النهايات والاتصال

1) تمهيد وأهداف درس النهايات والاتصال

في جذع 2 باك علوم فيزيائية، درس النهايات والاتصال هو أساس دراسة الدوال ورسم المنحنيات والانتقال إلى حساب المشتقات والتكامل فيما بعد. الفكرة البسيطة: ماذا يحدث لقيم الدالة عندما يقترب المتغيّر \(x\) من قيمة معيّنة أو نحو اللانهاية؟

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

فهم معنى النهاية \(\lim_{x\to a} f(x)\) والتمييز بين النهاية اليمنى واليسرى.
حساب النهايات البسيطة باستعمال الجداول والتقريب العددي والمنحنى.
استعمال قواعد حساب النهايات (مجموع، جداء، خارج، تركيب) والنهايات الشهيرة.
التعامل مع الأشكال غير المحددة من النوع \(0/0\) و \(\infty/\infty\) باستعمال التحليل والعامل المشترك والمرافق.
فهم تعريف الاتصال في نقطة وعلى مجال وربط الاتصال برسم المنحنى.
تطبيق الاتصال في مبرهنة القيم المتوسطة لإثبات وجود جذور بعض المعادلات.

منهجية عامة في التمارين

كتابة معطيات الدالة (مجال التعريف، التعبير الجبري).
تحديد النهاية المطلوبة (عند عدد، نحو \(+\infty\)، نحو \(-\infty\) ...).
تجريب التعويض المباشر. إذا أعطى قيمة عادية ⇒ النهاية مباشرة.
إذا ظهرت صيغة غير محددة ⇒ تبسيط باستعمال التحليل (استخراج عامل، مرافق، توحيد مقام...).
استعمال قواعد النهايات والنهايات الشهيرة، ثم كتابة خلاصة واضحة.

2) فكرة النهاية بطريقة حدسية (عددية ومنحنى)

تعريف حدسي

نقول إن للدالة \(f\) نهاية \(L\) عندما يقترب \(x\) من العدد \(a\) إذا أمكن جعل قيم \(f(x)\) قريبة جداً من \(L\) باختيار قيم \(x\) قريبة بما فيه الكفاية من \(a\) (دون أن يهمنا قيمة \(f(a)\) نفسها).

نكتب ذلك: \[ \lim_{x\to a} f(x)=L. \]

مثال عددي بسيط

اعتبر الدالة \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) مع \(x\neq 1\).

نملأ جدولا تقريبياً قريباً من \(1\):

x	0.9	0.99	0.999	1.001	1.01	1.1
f(x)	1.9	1.99	1.999	2.001	2.01	2.1

نلاحظ أن قيم \(f(x)\) تقترب من العدد \(2\) عندما يقترب \(x\) من \(1\)، رغم أن \(f(1)\) غير معرّفة. إذن: \[ \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2. \]

على المنحنى البياني، النهاية تعبّر عن سلوك المنحنى قرب النقطة (أو عندما نبتعد كثيراً نحو \(+\infty\) أو \(-\infty\)).

3) النهايات اليمنى واليسرى عند نقطة

نهاية يمنى ونهاية يسرى

النهاية اليمنى عند \(a\): ننظر إلى قيم \(x>a\) قريبة من \(a\)، نكتب: \[ \lim_{x\to a^+} f(x). \]
النهاية اليسرى عند \(a\): ننظر إلى قيم \(x

شرط وجود النهاية عند نقطة

لتكون \[ \lim_{x\to a} f(x) \] موجودة ومساوية لعدد \(L\)، يجب أن تكون:

\[ \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L. \]

مثال دالة معرفة بجزئين

لتكن \[ f(x)= \begin{cases} x^2 & \text{إذا } x<1,\\[4pt] 2x-1 & \text{إذا } x\ge 1. \end{cases} \]

النهاية اليسرى: \[ \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x^2 =1. \]
النهاية اليمنى: \[ \lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (2x-1)=1. \]

بما أن النهايتين متساويتان، فالنهاية عند \(1\) موجودة وتساوي \(1\).

4) النهايات عند اللانهاية واللانهاية عند نقطة

نهايات عند اللانهاية

نقول \[ \lim_{x\to +\infty} f(x)=L \] إذا اقتربت قيم \(f(x)\) من \(L\) عندما يكبر \(x\) بلا حد نحو \(+\infty\).
نقول \[ \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty \] إذا كانت قيم \(f(x)\) تكبر بدون حد كلما كبر \(x\).

