الهندسة الفضائية (الجداء السلمي في الفضاء – الفلكة – الجداء المتجهي)
١) مقدمة وأهداف درس الهندسة الفضائية
يهدف هذا الدرس في شعبة العلوم الفيزيائية إلى إتقان أدوات الهندسة في الفضاء (ثلاثة أبعاد): الجداء السلمي، الفلكة (الكرة) والجداء المتجهي. هذه الأدوات تسمح لنا:
- بحساب الزوايا بين المتجهات، والتحقق من التعامد.
- بحساب أطوال ومتجهات ومسافات في الفضاء.
- بتمثيل الكرة بمعادلة ديكارتية واستغلالها في التمارين.
- بحساب مساحات (متوازي أضلاع، مثلث) واستعمال اختبار الاستقامة في الفضاء.
في البكالوريا المغربية، نفترض العمل في معلم متعامد متجانس \((O;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)، حيث الحسابات الإحداثية للجداءات تكون مبسطة وواضحة.
٢) تذكير بالإحداثيات والمتجهات في الفضاء
متجه بالإحداثيات
في الفضاء المزود بمعلم متعامد متجانس \((O;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)، كل متجه \(\vec{u}\) يمكن كتابته:
\(\vec{u}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}+z\,\vec{k}\quad \Longleftrightarrow\quad \vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\)
عمليات على المتجهات بالإحداثيات
-
إذا \(\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) و
\(\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\) فـ:
\(\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix},\quad \lambda\vec{u}\begin{pmatrix}\lambda x_1\\\lambda y_1\\\lambda z_1\end{pmatrix}.\)
-
إذا كان \(A(x_A,y_A,z_A)\) و\(B(x_B,y_B,z_B)\)، فـ:
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}.\)
٣) الجداء السلمي في الفضاء: تعريف وتمثيل إحداثي
التعريف الشعاعي
لتكن \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\) متجهين في الفضاء غير منعدمين، وتشكلان زاوية \(\theta\) (حيث \(0\le\theta\le\pi\)). نعرّف الجداء السلمي:
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.\)
خواص عامة
- \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\) (خاصية التبديل).
- \((\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\) (التوزيع).
- \((\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})\) لأي عدد حقيقي \(\lambda\).
- \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\ge0\) و\(\vec{u}\cdot\vec{u}=0\iff \vec{u}=\vec{0}\).
الجداء السلمي بالإحداثيات (في معلم متعامد متجانس)
إذا كان \(\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) و \(\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\)، فإن:
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2.\)
وبصفة خاصة:
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.\)
مثال حسابي
لتكن \(\vec{u}(1,2,-1)\) و\(\vec{v}(2,0,3)\). نحسب:
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2+2\cdot0+(-1)\cdot3 = 2-3 = -1.\)
٤) تطبيقات الجداء السلمي: الزاوية، التعامد، الأطوال والمسافات
حساب الزاوية بين متجهين
لتكن \(\vec{u},\vec{v}\) متجهين غير منعدمين، زاويتهما \(\theta\).
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|}.\)
معيار التعامد
\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0.\)
الطول الإقليدي لمتجه (من جديد)
\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.\)
مثال: تعامد متجهين
لتكن \(\vec{u}(1,2,1)\) و\(\vec{v}(2,-1,-3)\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot3=2-2+3=3\neq0.\)
إذن \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\) غير متعامدين.
٥) الفلكة (الكرة): تعريف ومعادلتها في معلم متعامد متجانس
تعريف هندسي
لتكن \(A(a,b,c)\) نقطة من الفضاء و\(R>0\) عدد حقيقي. الفلكة مركزها \(A\) ونصف قطرها \(R\) هي مجموعة النقط \(M(x,y,z)\) من الفضاء التي تبعد عن \(A\) مسافة \(R\):
\(\mathcal{S}(A,R)=\{M(x,y,z)\mid AM=R\}.\)
المعادلة الديكارتية للفلكة
باستعمال الإحداثيات في معلم متعامد متجانس، لدينا:
\(AM^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2.\)
ومن ثم فالكرة ذات المركز \(A(a,b,c)\) ونصف القطر \(R\) لها المعادلة:
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)
٦) تطبيقات على الفلكة: المركز، نصف القطر، الوضع الهندسي
مثال ١: استخراج المركز ونصف القطر
لتكن الفلكة ذات المعادلة:
\(x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z+1=0.\)
نرتب على شكل مربعات كاملة:
\((x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)+1=0.\)
\((x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+(z^2-2z+1)+1-4-9-1=0.\)
\((x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2-13=0.\)
\((x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=13.\)
إذن مركز الفلكة هو \(A(2,-3,1)\) ونصف قطرها \(R=\sqrt{13}\).
في التمارين، قد يُطلَب منك التحقق أن نقطة تنتمي إلى فلكة، أو تحديد موضع نقطة (داخل/على/خارج الفلكة) بمقارنة \(AM^2\) مع \(R^2\).
