الدوال الأسية

1) مقدمة: لماذا الدوال الأسية في 2 باك علوم فيزيائية؟

الدوال الأسية، خصوصًا الدالة الأسية الطبيعية \( \mathrm{e}^x \)، تلعب دورًا مركزيًا في برنامج 2 باك علوم فيزيائية، لأنها:

  • تظهر في دراسة الدوال والتحليل (نهايات، رتابة، تمارين مقارنة...).
  • مهمّة في حلّ المعادلات والمتراجحات الأسية.
  • تستعمل بشكل مكثّف في النماذج الفيزيائية: النمو والاضمحلال الإشعاعي، قانون أرينيوس، الشحن والتفريغ في الدوائر...

الهدف من هذا الدرس هو بناء فهم قوي للدالة الأسية وخواصها، مع تمارين على نمط الامتحان الوطني.

في الوطني، الأسئلة حول الأسية لا تأتي منفصلة؛ غالبًا تكون مدمجة في دراسة دوال، أو في تمارين فيزياء تستلزم استعمال صيغة أسية \( k(t)=k_0\mathrm{e}^{-t/\tau} \) أو \( N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t} \) ثم أخذ \(\ln\).

2) تعريف الدالة الأسية الطبيعية \( \mathrm{e}^x \) وخواصها الأساسية

تعريف (مستوى 2 باك)

تُعرَّف الدالة الأسية الطبيعية: \[ \exp : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{\ast +},\quad \exp(x)=\mathrm{e}^x \] حيث:

  • \(\mathrm{e}\approx 2{,}71828\) هو عدد حقيقي خاص يسمى العدد النيبيري.
  • \(\mathrm{e}^x>0\) لكل \(x\in\mathbb{R}\).
  • \(\mathrm{e}^0=1\).

خواص جبرية أساسية

  • \[ \mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^y\quad \text{لكل }x,y\in\mathbb{R}. \]
  • \[ \mathrm{e}^{0}=1,\quad \mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^x}. \]
  • \[ \left(\mathrm{e}^{x}\right)^n=\mathrm{e}^{nx}\quad (n\in\mathbb{Z}). \]
  • الدالة \(\mathrm{e}^x\) موجبة دائمًا: \(\mathrm{e}^x>0\) لكل \(x\).

مهم: بما أن \(\mathrm{e}^x>0\)، فإن أي تعبير من الشكل \(\mathrm{e}^{f(x)}\) يكون دائمًا موجبًا، وهذا يفيد في دراسة إشارات حدود أو كسور تحتوي \(\mathrm{e}^{f(x)}\).

3) التمثيل البياني والنهايات للدالة \( \mathrm{e}^x \)

المنحنى \( C_{\exp} \)

نرمز لمنحنى الدالة \( x\mapsto\mathrm{e}^x \) في معلم متعامد ممنظم بـ \( C_{\exp} \). من أهم المعلومات:

  • يمرّ بالنقطة \(A(0,1)\) لأن \(\mathrm{e}^0=1\).
  • كل نقاطه فوق محور الفواصل لأن \(\mathrm{e}^x>0\) لكل \(x\).
  • له فرع غير منتهٍ عندما \(x\to+\infty\) يرتفع بسرعة كبيرة.
  • يقترب من محور الفواصل عندما \(x\to-\infty\) دون أن يقطعه (الـمحور \(Ox\) مستقيم مقارب أفقي).

نهايات أساسية

لدينا: \[ \lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0. \]

مقارنة مع دوال أخرى

  • لكل \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\): \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{\mathrm{e}^x}=0. \] أي أن الدالة الأسية تنمو أسرع من أي دالة حدودية من درجة موجبة.
  • بالمقارنة مع \(\ln(x)\) (على \(]0,+\infty[\)): \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\mathrm{e}^x}=0. \]

4) الاشتقاق، الرتابة وتقعّر الدالة الأسية

الاشتقاق

الدالة \( \mathrm{e}^x \) قابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، ومشتقها هو: \[ (\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x. \]

نتائج حول الرتابة

بما أن: \[ \mathrm{e}^x>0\quad \forall x\in\mathbb{R}, \] فإن \( \mathrm{e}^x \) متزايدة تمامًا على \(\mathbb{R}\). وبالتالي: \[ x_1<x_2 \Rightarrow \mathrm{e}^{x_1}<\mathrm{e}^{x_2}. \]

