Systèmes mécaniques oscillants

1) Champ d’étude & vocabulaire

Un système mécanique oscillant effectue des allers-retours autour d’une position d’équilibre (stable) sous l’action d’une force ou d’un couple de rappel.

  • Période \(T\) ; fréquence \(f=1/T\) ; pulsation \(\omega=2\pi f\).
  • Amplitude \(A\) ; phase \(\varphi\) ; déphasage \(\Delta\varphi\).
  • Modèles : masse–ressort (translation), pendule simple (rotation gravitaire), oscillateur de torsion (rotation élastique).

2) Modèles usuels & positions d’équilibre

2.1 Masse–ressort horizontal & vertical

Horizontal : équilibre en \(x=0\). Vertical : sous \(P=mg\) la position d’équilibre est déplacée : \(k\,x_0=mg\Rightarrow x_0=\dfrac{mg}{k}\).

On étudie le mouvement par rapport à l’équilibre : \(y=x-x_0\). L’équation redevient celle de l’oscillateur harmonique : \(m\ddot y+k y=0\).

y=0 (équilibre) m k
Figure 1 — Ressort vertical : déplacement d’équilibre \(x_0=mg/k\).
m P=mg T θ
Figure 2 — Pendule simple : tension \(T\) et poids \(P\), angle \( \theta\).

2.2 Oscillateur de torsion

Un disque (moment d’inertie \(I\)) suspendu à un fil de torsion (raideur en torsion \(C\)) vérifie : \(\boxed{\,I\ddot\theta + C\theta=0\,}\), \(\omega_0=\sqrt{C/I}\), \(T_0=2\pi\sqrt{I/C}\).

3) Oscillateur harmonique libre (OHL)

\(\boxed{\,m\ddot x+kx=0\,}\) (translation) ou \(\boxed{\,I\ddot\theta +C\theta=0\,}\) (rotation). Solution : \(x(t)=A\cos(\omega_0 t+\varphi_0)\) avec \(\omega_0=\sqrt{k/m}\).

  • Vitesse et accélération : \(v=-A\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi_0)\), \(a=-\omega_0^2 x\).
  • Portrait de phase : ellipse \( \dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{v^2}{A^2\omega_0^2}=1 \).

4) Pendule simple — domaine de validité

Projection tangentielle : \(m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta\). Pour \( |\theta|\ll 1\), \(\sin\theta\simeq\theta\) ⇒ \(\ddot\theta + \dfrac{g}{\ell}\theta=0\).
Période \(T_0=2\pi\sqrt{\ell/g}\) indépendante de \(m\) et de l’amplitude (petits angles).

Au-delà de \(20^\circ\), la période augmente légèrement (correction d’amplitude non exigible au Bac).

5) Énergie mécanique & échanges

  • \(E_p=\tfrac12k x^2\) (ou \(E_p=\tfrac12 C\theta^2\)), \(E_c=\tfrac12 m v^2\) (ou \(=\tfrac12 I\dot\theta^2\)).
  • OHL : \(E=E_p+E_c=\tfrac12kA^2=\text{constante}\). Au passage par l’équilibre : \(E_c\) max, \(E_p=0\).

6) Oscillateur amorti (frottement visqueux)

\(\boxed{\,m\ddot x+b\dot x+kx=0\,}\), \(\gamma=\dfrac{b}{2m}\), \(\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\).

  • Sous-amorti \((\gamma<\omega_0)\) : \(x=A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\).
  • Critique \((\gamma=\omega_0)\) : retour le plus rapide sans oscillation.
  • Sur-amorti \((\gamma>\omega_0)\) : somme de décroissances exponentielles, sans oscillation.
  • Décrément : \( \delta=\ln\dfrac{x(t)}{x(t+T)} \approx \gamma T\) si \( \gamma\ll\omega_0\).

7) Oscillateur forcé harmonique, puissance & résonance

\(\boxed{\,m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t)\,}\) ⇒ régime permanent : \(x(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\phi)\).

  • Amplitude \(A(\omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}\).
  • Déphasage \(\tan\phi=\dfrac{b\omega}{k-m\omega^2}\) (de \(0\) à \(\pi\)).
  • Puissance moyenne absorbée \( \langle P\rangle = \tfrac12 b \omega^2 A^2\).
  • Résonance : pic près de \(\omega_r\simeq \sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\) (si \( \gamma\ll\omega_0\)).
ωr ω A(ω)
Figure 3 — Réponse en amplitude (résonance pour faible amortissement).