مثال دوال كثيرية ودوال كسريـة

إذا كانت \(f(x)=ax^n+\dots\) (دالة كثيرية) فالسلوك عند \(+\infty\) و\(-\infty\) يحدده الحد الأعلى درجة.
إذا كانت \[ f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} \] حيث \(P,Q\) كثيرات حدود، نقارن درجات البسط والمقام:
- إذا \(\deg P < \deg Q\) ⇒ \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0\).
- إذا \(\deg P = \deg Q\) ⇒ النهاية عدد يساوي نسبة معاملات الحدود الرئيسية.
- إذا \(\deg P > \deg Q\) ⇒ النهاية \(+\infty\) أو \(-\infty\) حسب إشارات المعاملات.

أمثلة سريعة

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-4} =\frac{3}{1}=3. \]
\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{5x+2}{x^2+1}=0 \] لأن درجة البسط أصغر من درجة المقام.

نهايات من نوع \(+\infty\) أو \(-\infty\) قرب نقطة

إذا كانت الدالة تقترب من \(+\infty\) أو \(-\infty\) عندما يقترب \(x\) من عدد \(a\)، نقول إن للمنحنى مستقيم مقارب عمودي بمعادلة \(x=a\).

مثال: \[ f(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow \lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty. \]

5) قواعد حساب النهايات والنهايات الشهيرة

قواعد عامة (مع افتراض وجود النهايات واستقرار العمليات)

إذا كانت: \[ \lim_{x\to a} f(x)=L,\quad \lim_{x\to a} g(x)=M \] فإن:

\(\displaystyle \lim_{x\to a} [f(x)+g(x)]=L+M\).
\(\displaystyle \lim_{x\to a} [k\cdot f(x)]=kL\) لأي عدد حقيقي ثابت \(k\).
\(\displaystyle \lim_{x\to a} [f(x)\cdot g(x)]=LM\).
إذا كان \(M\neq 0\): \[ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

النهايات الشهيرة المستعملة في باك العلوم الفيزيائية

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. \]
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}=1. \]
\[ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]
\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0,\quad \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0. \]

في 2 باك، يجب حفظ هذه النهايات واستعمالها داخل التمارين إذا ظهرت بعد التبسيط.

6) الأشكال غير المحددة وتقنيات التبسيط

أهم الأشكال غير المحددة في هذا الدرس

\(\displaystyle \frac{0}{0}\).
\(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\).
\(\infty-\infty\) (في بعض الحالات).

عندما تحصل على شكل غير محدد، لا يمكن استخلاص النهاية مباشرة ويجب تبسيط التعبير.

تقنيات أساسية لحل \(\dfrac{0}{0}\)

التحليل إلى جداء واستخراج عامل مشترك ثم الاختزال.
استعمال المرافق عندما يظهر جذر تربيعي.
توحيد المقام أو إعادة كتابة التعبير بشكل مكافئ أبسط.

مثال 1 — عامل مشترك

\[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} \] تعطي \(\frac{0}{0}\) بالتعويض المباشر.

نحلل: \[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad (x\neq 1). \]

إذن: \[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1} (x+1)=2. \]

مثال 2 — المرافق

\[ \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}. \]

بالتعويض نحصل على \(\frac{0}{0}\). نضرب في المرافق: \[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} =\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} =\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}. \]

إذن: \[ \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} =\lim_{x\to 4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}. \]

7) تعريف الاتصال في نقطة وعلى مجال

اتصال دالة في نقطة

لتكن \(f\) دالة معرفة على مجال يحتوي العدد \(a\). نقول إن \(f\) متصلة في \(a\) إذا تحققت الشروط الثلاثة:

\(f(a)\) موجودة (أي \(a\) من مجال تعريف الدالة).
النهاية \[ \lim_{x\to a} f(x) \] موجودة (كعدد حقيقي).
\[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \]

اتصال على مجال

نقول إن \(f\) متصلة على مجال \(I\) إذا كانت متصلة في كل عدد \(a\in I\).

دوال معروفة متصلة على مجالاتها

الدوال كثيرات الحدود متصلة على \(\mathbb{R}\).
الدوال الكسرية متصلة على مجموعة تعريفها (نستثني جذور المقام).
الدوال المثلثية \(\sin, \cos, \tan\) متصلة على مجالات تعريفها.
الدالة اللوغاريتمية \(\ln x\) متصلة على \(]0,+\infty[\) (إذا كانت في المقرر).

عملياً: إذا كانت \(f\) مكتوبة بتعابير عادية (جمع، طرح، جداء، خارج، تركيب) لدوال معروفة، فهي غالباً متصلة على مجال تعريفها.

