الحساب التكاملي
١) مقدمة وأهداف درس الحساب التكاملي
في شعبة العلوم الفيزيائية، يهتم درس الحساب التكاملي بدراسة التكامل المحدد \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) لدالة عددية \(f\) على مجال مغلق \([a,b]\)، مع ربطه بالدالة الأصلية من جهة، وبـالمساحة تحت المنحنى من جهة أخرى.
الأهداف الأساسية لهذا الدرس
- تذكّر مفهوم الدالة الأصلية لدالة عددية وربطها بالتكامل.
- فهم تعريف التكامل المحدد \( \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \) وشروط وجوده في هذا المستوى.
- استيعاب خواص التكامل (الخطية، الإضافة، الرتبة، …).
- استعمال صيغة نيوتن–ليبنيتز لحساب التكاملات.
- تطبيق التكامل في حساب المساحات تحت منحنى أو بين منحنيين.
- حساب متوسط دالة على مجال مغلق باستخدام التكامل.
رياضياً، التكامل أداة لحساب مجموعات لا منتهية (مساحات، كتل، شحنات…)، لكن في البكالوريا نستعمل خاصة الدوال المستمرة على مجال مغلق ونركز على التطبيقات الهندسية (المساحة) وبعض التطبيقات الفيزيائية البسيطة.
٢) تذكير بالدوال الأصلية
تعريف دالة أصلية
لتكن \(f\) دالة معرفة على مجال \(I\). نقول إن \(F\) دالة أصلية لـ \(f\) على \(I\) إذا كانت:
\(\forall x \in I,\quad F'(x) = f(x).\)
ملاحظات مهمة
- إذا كانت \(F\) دالة أصلية لـ \(f\) على \(I\)، فإن كل دالة من الشكل \(F(x)+C\) (حيث \(C\) ثابت حقيقي) هي أيضاً دالة أصلية لـ \(f\) على \(I\).
- الدالة الأصلية ليست وحيدة، ولكن مجموعة الدوال الأصلية تختلف فقط بثابت إضافي.
أمثلة أساسية على الدوال الأصلية
- \(\displaystyle F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) دالة أصلية لـ \(f(x)=x^n\) على \(\mathbb{R}\)، لكل \(n\neq -1\).
- \(\displaystyle F(x) = \ln|x|\) دالة أصلية لـ \(f(x)=\frac{1}{x}\) على كل مجال لا يحتوي على 0.
- \(\displaystyle F(x) = -\cos x\) دالة أصلية لـ \(f(x)=\sin x\).
- \(\displaystyle F(x) = \sin x\) دالة أصلية لـ \(f(x)=\cos x\).
- \(\displaystyle F(x) = e^x\) دالة أصلية لـ \(f(x)=e^x\).
مثال سريع
نريد دالة أصلية لـ \(f(x)=3x^2\) على \(\mathbb{R}\). نعلم أن دالة أصلية لـ \(x^2\) هي \(\frac{x^3}{3}\)، إذن دالة أصلية لـ \(3x^2\) هي:
\(F(x) = 3\cdot \frac{x^3}{3} = x^3.\)
٣) تعريف التكامل المحدد وتمثله الهندسي
تعريف (مستوى البكالوريا)
لتكن \(f\) دالة مستمرة وموجبة على المجال المغلق \([a,b]\) مع \(a<b\). نعرّف تكامل \(f\) من \(a\) إلى \(b\) ونكتب:
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\)
هذا العدد يمثل مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة \(C_f\) ومحور الفواصل والمستقيمين \(x=a\) و\(x=b\).
في البرنامج، لا نستعمل تعريف ريمان بالتفصيل، بل نعتبر أن كل دالة مستمرة على مجال مغلق \([a,b]\) تقبل تكاملاً محدداً على هذا المجال.
