Mouvements plans

1) Introduction : qu’est-ce qu’un mouvement plan ?

Le mouvement plan d’un point matériel \(M\) est un mouvement dont la trajectoire est contenue dans un plan fixe du référentiel d’étude (terrestre supposé galiléen au Bac). On décrit la position par \(\vec{r}(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}\) dans une base orthonormée \((O,\vec{i},\vec{j})\).

Trajectoire : ensemble des positions successives de \(M\). Équation paramétrique : \(x=x(t)\), \(y=y(t)\). Équation cartésienne : relation \(F(x,y)=0\) obtenue en éliminant \(t\).

Méthode Bac : préciser le référentiel, le repère \(Oxy\), les grandeurs données \((x(t),y(t))\), puis dériver pour obtenir \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\).

2) Cinématique en coordonnées cartésiennes

Vitesse : \(\displaystyle \vec{v}(t)=\dot{x}(t)\,\vec{i}+\dot{y}(t)\,\vec{j}\), module \(v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\).
Accélération : \(\displaystyle \vec{a}(t)=\ddot{x}(t)\,\vec{i}+\ddot{y}(t)\,\vec{j}\).
Direction instantanée : \(\vec{v}\) est tangent à la trajectoire ; \(\vec{a}\) peut avoir une composante normale (changement de direction) et tangentielle (variation du module de \(\vec{v}\)).

Exemple : \(x(t)=a\cos\omega t,\ y(t)=b\sin\omega t\) (ellipse). \(\vec{v}=(-a\omega\sin\omega t)\vec{i}+(b\omega\cos\omega t)\vec{j}\), \(\vec{a}=(-a\omega^2\cos\omega t)\vec{i}+(-b\omega^2\sin\omega t)\vec{j}\).

La vitesse \(\vec{v}\) est tangentielle ; l’accélération \(\vec{a}\) possède une composante normale (courbure) et/ou tangentielle.

3) Décomposition tangentielle & normale (repère de Frenet)

Si \(s\) est l’abscisse curviligne et \(\rho\) le rayon de courbure : \[ \vec{v}= \dot{s}\,\vec{t},\qquad \vec{a}=\dot{v}\,\vec{t}+\frac{v^2}{\rho}\,\vec{n}, \] où \(\vec{t}\) (tangent) a le sens de \(\vec{v}\), et \(\vec{n}\) est la normale vers le centre de courbure.

Composante tangentielle : \(a_t=\dot{v}\) (variation du module de la vitesse).
Composante normale : \(a_n=\dfrac{v^2}{\rho}\) (changement de direction).

4) Mouvement circulaire uniforme (MCU)

Trajectoire circulaire de rayon \(R\), vitesse angulaire \(\omega\) constante : \(\theta(t)=\omega t+\theta_0\). \(\vec{r}=R\cos\theta\,\vec{i}+R\sin\theta\,\vec{j}\).

\(\displaystyle v=|\vec{v}|=R\omega\) (constant), \(\quad T=\dfrac{2\pi}{\omega},\quad f=\dfrac{1}{T}\).
\(\displaystyle \vec{a}=-\omega^2 \vec{r}\) centripète, donc \(a_n=\dfrac{v^2}{R}=R\omega^2\), \(a_t=0\).

MCU : \(\vec{v}\) est tangentielle ; \(\vec{a}\) est centripète (vers \(O\)).

5) Mouvement circulaire non uniforme (MCNU)

Ici \(\omega(t)\) varie dans le temps. On note \(\alpha=\dot{\omega}\) l’accélération angulaire.

\(\displaystyle a_t=R\,\alpha\) (tangentielle, responsable de la variation de \(v\)).
\(\displaystyle a_n=\dfrac{v^2}{R}=R\omega^2\) (normale vers le centre).
Module : \(\displaystyle a=\sqrt{(R\alpha)^2+(R\omega^2)^2}\).

Exemple : si \(\theta(t)=\tfrac{1}{2}\beta t^2\) (\(\omega=\beta t\), \(\alpha=\beta\) cste), alors \(a_t=R\beta\), \(a_n=R\beta^2 t^2\).

6) Mouvement parabolique (projectile plan)

Lancement depuis \(O\) avec vitesse initiale \(v_0\) formant un angle \(\alpha\) avec l’horizontale. Sans frottements : \[ \begin{cases} x(t)=v_0\cos\alpha\ t,\\ y(t)=v_0\sin\alpha\ t - \tfrac{1}{2}gt^2. \end{cases} \] Élimination du temps \(\Rightarrow\) trajectoire parabolique : \(\displaystyle y(x)=x\tan\alpha-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2.\)

Portée : \(\displaystyle L=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha\) (max pour \(\alpha=45^\circ\)).
Hauteur max : \(\displaystyle H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\) atteinte à \(t_s=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\).
Vitesse : \(v_x=v_0\cos\alpha\) cste, \(v_y=v_0\sin\alpha-gt\).

Projectile (sans frottements) : parabole, hauteur \(H\) et portée \(L\) clairement identifiées.

7) Méthodologie Bac

Poser clairement le repère \(Oxy\) et les équations paramétriques.
Dériver pour obtenir \(\vec{v}\) puis \(\vec{a}\).
Identifier le type de mouvement (rectiligne, circulaire, parabolique…).
Utiliser le repère de Frenet si la trajectoire est courbe (calcul de \(a_t\) et \(a_n\)).
Pour les projectiles : séparer \(x\) (MRU) et \(y\) (MRUA).

8) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Vitesse et accélération à partir de \(x(t),y(t)\)

On donne \(x=t^2-2t\), \(y=3t-4\). Trouver \(\vec{v}(t)\) et \(\vec{a}(t)\) puis \(v(t)\).

\(\vec{v}=(2t-2)\vec{i}+3\vec{j}\), \(\vec{a}=2\vec{i}\). \(v=\sqrt{(2t-2)^2+3^2}=\sqrt{4(t-1)^2+9}\).

Ex.2 — Trajectoire d’un point (élimination du temps)

\(x=2\cos t\), \(y=3\sin t\). Équation cartésienne ?

\(\cos t=\dfrac{x}{2}\), \(\sin t=\dfrac{y}{3}\) ⇒ \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) (ellipse).

Ex.3 — MCU : période et accélération

Un point décrit un cercle de rayon \(0{,}50\,\mathrm{m}\) à \(12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\). Calculer \(T, v, a_n\).

\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=0{,}524\,\mathrm{s}\). \(v=R\omega=6{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). \(a_n=\dfrac{v^2}{R}=72\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Ex.4 — MCNU : composantes \(a_t\) et \(a_n\)

Rayon \(R=0{,}40\), \(\omega(t)=3t\). Trouver \(a_t\) et \(a_n\) à \(t=2\ \mathrm{s}\).

\(\alpha=\dot{\omega}=3\). \(a_t=R\alpha=1{,}2\,\mathrm{m\,s^{-2}}\). \(a_n=R\omega^2=0{,}40\times(6)^2=14{,}4\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

Ex.5 — Projectile : portée maximale

\(v_0=20\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Pour quelle \(\alpha\) la portée est-elle max ? Quelle est cette portée ?

Max pour \(\alpha=45^\circ\). \(L_\text{max}=\dfrac{v_0^2}{g}= \dfrac{400}{9{,}81}\approx 40{,}8\,\mathrm{m}\).

Ex.6 — Projectile : hauteur maximale

\(v_0=18\), \(\alpha=30^\circ\). Calculer \(H\).

\(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\dfrac{324\times 0{,}25}{19{,}62}\approx 4{,}13\,\mathrm{m}\).

Ex.7 — Direction instantanée de \(\vec{v}\)

Montrer que \(\vec{v}\) est tangent à la trajectoire \(y(x)\) via \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dot{y}}{\dot{x}}\).

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{\dot{y}}{\dot{x}}=\tan\varphi\) où \(\varphi\) est l’angle de la tangente : \(\vec{v}\) a la même direction que la tangente.

Ex.8 — Virage d’un véhicule (courbure)

Un véhicule prend un virage de rayon \(R=50\,\mathrm{m}\) à \(v=18\,\mathrm{m\,s^{-1}}\). Calculer \(a_n\) et commenter.

\(a_n=v^2/R=6{,}48\,\mathrm{m\,s^{-2}}\) ≈ \(0{,}66g\). Accélération vers le centre : nécessité d’adhérence suffisante.

Ex.9 — Courbe paramétrée (cercle)

\(x=R\cos\omega t\), \(y=R\sin\omega t\). Retrouver \(v\) et \(a\).

\(\vec{v}=(-R\omega\sin\omega t)\vec{i}+(R\omega\cos\omega t)\vec{j}\Rightarrow v=R\omega\). \(\vec{a}=(-R\omega^2\cos\omega t)\vec{i}+(-R\omega^2\sin\omega t)\vec{j}=-\omega^2\vec{r}\Rightarrow a_n=R\omega^2\).

Ex.10 — Temps de vol d’un projectile

\(v_0=25\), \(\alpha=40^\circ\). Durée totale du vol (retour à \(y=0\)) ?

\(t_f=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{50\sin 40^\circ}{9{,}81}\approx 3{,}28\,\mathrm{s}\).

Ex.11 — Angle de la vitesse au sommet

Dans un tir parabolique, quelle est l’orientation de \(\vec{v}\) au sommet de la trajectoire ?

Au sommet \(v_y=0\Rightarrow \vec{v}\) est purement horizontale.

Ex.12 — MCNU : module de l’accélération

\(R=0{,}30\), \(\omega(t)=4+2t\), \(\alpha=2\). Calculer \(a\) à \(t=1\,\mathrm{s}\).

\(\omega(1)=6\Rightarrow a_t=R\alpha=0{,}60\). \(a_n=R\omega^2=0{,}30\times36=10{,}8\). \(a=\sqrt{0{,}60^2+10{,}8^2}\approx 10{,}82\,\mathrm{m\,s^{-2}}\).

9) Erreurs fréquentes

Confondre \(a_t\) et \(a_n\) : \(a_t\) modifie le module de \(v\), \(a_n\) sa direction.
Oublier que \(v_x\) est constant pour le projectile sans frottements (MRU sur \(x\)).
Utiliser \(a=v^2/R\) hors mouvement circulaire (formule valable localement avec rayon de courbure \(\rho\)).
Négliger l’unité des angles : radian pour \(\omega\) et \(\alpha\).

10) Mini-fiche à retenir

\(\vec{v}=(\dot{x},\dot{y})\), \(\vec{a}=(\ddot{x},\ddot{y})\), \(v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\).
Frenet : \(a_t=\dot{v}\), \(a_n=v^2/\rho\).
MCU : \(v=R\omega\), \(a_n=R\omega^2\), \(a_t=0\), \(T=2\pi/\omega\).
Projectile : \(x=v_0\cos\alpha\, t\), \(y=v_0\sin\alpha\, t-\tfrac12 gt^2\), \(L=\dfrac{v_0^2}{g}\sin2\alpha\), \(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\).