8) خواص الاتصال وتركيب الدوال

قواعد أساسية

لتكن \(f\) و \(g\) متصلتين في \(a\)، و \(k\) عدد حقيقي:

الدالة \(f+g\) متصلة في \(a\).
الدالة \(k\cdot f\) متصلة في \(a\).
الدالة \(f\cdot g\) متصلة في \(a\).
إذا كان \(g(a)\neq 0\)، فإن \(\dfrac{f}{g}\) متصلة في \(a\).
إذا كانت \(g\) متصلة في \(a\) و\(f\) متصلة في \(g(a)\)، فإن الدالة المركبة \(f\circ g\) متصلة في \(a\).

مثال

الدالة \[ f(x)=\frac{3x^2-1}{x-2} \] هي خارج دالتين كثيرتي حدود، وبالتالي متصلة على مجال تعريفها \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

عند \(x=2\) ليست متصلة لأن الدالة غير معرّفة في هذه النقطة.

9) مبرهنة القيم المتوسطة وتطبيق على الجذور

مبرهنة القيم المتوسطة (صيغة مبسّطة باك)

إذا كانت \(f\) دالة متصلة على المجال المغلق \([a,b]\)، وحققنا: \[ f(a)\le k \le f(b) \quad \text{أو} \quad f(b)\le k \le f(a), \] فإن المعادلة \[ f(x)=k \] تقبل على الأقل حلاً واحداً \(c\) في \([a,b]\).

تطبيق نموذجي

لتكن \[ f(x)=x^3-3x+1. \] نريد أن نُبرهن أن المعادلة \(f(x)=0\) لها على الأقل حل في \([0,1]\).

\(f(0)=1>0\).
\(f(1)=1-3+1=-1<0\).

بما أن \(f\) كثير حدود ⇒ متصلة على \([0,1]\)، ولدينا \(f(0)\cdot f(1)<0\)، إذن وفقاً لمبرهنة القيم المتوسطة، توجد \[ \xi\in[0,1] \quad \text{بحيث} \quad f(\xi)=0. \]

في التمارين، الهدف غالباً هو إثبات وجود حل وليس إيجاد قيمته الدقيقة.

10) تمارين باك (12) — مع حلول مفصّلة

تمرين 1 — نهاية عددية بسيطة

احسب النهاية: \[ \lim_{x\to 2} (3x^2-5x+1). \]

الدالة كثير حدود ⇒ متصلة على \(\mathbb{R}\)، إذن النهاية تساوي قيمة الدالة في 2:

\[ 3(2)^2-5(2)+1=3\cdot 4-10+1=12-10+1=3. \]

إذن: \[ \lim_{x\to 2} (3x^2-5x+1)=3. \]

تمرين 2 — حد من النوع \(\dfrac{0}{0}\) (عامل مشترك)

احسب: \[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}. \]

بالتعويض: \(\dfrac{1-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}\) ⇒ شكل غير محدد.

نحلل: \[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]

إذن: \[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad (x\neq 1). \]

وبالتالي: \[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to 1} (x+1)=2. \]

تمرين 3 — استعمال المرافق

احسب: \[ \lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}. \]

التعويض يعطي \(\dfrac{0}{0}\) ⇒ نستخدم المرافق.

\[ \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} =\frac{x-9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}. \]

إذن: \[ \lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} =\lim_{x\to 9} \frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}. \]

تمرين 4 — نهاية عند \(+\infty\) لدالة كسرية

احسب: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{2x^2-3}{x^2+5x}. \]

نقارن درجات البسط والمقام: كلاهما من الدرجة 2.

نقسم البسط والمقام على \(x^2\):

\[ \frac{2x^2-3}{x^2+5x} =\frac{2-\dfrac{3}{x^2}}{1+\dfrac{5}{x}}. \]

وعندما \(x\to +\infty\): \(\dfrac{3}{x^2}\to 0\) و \(\dfrac{5}{x}\to 0\)، إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{2x^2-3}{x^2+5x}= \frac{2}{1}=2. \]

تمرين 5 — نهاية نحو اللانهاية (\(0\) كنهاية)

احسب: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{5x-1}{x^3+2}. \]

درجة البسط 1 ودرجة المقام 3 ⇒ المقام يكبر أسرع بكثير.

إذن: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{5x-1}{x^3+2}=0. \]

تمرين 6 — اتصال دالة كسرية

لتكن \[ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}. \]

حدد مجموعة تعريف \(f\).
هل \(f\) متصلة في \(x=2\) ؟ علّل.

1) المقام ينعدم عند \(x=1\)، إذن: \[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}. \]

2) العدد \(2\) ينتمي إلى \(D_f\)، والدالة هي خارج كثيرتي حدود، وبالتالي متصلة على \(D_f\).

إذن \(f\) متصلة في \(x=2\).