اشتقاق دوال من الشكل \(\mathrm{e}^{u(x)}\)

إذا كانت \(u\) دالة قابلة للاشتقاق على مجال معيّن، فإن: \[ \left(\mathrm{e}^{u(x)}\right)'=u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}. \]

أمثلة

  • \[ f(x)=\mathrm{e}^{2x}\Rightarrow f'(x)=2\mathrm{e}^{2x}. \]
  • \[ g(x)=\mathrm{e}^{-3x+1}\Rightarrow g'(x)=(-3)\mathrm{e}^{-3x+1}. \]

5) دوال من الشكل \( f(x)=\mathrm{e}^{ax+b} \) (مع \(a,b\in\mathbb{R}\))

في التمارين، نصادف كثيرًا دوالًا من الشكل: \[ f(x)=\mathrm{e}^{ax+b} \] حيث \(a,b\) ثوابت حقيقية.

بعض الخواص

  • مجال تعريف \(f\) هو \(\mathbb{R}\) (لأن الأسية معرفة على كامل \(\mathbb{R}\)).
  • \[ f'(x)=a\mathrm{e}^{ax+b}. \]
  • إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(a\)، لأن \(\mathrm{e}^{ax+b}>0\) دائمًا.
  • إذا \(a>0\) ⇒ \(f\) متزايدة تمامًا؛ إذا \(a<0\) ⇒ \(f\) متناقصة تمامًا.

مثال

لتكن: \[ f(x)=\mathrm{e}^{-2x+3}. \] لدينا: \[ f'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x+3}<0\quad \forall x\in\mathbb{R}. \] إذن \(f\) متناقصة تمامًا على \(\mathbb{R}\).

6) حل معادلات ومتراجحات أسية

معادلات بسيطة من الشكل \(\mathrm{e}^{f(x)}=a\)

إذا كان \(a>0\)، فإن: \[ \mathrm{e}^{f(x)}=a \iff f(x)=\ln(a). \] نحل إذن معادلة عادية في \(f(x)\).

معادلات من نوع \(\mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{cx+d}\)

بما أن الأسية متزايدة تمامًا: \[ \mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{cx+d}\iff ax+b=cx+d. \] أي معادلة خطية في \(x\).

متراجحات أسية

بما أن \(\mathrm{e}^x\) متزايدة، فإن: \[ \mathrm{e}^{f(x)}\le \mathrm{e}^{g(x)}\iff f(x)\le g(x), \] مع نفس الشيء للرموز \(\ge\)، <، >.

مثال

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{2x-1}\ge \mathrm{e}^{x+2}. \] بما أن الأسية متزايدة: \[ 2x-1\ge x+2\iff x\ge3. \]

7) مقارنات حدودية: الأسية مقابل القوى واللوغاريتم

نتائج أساسية في المقارنة

  • لكل \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\): \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{\mathrm{e}^x}=0. \]
  • \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\mathrm{e}^x}=0. \]
  • \[ \lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0. \]

هذه النتائج تُستعمل لكي نحدد سلوك تعابير معقّدة مثل: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)+x^2}{\mathrm{e}^{x/2}}, \] حيث نعلم أن \(\mathrm{e}^{x/2}\) يغلب \(x^2\) و\(\ln(x)\)، وبالتالي النهاية تؤول إلى 0.

8) أمثلة تطبيقية في الفيزياء (نمو/اضمحلال، أرينيوس...)

1) نموذج اضمحلال إشعاعي

عدد النوى غير المتحللة في لحظة \(t\) يُنمذج غالبًا بـ: \[ N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}\quad (\lambda>0). \] هذا نموذج أسّي متناقص.

  • \(N_0\): عدد النوى عند \(t=0\).
  • \(\lambda\): ثابت اضمحلال.

2) قانون أرينيوس

ثابت السرعة الكيميائية: \[ k(T)=k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}, \] حيث \(E_a\) طاقة التنشيط و\(R\) ثابت الغاز. بأخذ اللوغاريتم: \[ \ln(k)=\ln(k_0)-\frac{E_a}{R}\cdot\frac1T. \] هذا يعطي مستقيمًا في معلم \(\left(\frac1T,\ln(k)\right)\)، معامل توجيهه \(-\dfrac{E_a}{R}\).

