A_p\), l’amplitude de la porteuse varie au rythme de \(m(t)\). On développe avec \(\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\).

  • Surmodulation si \(m>1\) → croisement d’enveloppe (distorsion à la détection).
  • Valeur efficace pour \(m=0\) : \(U_{\text{porteuse}}=A_p/\sqrt{2}\).
Enveloppe = Aₚ(1 + m cos ωₘt) Porteuse cos ωₚt
Figure A — Signal AM : porteuse HF et enveloppe BF lisible.

3) Spectre de l’AM et bande passante

En développant \(s(t)\) :

\[ s(t)=A_p\cos\omega_p t+\frac{A_p m}{2}\cos(\omega_p+\omega_m)t+\frac{A_p m}{2}\cos(\omega_p-\omega_m)t. \]

On obtient une raie porteuse à \(f_p\) et deux bandes latérales à \(f_p\pm f_m\).

  • Bande passante AM : \(B=2B_m\) (double du contenu BF utile).
  • La porteuse transporte de la puissance sans information ; les BL portent l’information.
f fₚ fₚ − fₘ fₚ + fₘ B = 2 fₘ
Figure B — Spectre AM : porteuse et deux bandes latérales.

4) Indice de modulation, mesure et surmodulation

L’indice de modulation \(m\) quantifie la variation relative de l’enveloppe :

\[ m=\frac{A_{\max}-A_{\min}}{A_{\max}+A_{\min}}. \]

Si \(m>1\) : surmodulation → l’enveloppe s’annule et s’inverse localement, la détection par diode distord le message.
A_max A_min m = (A_max − A_min) / (A_max + A_min)
Figure C — Lecture expérimentale de l’indice de modulation.

5) Puissance et rendement d’une émission AM

  • Porteuse : \(P_c=\dfrac{A_p^2}{2R}\) dans la charge \(R\).
  • Chaque bande latérale (mono-ton) : \(P_{BL}=\dfrac{(A_p m/2)^2}{2R}=\dfrac{A_p^2 m^2}{8R}\).
  • Puissance totale : \(P_T=P_c+2P_{BL}=P_c\left(1+\dfrac{m^2}{2}\right)\).
  • Rendement utile : \(\eta=\dfrac{m^2}{2+m^2}\leq 1/3\) (max pour \(m=1\)).
L’AM classique est peu efficace en puissance : grosse part dans la porteuse qui n’emporte pas d’information.

6) Variantes : DSB-SC, SSB, VSB (rappels)

  • DSB-SC : \(s(t)=k\,m(t)\cos\omega_p t\) (porteuse supprimée).
  • SSB : bande latérale unique → \(B=B_m\), excellente efficacité.
  • VSB : BL + vestige (TV analogique historique).
Au Bac, maîtriser surtout l’AM avec porteuse et le principe DSB-SC (démodulation synchrone).

7) Démodulation : détection d’enveloppe et synchrone

  • Détection d’enveloppe (AM avec porteuse) : diode + RC. Condition : \(T_p\ll RC\ll T_m\).
  • Démodulation synchrone (DSB-SC) : multiplier par \(\cos\omega_p t\) (OL en phase) puis filtrer PB → \(m(t)/2\).
Détecteur d’enveloppe (diode + R C) — condition : Tₚ ≪ R C ≪ Tₘ D C R Sortie (enveloppe)
Figure D — Détection d’enveloppe : choisir R C pour suivre l’enveloppe sans ondulation HF.

8) Bruit et distorsion en AM

  • Bruit additif : fluctuations sur l’enveloppe → audibles après détection.
  • Surmodulation : distorsion non linéaire due au redressement; éviter \(m>1\).
  • Évanouissements (fading) : variations lentes d’amplitude (propagation).

9) Méthodes pratiques (TP Bac)

  1. Mesure de \(m\) à l’oscilloscope : relever \(A_{\max}\), \(A_{\min}\) → \(m\).
  2. Réglage RC du détecteur : si ondulation HF en sortie, augmenter \(RC\); si écrêtage, diminuer.
  3. Bande passante : balayer \(f_m\) et observer l’atténuation aux extrémités.

10) Exemples chiffrés guidés

Exemple 1 : \(A_p=10\ \text{V}\), \(m=0{,}6\), \(R=50\ \Omega\). \(P_c=A_p^2/(2R)=100/100=1{,}0\ \text{W}\). \(P_T=P_c(1+m^2/2)=1(1+0{,}36/2)=1{,}18\ \text{W}\). \(\eta=2P_{BL}/P_T=m^2/(2+m^2)=0{,}36/2{,}36\approx 15{,}3\%\).

Exemple 2 : message limité à \(B_m=5\ \text{kHz}\). Alors \(B_{\text{AM}}=10\ \text{kHz}\).

11) Erreurs fréquentes

  • Confondre \(m=A_m/A_p\) et \((A_{\max}-A_{\min})/(A_{\max}+A_{\min})\).
  • Choisir \(RC\) trop petit → la sortie contient la porteuse (ondulation HF).
  • Oublier que l’AM consomme beaucoup de puissance dans la porteuse (faible \(\eta\)).

12) Exercices Bac (22) — solutions détaillées

Ex.1 — Équation AM

Donner \(s(t)\) pour une AM (porteuse + BL) avec indice \(m\).

\(s(t)=A_p[1+m\cos\omega_m t]\cos\omega_p t\).