تمرين 7 — دالة معرفة بجزئين والنهايات اليمنى واليسرى

لتكن الدالة: \[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{إذا } x<0,\\[4pt] x^2 & \text{إذا } x\ge 0. \end{cases} \]

احسب \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)\) و \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)\).
هل \(f\) متصلة في \(0\) ؟

1) النهاية اليسرى: \[ \lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x+1)=1. \]

النهاية اليمنى: \[ \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^2=0. \]

2) بما أن النهايتين مختلفتان، فالنهاية عند \(0\) غير موجودة، وبالتالي \(f\) غير متصلة في \(0\).

تمرين 8 — استعمال مبرهنة القيم المتوسطة

لتكن \[ f(x)=x^3-x-1. \]

أحسب \(f(1)\) و \(f(2)\).
برهن أن للمعادلة \(f(x)=0\) حلاً واحداً على الأقل في المجال \([1,2]\).

1) \[ f(1)=1-1-1=-1,\quad f(2)=8-2-1=5. \]

2) الدالة \(f\) كثير حدود ⇒ متصلة على \([1,2]\). نلاحظ: \[ f(1)=-1<0,\quad f(2)=5>0. \]

إذن \(f(1)\cdot f(2)<0\)، وبحسب مبرهنة القيم المتوسطة، توجد \(\xi\in[1,2]\) بحيث \(f(\xi)=0\).

تمرين 9 — نهاية مثلثية

استعمل النهايات الشهيرة لحساب: \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}. \]

هذه من النهايات الشهيرة التي يجب حفظها في 2 باك:

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1. \]

تمرين 10 — تركيب دوال واتصال

لتكن: \[ g(x)=x^2+1,\quad f(x)=\sqrt{x}. \]

حدد مجموعة تعريف الدالة المركبة \(h=f\circ g\).
هل \(h\) متصلة على مجال تعريفها؟

1) لدينا: \[ h(x)=f(g(x))=\sqrt{x^2+1}. \]

نفرض \(x^2+1\ge 0\). هذا الشرط محقق لكل \(x\in\mathbb{R}\)، إذن \(D_h=\mathbb{R}\).

2) \(g\) كثير حدود ⇒ متصلة على \(\mathbb{R}\)، و\(f(x)=\sqrt{x}\) متصلة على \(]0,+\infty[\)، و\(g(x)=x^2+1>0\) لكل \(x\). إذن \(h=f\circ g\) متصلة على \(\mathbb{R}\).

تمرين 11 — نهاية مع لوغاريتم (إذا كانت في المقرر)

احسب: \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}. \]

هذه أيضاً من النهايات المعروفة في الباك:

\[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0. \]

تفسير بسيط: \(x\) يكبر أسرع بكثير من \(\ln x\) عندما \(x\to +\infty\).

تمرين 12 — دراسة اتصال دالة على مجال

لتكن: \[ f(x)= \begin{cases} x^2-1 & \text{إذا } x\le 1,\\[4pt] 2x-3 & \text{إذا } x>1. \end{cases} \]

أحسب \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)\) و \(\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)\) ثم \(f(1)\).
استنتج هل \(f\) متصلة في \(1\).

1) إذا \(x\le 1\) فـ \(f(x)=x^2-1\)، إذن: \[ \lim_{x\to 1^-} f(x)=1^2-1=0. \]

وإذا \(x>1\) فـ \(f(x)=2x-3\)، إذن: \[ \lim_{x\to 1^+} f(x)=2\cdot 1-3=-1. \]

وقيمة الدالة في 1 هي: \[ f(1)=1^2-1=0 \]

2) النهاية اليسرى \(0\) والنهاية اليمنى \(-1\) مختلفتان ⇒ النهاية عند 1 غير موجودة، إذن الدالة غير متصلة في 1 رغم أن \(f(1)\) موجودة.

11) خلاصة مركزة لدرس النهايات والاتصال

النهاية تصف سلوك الدالة قرب نقطة أو عندما يبتعد \(x\) نحو \(\pm\infty\).
وجود النهاية عند \(a\) يتطلب تساوي النهاية اليمنى واليسرى.
لدوال كثيرات الحدود والكسريات، نستعمل قواعد النهايات ومقارنة الدرجات.
الأشكال غير المحددة \(\dfrac{0}{0}\)، \(\dfrac{\infty}{\infty}\) تُعالَج بالتحليل، العامل المشترك، المرافق...
الاتصال في \(a\): وجود \(f(a)\) والنهاية \(\lim_{x\to a} f(x)\) مع مساواتهما.
الدوال المألوفة (كثيرات الحدود، الكسريات، المثلثية...) متصلة على مجالات تعريفها.
مبرهنة القيم المتوسطة تستعمل الاتصال لإثبات وجود حلول لمعادلات على مجال مغلق.