الربط بين الأسية واللوغاريتم مهم جدًا: الأسية تعطي النمو/الاضمحلال، واللوغاريتم يحوّل العلاقة إلى خط مستقيم لتحليل المعطيات التجريبية.

9) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصّلة

التمرين 1 — خواص جبرية للأسية

بسّط باستعمال خواص \(\mathrm{e}^x\):

  1. \(\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{3}\).
  2. \(\dfrac{\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{2x}}\).
  3. \(\left(\mathrm{e}^{x-1}\right)^3\).

1) \[ \mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{2+3}=\mathrm{e}^{5}. \]

2) \[ \frac{\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{2x}}=\mathrm{e}^{5x-2x}=\mathrm{e}^{3x}. \]

3) \[ \left(\mathrm{e}^{x-1}\right)^3=\mathrm{e}^{3(x-1)}=\mathrm{e}^{3x-3}. \]

التمرين 2 — مجال تعريف دوال تحتوي \(\mathrm{e}^x\)

حدّد مجال تعريف كل دالة:

  1. \(f(x)=\mathrm{e}^{x}+1\).
  2. \(g(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\).

1) \(\mathrm{e}^x\) معرّفة لكل \(x\in\mathbb{R}\)، إذن: \[ \mathcal{D}_f=\mathbb{R}. \]

2) يجب أن يكون المقام غير منعدم: \[ \mathrm{e}^{x}-1\neq0\iff \mathrm{e}^{x}\neq1\iff x\neq0. \] إذن: \[ \mathcal{D}_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]

التمرين 3 — اشتقاق دوال أسية

احسب مشتق كل دالة:

  1. \(f(x)=\mathrm{e}^{x}\).
  2. \(g(x)=\mathrm{e}^{2x-1}\).
  3. \(h(x)=\mathrm{e}^{-3x}\).

1) \[ f'(x)=\mathrm{e}^{x}. \]

2) \[ g'(x)=(2)\mathrm{e}^{2x-1}=2\mathrm{e}^{2x-1}. \]

3) \[ h'(x)=(-3)\mathrm{e}^{-3x}=-3\mathrm{e}^{-3x}. \]

التمرين 4 — رتابة دالة من الشكل \(\mathrm{e}^{ax+b}\)

لتكن: \[ f(x)=\mathrm{e}^{-2x+4}. \] 1) احسب \(f'(x)\). 2) ادرس إشارة \(f'(x)\). 3) استنتج رتابة \(f\).

1) \[ f'(x)=-2\mathrm{e}^{-2x+4}. \]

2) بما أن \(\mathrm{e}^{-2x+4}>0\) لكل \(x\)، فإن إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(-2\)، أي سالبة دائمًا.

3) إذن \(f\) متناقصة تمامًا على \(\mathbb{R}\).

التمرين 5 — معادلة أسية بسيطة

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{x}=5. \]

نطبّق \(\ln\) للطرفين: \[ \mathrm{e}^{x}=5\iff x=\ln(5). \] إذن مجموعة الحلول: \[ S=\{\ln(5)\}. \]

التمرين 6 — معادلة من الشكل \(\mathrm{e}^{ax+b}=c\)

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{2x-1}=7. \]

نأخذ \(\ln\) للطرفين: \[ 2x-1=\ln(7)\Rightarrow 2x=\ln(7)+1\Rightarrow x=\frac{\ln(7)+1}{2}. \]

التمرين 7 — معادلة من نوع \(\mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{cx+d}\)

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{3x+2}=\mathrm{e}^{x-4}. \]

بما أن الأسية متزايدة: \[ 3x+2=x-4\Rightarrow 3x-x=-4-2\Rightarrow 2x=-6\Rightarrow x=-3. \]

التمرين 8 — متراجحة أسية

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{x}\le \mathrm{e}^{2}. \]

لأن \(\mathrm{e}^x\) متزايدة: \[ \mathrm{e}^{x}\le \mathrm{e}^{2}\iff x\le 2. \] إذن: \[ S=(-\infty,2]. \]

التمرين 9 — نهاية بسيطة بأسية

احسب: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}. \]

نعلم أن الأسية تنمو أسرع من كل القوى، إذن: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0. \]

التمرين 10 — نموذج اضمحلال

عدد جزيئات مادة مشعة يساوي: \[ N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t} \] حيث \(\lambda>0\). 1) بيّن أن \(N\) متناقصة تمامًا على \([0,+\infty[\). 2) ماذا تمثّل النهاية \(\lim_{t\to+\infty}N(t)\)؟

1) \[ N'(t)=-\lambda N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}. \] بما أن \(N_0>0\) و\(\mathrm{e}^{-\lambda t}>0\) و\(-\lambda<0\)، فإن \(N'(t)<0\) لكل \(t\ge0\)، إذن \(N\) متناقصة تمامًا.