8) Superposition & battements (extension utile)

Somme de deux oscillations proches : \(x(t)=A\cos(\omega_1 t)+A\cos(\omega_2 t)=2A\cos\!\left(\dfrac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos\!\left(\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\).

  • Fréquence de battement \(f_b=\dfrac{|\omega_1-\omega_2|}{2\pi}\).
  • L’enveloppe varie lentement ; utile pour identifier \(\Delta\omega\) en TP.
Figure 4 — Battements : enveloppe verte/rouge, porteuse violette.

9) Facteur de qualité & bande passante

  • \(Q=\dfrac{\omega_0}{2\gamma}\) (si \( \gamma\ll\omega_0\)).
  • Bande passante \(\Delta\omega=\omega_2-\omega_1\) telle que \(A(\omega_{1,2})=A_\text{max}/\sqrt{2}\) ⇒ \(\Delta\omega\simeq \dfrac{\omega_0}{Q}\).
  • Interprétation énergétique : \(Q=2\pi\dfrac{\text{énergie stockée}}{\text{énergie perdue par période}}\).

10) Méthodes expérimentales & incertitudes

  1. Chronométrie : mesurer \(n\) périodes ⇒ \(T=\Delta t/n\) (réduire l’erreur relative).
  2. Détermination de \(k\) : \(k=4\pi^2\dfrac{m}{T^2}\) ; vertical : vérifier \(x_0=mg/k\).
  3. Amortissement : tracer \(\ln(x_n)\) vs \(n\) ⇒ pente \( -\delta \) (méthode du décrément).
  4. Forçage : balayer \(\omega\) (générateur + capteur) ⇒ relever \(A(\omega)\), puis \(\omega_r\), \(Q\), \(\Delta\omega\).

11) Erreurs fréquentes

  • Oublier que, en vertical, on travaille autour de l’équilibre déplacé \(x_0=mg/k\).
  • Confondre \(\omega_0\) (propre), \(\omega\) (excitatrice) et \(\omega_r\) (résonance).
  • Utiliser l’approximation petits angles hors domaine (pendule).
  • Lire l’amplitude d’un signal amorti sans suivre l’enveloppe exponentielle.

12) Exercices type Bac (14) — solutions détaillées

Ex.1 — Ressort vertical : position d’équilibre

Un ressort \(k=30\,\text{N·m}^{-1}\) porte \(m=0{,}20\,\text{kg}\). Calculer \(x_0\), puis la pulsation des petites oscillations.

\(x_0=mg/k=0{,}2\times 9{,}81/30=0{,}0654\,\text{m}\).

Autour de l’équilibre : \(\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{30/0{,}2}=12{,}25\ \text{rad·s}^{-1}\), \(T_0=0{,}513\,\text{s}\).

Ex.2 — OHL : vitesse & énergie

\(x=A\cos(\omega_0 t)\) avec \(A=5\,\text{cm}\), \(\omega_0=10\). Donner \(v(t)\), \(a(t)\), \(E\) si \(k=40\).

\(v=-A\omega_0\sin(\omega_0 t)\), \(a=-\omega_0^2 x\).

\(E=\tfrac12 kA^2=0{,}5\times 40\times 0{,}05^2=0{,}05\,\text{J}\).

Ex.3 — Pendule : longueurs

Période mesurée \(T=1{,}80\,\text{s}\). Trouver \(\ell\).

\(\ell=gT^2/4\pi^2=9{,}81\times 1{,}8^2/39{,}48\simeq 0{,}81\,\text{m}\).

Ex.4 — Décrément & \(\gamma\)

Sur un enregistrement amorti, \(x_1=3{,}6\,\text{cm}\) et \(x_6=1{,}8\,\text{cm}\). Avec \(T=0{,}75\,\text{s}\), estimer \(\gamma\).

\(\delta=\tfrac1{5}\ln(3{,}6/1{,}8)=\tfrac1{5}\ln 2=0{,}139\). \(\gamma\simeq \delta/T=0{,}139/0{,}75=0{,}185\,\text{s}^{-1}\).

Ex.5 — Régime forcé : amplitude

\(m=0{,}30\), \(k=18\), \(b=0{,}90\), \(F_0=0{,}60\). À \(\omega=5\), calculer \(A\).