٤) خواص التكامل المحدد على مجال مغلق
خواص أساسية (لتكن \(f\) و \(g\) دالتين متكاملتين على \([a,b]\))
- الخطية:
\(\int_a^b \big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\)
- الإضافة على المجالات: لكل \(c\) بين \(a\) و\(b\):
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.\)
- العكس في الحدود:
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x.\)
- الرتبة (إذا كانت \(f(x)\ge0\) على \([a,b]\)):
إذا كانت \(0\le f(x) \le M\) على \([a,b]\) فإن \(0 \le \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \le M(b-a).\)
خاصية الإضافة على المجالات مفيدة جداً في المسائل الهندسية: نقسم المجال إلى أجزاء يكون فيها حساب التكامل أسهل (مثلاً حسب نقاط التقاطع بين منحنيين).
مثال تطبيقي
إذا كانت \(f(x)=2x\) على \([0,3]\)، ولدينا نتيجة سابقة: \(\displaystyle \int_0^1 2x\,\mathrm{d}x = 1\)، و\(\displaystyle \int_1^3 2x\,\mathrm{d}x = 8\).
باستعمال الإضافة على المجالات:
\(\int_0^3 2x\,\mathrm{d}x = \int_0^1 2x\,\mathrm{d}x + \int_1^3 2x\,\mathrm{d}x = 1+8=9.\)
٥) صيغة نيوتن–ليبنيتز والربط بين التكامل والدالة الأصلية
صيغة نيوتن–ليبنيتز (النتيجة المركزية للدرس)
لتكن \(f\) دالة مستمرة على \([a,b]\)، ولتكن \(F\) دالة أصلية لـ \(f\) على هذا المجال، أي: \(\forall x\in[a,b],\ F'(x)=f(x)\).
عندئذٍ:
\(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).\)
مثال ١: تكامل دالة كثير حدود
نحسب \(\displaystyle \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,\mathrm{d}x\).
- نبحث عن دالة أصلية لـ \(f(x)=3x^2-4x+1\):
\(F(x)=x^3 - 2x^2 + x\) لأن \(F'(x)=3x^2-4x+1.\)
- نطبق نيوتن–ليبنيتز:
\(\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x = F(2)-F(0) = (8-8+2) - 0 = 2.\)
مثال ٢: دالة أسية
نحسب \(\displaystyle \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\).
\(F(x)=e^x\) دالة أصلية لـ \(e^x\).
\(\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = F(1)-F(0)=e-1.\)
في البكالوريا، تقريباً كل التكاملات التي نحسبها تمر عبر البحث عن دالة أصلية مناسبة ثم تطبيق صيغة نيوتن–ليبنيتز.
٦) تكاملات أساسية شائعة في البكالوريا
تكاملات مرتبطة بدوال معروفة
-
إذا كان \(n\neq -1\)، فإن:
\(\displaystyle \int_a^b x^n\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b.\)
-
على مجال لا يحتوي على 0:
\(\displaystyle \int_a^b \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln|x|\big]_a^b.\)
- \(\displaystyle \int_a^b e^x\,\mathrm{d}x = \big[e^x\big]_a^b.\)
- \(\displaystyle \int_a^b \sin x\,\mathrm{d}x = \big[-\cos x\big]_a^b.\)
- \(\displaystyle \int_a^b \cos x\,\mathrm{d}x = \big[\sin x\big]_a^b.\)
عامل ثابت داخل التكامل
\(\displaystyle \int_a^b k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) لأي ثابت حقيقي \(k\).
من المفيد جداً حفظ تكاملات أبسط الدوال (قوى \(x\)، الدالة الأسية، الجيب والجيب تمام) لأن كثيراً من التمارين تعتمد عليها مباشرة.
٧) استعمال التكامل لحساب المساحات
مساحة تحت منحنى واحد
لتكن \(f\) دالة مستمرة وموجبة على \([a,b]\). المساحة \(A\) المحصورة بين المنحنى \(C_f\) ومحور الفواصل والمستقيمين \(x=a\)، \(x=b\) هي:
\(A = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\)
مساحة بين منحنيين
لتكن \(f\) و \(g\) دالتين مستمرّتين على \([a,b]\)، وافترض أن \(f(x)\ge g(x)\) على كل المجال. المساحة المحصورة بين المنحنيين \(C_f\) و\(C_g\) ومحور الفواصل هي:
\(A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x.\)
مثال: مساحة تحت منحنى كثير حدود
نريد حساب المساحة المحصورة بين منحنى \(C_f\) حيث \(f(x)=x^2\) ومحور الفواصل من 0 إلى 2.