2) لدينا: \[ \lim_{t\to+\infty}N(t)=\lim_{t\to+\infty}N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}=N_0\cdot0=0. \] هذا يعني أنه بعد زمن طويل جدًا، عدد الجزيئات غير المتحللة يقترب من الصفر.

التمرين 11 — دالة \( f(x)=x\mathrm{e}^{-x} \)

لتكن: \[ f(x)=x\mathrm{e}^{-x}\quad (x\ge0). \] 1) احسب \(f'(x)\). 2) ادرس إشارة \(f'(x)\). 3) استنتج جدول تغيّرات \(f\) على \([0,+\infty[\).

1) باستعمال جداء: \[ f'(x)=1\cdot\mathrm{e}^{-x}+x(-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}(1-x). \]

2) بما أن \(\mathrm{e}^{-x}>0\) لكل \(x\ge0\)، إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(1-x\):

  • \(1-x>0\iff x<1\) ⇒ \(f'(x)>0\).
  • \(1-x<0\iff x>1\) ⇒ \(f'(x)<0\).

3) إذن:

  • \(f\) متزايدة على \([0,1]\).
  • \(f\) متناقصة على \([1,+\infty[\).
عند \(x=1\): \[ f(1)=\mathrm{e}^{-1}=\frac1e. \] فـ \(x=1\) يعطي قيمة عظمى لـ \(f\).

التمرين 12 — استعمال أرينيوس (جانب رياضي فقط)

يُعطى: \[ k(T)=k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}, \] حيث \(k_0,E_a,R\) ثوابت موجبة. 1) خذ \(\ln\) للطرفين واستنتج تعبير \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\). 2) استنتج شكل التمثيل البياني لـ \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\).

1) \[ \ln(k)=\ln\left(k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}\right)=\ln(k_0)-\frac{E_a}{RT}. \] نكتب: \[ \ln(k)=-\frac{E_a}{R}\cdot\frac1T+\ln(k_0). \]

2) هذه علاقة من الشكل: \[ \ln(k)=aX+b \] مع: \[ X=\frac1T,\quad a=-\frac{E_a}{R},\quad b=\ln(k_0). \] إذن تمثيل \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\) يعطي مستقيمًا معامل توجيهه \(-\dfrac{E_a}{R}\) ومرتبة أصله \(\ln(k_0)\).

10) خلاصة — الدوال الأسية (2 باك علوم فيزيائية)

  • \(\mathrm{e}^x\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) وقيمها موجبة: \(\mathrm{e}^x>0\).
  • خواص أساسية: \(\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^y\)، \(\mathrm{e}^{-x}=1/\mathrm{e}^x\)، \(\left(\mathrm{e}^x\right)^n=\mathrm{e}^{nx}\).
  • نهايات: \(\mathrm{e}^x\to0\) عندما \(x\to-\infty\)، و\(\mathrm{e}^x\to+\infty\) عندما \(x\to+\infty\).
  • الاشتقاق: \((\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x\)، و\((\mathrm{e}^{u(x)})'=u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}\).
  • الدالة \(\mathrm{e}^x\) متزايدة تمامًا على \(\mathbb{R}\) ⇒ استبدال المعادلات والمتراجحات الأسية بمعادلات في الأساسات.
  • الأسية تنمو أسرع من أي قوة أو لوغاريتم عند \(+\infty\) ⇒ مهم في النهايات.
  • تطبيقات في الفيزياء: اضمحلال، نمو، قانون أرينيوس... غالبًا نمرّ من \(k(t)=k_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\) إلى علاقة خطية باللوغاريتم.

2 باك علوم فيزيائية — الدوال الأسية — neobac.ma