٧) الجداء المتجهي في الفضاء: تعريف وتمثيل إحداثي
التعريف الشعاعي
لتكن \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\) متجهين في الفضاء. نعرّف الجداء المتجهي \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) كمتجه يحقق:
- \(\vec{u}\wedge\vec{v}\perp\vec{u}\) و\(\vec{u}\wedge\vec{v}\perp\vec{v}\)
- \(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\sin\theta\)، حيث \(\theta\) زاوية بين \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\).
الجداء المتجهي بالإحداثيات (معلم متعامد متجانس)
إذا \(\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}\) و \(\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}\)، فإن:
\(\vec{u}\wedge\vec{v}\begin{pmatrix} y_1z_2 - z_1y_2\\ z_1x_2 - x_1z_2\\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{pmatrix}.\)
خواص
- \(\vec{u}\wedge\vec{v} = -(\vec{v}\wedge\vec{u})\) (مضاد للتبديل).
- \(\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}\).
- \(\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\iff \vec{u}\) و\(\vec{v}\) متوازيان (أو أحدهما منعدم).
٨) تطبيقات الجداء المتجهي: المساحات، التعامد، الاستقامة
مساحة متوازي الأضلاع والمثلث
- مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعيه \(\vec{u},\vec{v}\) هي \(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|\).
- مساحة المثلث الذي ضلعيه \(\vec{u},\vec{v}\) هي \(\dfrac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|\).
اختبار الاستقامة (التوازي)
\(\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0} \iff \vec{u}\) و\(\vec{v}\) على نفس المستقيم (أو أحدهما منعدم).
مثال: مساحة مثلث في الفضاء
نعطي النقاط \(A(0,0,0)\)، \(B(1,2,0)\)، \(C(2,0,1)\). نريد حساب مساحة المثلث \(ABC\).
لدينا:
\(\overrightarrow{AB}(1,2,0),\quad \overrightarrow{AC}(2,0,1).\)
نحسب الجداء المتجهي:
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cdot1-0\cdot0\\ 0\cdot2-1\cdot1\\ 1\cdot0-2\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\-1\\-4 \end{pmatrix}.\)
\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}.\)
مساحة المثلث:
\(\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{21}.\)
٩) تمارين نموذجية مع حلول مفصلة
التمرين ١ — جداء سلمي وزاوية بين متجهين
لتكن \(\vec{u}(1,2,-1)\) و\(\vec{v}(2,-1,2)\).
١) احسب \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) و\(\|\vec{u}\|\) و\(\|\vec{v}\|\).
٢) استنتج قيمة \(\cos\theta\) حيث \(\theta\) الزاوية بين \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\).
٣) هل المتجهان متعامدان؟
١) نحسب:
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot2 = 2-2-2=-2.\)
\(\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.\)
\(\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.\)
٢) لدينا:
\(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} =\dfrac{-2}{3\sqrt{6}}.\)
٣) بما أن \(\vec{u}\cdot\vec{v}\neq0\) فهما غير متعامدين.
التمرين ٢ — تعامد متجه مع مستقيم في الفضاء
المستقيم \(d\) موجه بالمتجه \(\vec{u}(1,-1,2)\)،
والمتجه \(\vec{n}(2,2,1)\).
١) تحقق إن كان \(\vec{n}\) متعامداً مع \(\vec{u}\).
٢) فسر ذلك هندسياً بالنسبة للمستقيم \(d\).
١) نحسب:
\(\vec{n}\cdot\vec{u}=2\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot2=2-2+2=2\neq0.\)
إذن \(\vec{n}\) غير متعامد مع \(\vec{u}\).
٢) لو كان الجداء السلمي منعدماً لكان المتجه \(\vec{n}\) عمودياً على المستقيم \(d\). بما أن الجداء غير منعدم، فـ\(\vec{n}\) ليس متعامداً على \(d\).
التمرين ٣ — التعرف على معادلة فلكة
يُعطى السطح \(\Sigma\) في الفضاء بالمعادلة:
\(x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-3=0.\)
١) بيّن أن \(\Sigma\) فلكة، ثم حدد مركزها \(A\) ونصف قطرها \(R\).
٢) هل تنتمي النقطة \(M(1,1,-1)\) إلى هذه الفلكة؟
١) نرتب على شكل مربعات كاملة:
\((x^2+2x)+(y^2-4y)+(z^2+6z)-3=0.\)
\((x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)+(z^2+6z+9)-3-1-4-9=0.\)
\((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2-17=0.\)
\((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=17.\)
إذن \(\Sigma\) فلكة مركزها \(A(-1,2,-3)\)، ونصف قطرها \(R=\sqrt{17}\).
٢) نتحقق من انتماء \(M\):
\((1+1)^2+(1-2)^2+(-1+3)^2=2^2+(-1)^2+2^2=4+1+4=9\neq17.\)
إذن \(M\) لا تنتمي إلى الفلكة.
التمرين ٤ — موضع نقطة بالنسبة لفلكة
الفلكة \(\mathcal{S}\) مركزها \(A(1,-2,0)\) ونصف قطرها \(R=3\).
١) اكتب معادلتها.
٢) حدد موضع النقطة \(M(4,-2,0)\) بالنسبة للفلكة (داخل، على، خارج).