بما أن \(f(x)\ge0\) على \([0,2]\)، فإن:
\(A = \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}.\)
مثال: مساحة بين منحنيين
لتكن \(f(x)=x+2\) و \(g(x)=x^2\) على \([0,2]\). نتحقق أن \(f(x)\ge g(x)\) على هذا المجال (يمكن التحقق عددياً أو بيانياً).
المساحة المحصورة بين المنحنيين هي:
\(A = \int_0^2 \big((x+2)-x^2\big)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 (-x^2+x+2)\,\mathrm{d}x.\)
\(F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \Rightarrow A = F(2)-F(0) = \frac{10}{3}.\)
عملياً، نبدأ دائماً بـرسم تقريبي للمنحنيات وتحديد مجال التكامل (من \(a\) إلى \(b\)) ثم نكتب مساحة المنطقة بدلالة تكامل واحد أو عدة تكاملات إذا تطلب الأمر.
٨) متوسط دالة على مجال [a,b]
لتكن \(f\) دالة متكاملة على \([a,b]\) مع \(a<b\). يُعرَّف متوسط \(f\) على \([a,b]\) بالعدد:
\(m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\)
مثال: متوسط دالة خطية
نحسب متوسط \(f(x)=2x+1\) على المجال \([0,3]\).
\(m = \frac{1}{3-0}\int_0^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\left[x^2 + x\right]_0^3 = \frac{1}{3}(9+3) = 4.\)
في تطبيقات فيزيائية، هذا المتوسط يمكن أن يمثل مثلاً متوسط سرعة أو متوسط شدة خلال فترة زمنية، إذا كانت الدالة تمثل كمية فيزيائية بدلالة الزمن.
٩) تمارين نموذجية مع حلول مفصلة
التمرين 1 — تكامل كثير حدود بسيط
احسب التكامل التالي: \(\displaystyle I = \int_0^1 (4x^3-2x)\,\mathrm{d}x.\)
نبحث عن دالة أصلية لـ \(f(x)=4x^3-2x\):
\(\displaystyle F(x)=x^4 - x^2\) لأن \(F'(x)=4x^3-2x\).
باستعمال نيوتن–ليبنيتز:
\(I = F(1)-F(0) = (1-1)-0 = 0.\)
التمرين 2 — تكامل دالة أسية
احسب \(\displaystyle I = \int_0^{\ln 3} e^x\,\mathrm{d}x.\)
دالة أصلية لـ \(e^x\) هي نفسها \(F(x)=e^x\).
\(I = F(\ln 3)-F(0)=e^{\ln 3}-1 = 3-1 = 2.\)
التمرين 3 — تكامل \(\frac{1}{x}\)
احسب \(\displaystyle I = \int_1^4 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.\)
على المجال \([1,4]\) الدالة \(f(x)=\frac{1}{x}\) متكاملة، ودالة أصلية لها هي \(\ln|x|\).
\(I = \big[\ln|x|\big]_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4.\)
التمرين 4 — مساحة تحت منحنى
لتكن \(f(x)=x^2+1\) على \([0,2]\). احسب المساحة المحصورة بين منحنى \(C_f\) ومحور الفواصل والمستقيمين \(x=0\) و \(x=2\).
بما أن \(f(x)\ge1>0\) على \([0,2]\)، المساحة هي:
\(A = \int_0^2 (x^2+1)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2 = \frac{8}{3}+2 = \frac{14}{3}.\)
التمرين 5 — مساحة بين منحنيين
نعطي الدالتين \(f(x)=2x+1\) و \(g(x)=x^2\) على المجال \([0,2]\). بيّن أن \(f(x)\ge g(x)\) على \([0,2]\)، ثم احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين.