Ex.2 — Développement spectral

Développer \(s(t)\) en somme de cosinus.

\(s=A_p\cos\omega_p t+\frac{A_p m}{2}\cos(\omega_p\!\pm\!\omega_m)t\).

Ex.3 — Largeur de bande

Message limité à \(B_m\). Quelle bande AM ?

\(B=2B_m\).

Ex.4 — Mesure de m

À l’oscillo, \(A_{\max}=6\ \text{V}\), \(A_{\min}=2\ \text{V}\). Calculer \(m\).

\(m=(6-2)/(6+2)=4/8=0{,}5\).

Ex.5 — Surmodulation

Pourquoi \(m>1\) est-il problématique avec un détecteur d’enveloppe ?

L’enveloppe change de signe ⇒ la diode ne suit plus correctement ⇒ distorsion du message.

Ex.6 — Puissance totale

Exprimer \(P_T\) en fonction de \(P_c\) et \(m\) (mono-ton).

\(P_T=P_c(1+m^2/2)\).

Ex.7 — Rendement

Montrer \(\eta=\dfrac{m^2}{2+m^2}\).

\(\eta=m^2/(2+m^2)\).

Ex.8 — Cas \(m=1\)

Quel est \(\eta\) pour \(m=1\) ?

\(\eta=1/3\approx 33\%\).

Ex.9 — Choix de RC

Donner l’inégalité sur \(RC\) pour un détecteur d’enveloppe.

\(T_p\ll RC\ll T_m\).

Ex.10 — Démodulation synchrone

Montrer qu’en multipliant \(s(t)=k m(t)\cos\omega_p t\) par \(\cos\omega_p t\) et en filtrant PB, on récupère \(m(t)/2\).

\(\cos^2\omega_p t=\tfrac12(1+\cos2\omega_p t)\). Le PB enlève \(2\omega_p\) → reste \(k\,m(t)/2\).

Ex.11 — Échec du détecteur (DSB-SC)

Pourquoi un détecteur d’enveloppe ne fonctionne pas pour DSB-SC ?

Absence de porteuse ⇒ pas d’enveloppe simple à suivre.

Ex.12 — Valeur efficace (m=0)

Pour \(m=0\), quelle valeur efficace du signal ?

\(U_{\text{eff}}=A_p/\sqrt2\).

Ex.13 — Spectre à deux tons

Message \(m(t)=\cos\omega_{m1} t+\cos\omega_{m2} t\) : raies BL ?

\(f_p\pm f_{m1}\) et \(f_p\pm f_{m2}\) (+ porteuse).

Ex.14 — Bande passante audio

Audio 50 Hz–5 kHz : \(B\) ?

\(B=10\ \text{kHz}\).

Ex.15 — Calcul de m

\(A_{\max}=8\ \text{V}\), \(A_{\min}=3\ \text{V}\). \(m\) ?

\(m=5/11\approx 0{,}455\).

Ex.16 — Puissances

\(A_p=12\ \text{V}\), \(R=75\ \Omega\), \(m=0{,}8\). Trouver \(P_c, P_T\).

\(P_c=144/150=0{,}96\ \text{W}\). \(P_T=0{,}96(1+0{,}64/2)=1{,}267\ \text{W}\).

Ex.17 — Efficacité

Avec Ex.16, \(\eta\) ?

\(\eta=0{,}64/2{,}64\approx 24{,}2\%\).

Ex.18 — Fréquences BL

\(f_p=1\ \text{MHz}\), \(f_m=2{,}5\ \text{kHz}\). Raies ?

\(1{,}0000000\ \text{MHz}\) (porteuse), \(0{,}9999975\ \text{MHz}\) et \(1{,}0000025\ \text{MHz}\).

Ex.19 — Choix de RC

\(f_p=500\ \text{kHz}\) (\(T_p=2\ \mu s\)), \(f_m\le 5\ \text{kHz}\) (\(T_m\ge 0{,}2\ \text{ms}\)). Proposer \(RC\).

\(RC\sim 20\ \mu s\) (ex. \(R=10\ \text{k}\Omega\), \(C=2\ \text{nF}\)) : \(T_p\ll RC\ll T_m\).

Ex.20 — Surmodulation visible

Décrire l’allure quand \(m=1{,}3\).

Enveloppe qui se croise; portions inversées → forte distorsion après détection.

Ex.21 — DSB-SC : sortie synchrone

Pour \(s(t)=k\,m(t)\cos\omega_p t\), sortie après \(\times\cos\omega_p t\) et PB ?

\(k\,m(t)/2\).

Ex.22 — AM vs SSB

Comparer \(B\) et \(\eta\).

AM : \(B=2B_m\), \(\eta\) faible. SSB : \(B=B_m\), \(\eta\) élevée (pas de porteuse ni BL redondante).

13) Mini-fiche révision

  • \(s(t)=A_p[1+m\cos\omega_m t]\cos\omega_p t\), \(0\le m\le 1\).
  • Spectre : porteuse \(f_p\), BL à \(f_p\pm f_m\), \(B=2B_m\).
  • Puissance : \(P_T=P_c(1+m^2/2)\), \(\eta=m^2/(2+m^2)\le 1/3\).
  • Détection d’enveloppe : \(T_p\ll RC\ll T_m\). DSB-SC ⇒ démodulation synchrone.

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