\(k-m\omega^2=18-0{,}30\times25=10{,}5\), \(b\omega=4{,}5\).

\(A=\dfrac{0{,}60}{\sqrt{10{,}5^2+4{,}5^2}}=\dfrac{0{,}60}{11{,}43}\approx 5{,}25\times10^{-2}\,\text{m}\).

Ex.6 — Phase

Avec les données de l’Ex.5, calculer \(\phi\).

\(\tan\phi=\dfrac{b\omega}{k-m\omega^2}=\dfrac{4{,}5}{10{,}5}\Rightarrow \phi\simeq 23{,}2^\circ\).

Ex.7 — Puissance moyenne

À l’état permanent (Ex.5), calculer \( \langle P\rangle = \tfrac12 b\omega^2 A^2\).

\( \langle P\rangle = 0{,}5\times 0{,}90\times 25\times (0{,}0525)^2 \approx 0{,}031\,\text{W}\).

Ex.8 — Facteur de qualité

Pour un système sous-amorti : \(\omega_0=20\), \(\gamma=0{,}25\). Calculer \(Q\) et \(\Delta\omega\).

\(Q=\omega_0/(2\gamma)=20/0{,}5=40\). \(\Delta\omega\simeq \omega_0/Q=0{,}5\,\text{rad·s}^{-1}\).

Ex.9 — Ressort : raideur

On mesure \(T=0{,}66\,\text{s}\) avec \(m=0{,}40\,\text{kg}\). Déterminer \(k\).

\(k=4\pi^2 m/T^2=39{,}48\times 0{,}40/0{,}4356\simeq 36{,}3\,\text{N·m}^{-1}\).

Ex.10 — Oscillateur de torsion

Un disque \(I=2{,}5\times10^{-3}\,\text{kg·m}^2\) a \(T=1{,}20\,\text{s}\). Calculer \(C\).

\(C=4\pi^2 I/T^2=39{,}48\times 2{,}5\!\times\!10^{-3}/1{,}44\simeq 0{,}0686\,\text{N·m·rad}^{-1}\).

Ex.11 — Battements

\(\omega_1=63{,}0\), \(\omega_2=60{,}0\). Déterminer \(f_b\).

\(f_b=|\omega_1-\omega_2|/(2\pi)=3/(2\pi)\approx 0{,}477\,\text{Hz}\).

Ex.12 — Portrait de phase

OHL avec \(A=4\,\text{cm}\), \(\omega_0=8\). Écrire l’équation de l’ellipse \((x,v)\).

\(\dfrac{x^2}{0{,}04^2}+\dfrac{v^2}{(0{,}32)^2}=1\) car \(A\omega_0=0{,}04\times 8=0{,}32\).

Ex.13 — Période vs longueur (pendule)

On cherche \(g\) à partir d’un pendule : \(\ell=0{,}90\,\text{m}\), \(T=1{,}90\,\text{s}\). Calculer \(g\) et discuter l’écart.

\(g=4\pi^2\ell/T^2=39{,}48\times 0{,}90/3{,}61\simeq 9{,}84\,\text{m·s}^{-2}\) (écart compatible avec les incertitudes si \(|\Delta g|/g<1\%\)).

Ex.14 — Puissance maximale

Montrer que la puissance moyenne absorbée est maximale quand \(\omega\simeq\omega_r\).

Comme \(\langle P\rangle=\tfrac12 b\omega^2 A^2\) et \(A(\omega)\) possède un pic à \(\omega_r\), alors \(\langle P\rangle\) est maximale au même voisinage (produit d’une fonction croissante \(\omega^2\) et d’un pic \(A^2\)).

13) Mini-fiche récapitulative

  • OHL : \(m\ddot x+kx=0\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}\), \(T=2\pi/\omega_0\), \(E=\tfrac12 kA^2\).
  • Pendule petits angles : \(T=2\pi\sqrt{\ell/g}\).
  • Amorti : \(m\ddot x+b\dot x+kx=0\). Sous-amorti \(x=A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)\), \(\gamma=b/2m\).
  • Forcé : \(A(\omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}\). Résonance \(\omega_r\simeq\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\).
  • Qualité : \(Q=\omega_0/(2\gamma)\), \(\Delta\omega\simeq \omega_0/Q\).
  • Vertical : équilibre déplacé \(x_0=mg/k\), on étudie \(y=x-x_0\).

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