ندرس الفرق \(f(x)-g(x) = 2x+1-x^2 = -x^2+2x+1\).
هذا كثير حدود من الدرجة الثانية يكتب: \(-x^2+2x+1 = -(x^2-2x-1)\). جذراه خارج المجال \([0,2]\)، كما أن \(f(0)-g(0)=1>0\) و\(f(2)-g(2)=5>0\)، إذن \(f(x)\ge g(x)\) على \([0,2]\).
المساحة:
\(A = \int_0^2 (f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x = \int_0^2 (-x^2+2x+1)\,\mathrm{d}x.\)
\(F(x)=-\frac{x^3}{3}+x^2+x \Rightarrow A=F(2)-F(0)=\left(-\frac{8}{3}+4+2\right)-0=\frac{10}{3}.\)
التمرين 6 — خاصية الإضافة على المجالات
لتكن \(f\) دالة متكاملة على \([0,3]\)، ونعلم أن \(\displaystyle \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 2\) و \(\displaystyle \int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -1\). احسب \(\displaystyle \int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x.\)
باستعمال الإضافة على المجالات:
\(\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 2 + (-1) = 1.\)
التمرين 7 — متوسط دالة
لتكن \(f(x)=x^2\) على المجال \([0,2]\). احسب متوسط \(f\) على هذا المجال.
المتوسط:
\(m = \frac{1}{2-0}\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.\)
التمرين 8 — ربط منحنى الدالة بتعبير المساحة
يُعطى تمثيل بياني لدالة \(f\) موجبة على \([0,4]\)، ونعلم أن \(\displaystyle \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 3\) و \(\displaystyle \int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\). عبّر عن مساحة الجزء المحصور بين المنحنى ومحور الفواصل من 0 إلى 4.
المساحة الكلية هي مجموع المساحتين الجزئيتين:
\(A = \int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 3+5=8.\)
التمرين 9 — تكامل دالة مثلثية
احسب \(\displaystyle I = \int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x.\)
دالة أصلية لـ \(\sin x\) هي \(-\cos x\).
\(I = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = (1) - (-1) = 2.\)
التمرين 10 — تكامل دالة خطية وتفسير هندسي
لتكن \(f(x)=3x+1\) على \([0,2]\).
1) احسب \(I=\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\).
2) فسر النتيجة هندسياً.
1) نحسب التكامل:
\(F(x)=\frac{3}{2}x^2 + x \Rightarrow I = F(2)-F(0)=\left(\frac{3}{2}\cdot4+2\right)-0=6+2=8.\)
2) هندسياً، يمثل \(I\) المساحة تحت المنحنى \(y=3x+1\) من 0 إلى 2.
التمرين 11 — استعمال التكامل لحساب متوسط سرعة (تمرين فيزيائي مبسط)
جسم يتحرك على مستقيم، وتعطى سرعته اللحظية بدالة \(v(t)=2t\) (m/s) على المجال الزمني \([0,5]\) (ثوان). احسب متوسط السرعة خلال هذه المدة باستعمال التكامل.
متوسط السرعة على \([0,5]\):
\(v_{\text{moy}} = \frac{1}{5-0}\int_0^5 2t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{5}\left[t^2\right]_0^5 = \frac{1}{5}\cdot 25 = 5\ \text{m/s}.\)
التمرين 12 — مسألة شاملة
نعطي الدالة \(f(x)=x e^x\) على \([0,1]\).
1) بين أن دالة أصلية لـ \(f\) هي \(F(x)=(x-1)e^x\).
2) احسب \(\displaystyle I=\int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x\).
1) نحسب مشتقة \(F\):
\(F'(x) = (x-1)e^x + e^x = x e^x = f(x)\) (قاعدة جداء).
إذن \(F\) دالة أصلية لـ \(f\).
2) باستعمال نيوتن–ليبنيتز:
\(I = F(1)-F(0) = (1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 0 - (-1) = 1.\)