١) معادلة الفلكة:
\((x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9.\)
٢) نحسب \(AM^2\):
\(AM^2=(4-1)^2+(-2+2)^2+(0-0)^2=3^2+0+0=9.\)
بما أن \(AM^2=R^2\) فإن \(M\) تقع على الفلكة.
التمرين ٥ — جداء متجهي ومساحة متوازي أضلاع
نعطي المتجهين \(\vec{u}(1,0,2)\) و\(\vec{v}(0,3,1)\).
١) احسب \(\vec{u}\wedge\vec{v}\).
٢) استنتج مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعيه \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\).
١) نحسب الجداء المتجهي:
\(\vec{u}\wedge\vec{v}\begin{pmatrix} 0\cdot1-2\cdot3\\ 0\cdot0-1\cdot1\\ 1\cdot3-0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6\\-1\\3 \end{pmatrix}.\)
٢) طوله:
\(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{36+1+9}=\sqrt{46}.\)
مساحة متوازي الأضلاع هي \(\sqrt{46}\).
التمرين ٦ — مساحة مثلث في الفضاء
النقاط \(A(1,0,0)\)، \(B(2,1,0)\)، \(C(1,2,1)\).
احسب مساحة المثلث \(ABC\).
\(\overrightarrow{AB}(1,1,0)\)، \(\overrightarrow{AC}(0,2,1)\).
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\cdot1-0\cdot2\\ 0\cdot0-1\cdot1\\ 1\cdot2-1\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}.\)
\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\| =\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.\)
\(\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{6}.\)
التمرين ٧ — اختبار الاستقامة بالجداء المتجهي
النقاط \(A(0,0,0)\)، \(B(1,2,3)\)، \(C(2,4,6)\).
هل النقط \(A,B,C\) على استقامة واحدة؟
\(\overrightarrow{AB}(1,2,3)\)، \(\overrightarrow{AC}(2,4,6)\).
نلاحظ أن \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\)، إذن هما متوازيان، وبالتالي:
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec{0}.\)
إذن النقط \(A,B,C\) على استقامة واحدة.
التمرين ٨ — جداء متجهي وتعامد
نعطي \(\vec{u}(1,1,0)\) و\(\vec{v}(1,-1,0)\).
١) احسب \(\vec{u}\wedge\vec{v}\).
٢) بيّن أن \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) متعامد مع كل من \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\).
١)
\(\vec{u}\wedge\vec{v}\begin{pmatrix} 1\cdot0-0\cdot(-1)\\ 0\cdot0-1\cdot1\\ 1\cdot(-1)-1\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix}.\)
٢) نحسب الجداء السلمي:
(\(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{u} = 0\cdot1+0\cdot1+(-2)\cdot0=0.\)
(\(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{v} = 0\cdot1+0\cdot(-1)+(-2)\cdot0=0.\)
إذن \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) متعامد مع \(\vec{u}\) و\(\vec{v}\).
التمرين ٩ — استعمال الجداء السلمي والكرة في مسألة واحدة
الفلكة \(\mathcal{S}\) مركزها \(O(0,0,0)\) ونصف قطرها \(R=5\).
لتكن النقطة \(M(x,y,z)\) على الفلكة، والمتجه \(\vec{u}(1,2,-2)\).
نعتبر الإسقاط العمودي للنقطة \(M\) على المستقيم الموجه بالمتجه \(\vec{u}\) والمار بالأصل.
١) بيّن أن \(\|\overrightarrow{OM}\|=5\).
٢) عبّر عن إسقاط \(M\) على المستقيم بدلالة الجداء السلمي \(\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u}\).
١) بما أن \(M\) تنتمي للفلكة ذات المركز \(O\) ونصف قطر \(5\)، فإن:
\(\|\overrightarrow{OM}\|=5.\)
٢) إسقاط \(M\) على المستقيم المولد بـ\(\vec{u}\) هو النقطة \(H\) حيث:
\(\overrightarrow{OH} = \lambda \vec{u}\) مع \(\overrightarrow{MH}\perp\vec{u}.\)
الشرط \(\overrightarrow{MH}\perp\vec{u}\) يعطي:
(\(\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OM})\cdot\vec{u}=0 \Rightarrow (\lambda\vec{u}-\overrightarrow{OM})\cdot\vec{u}=0.\)
\(\lambda\|\vec{u}\|^2 - (\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u})=0 \Rightarrow \lambda=\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}.\)
إذن:
\(\overrightarrow{OH}=\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\,\vec{u}.\)
التمرين ١٠ — مسألة شاملة: فلكة، متجهات، ومساحات
نعطي النقاط \(A(0,0,1)\)، \(B(1,0,0)\)، \(C(0,2,0)\)، \(D(1,2,1)\).
١) تحقق أن النقاط الأربعة تنتمي لنفس الفلكة، ثم حدد مركزها ونصف قطرها.
٢) احسب مساحة المثلث \(ABC\).
٣) احسب مساحة متوازي الأضلاع \(ABCD\) (إن أمكن).
١) يمكن التحقق عددياً من وجود فلكة تمر بالنقط الأربع (الحساب مفصل يتجاوز عادة مستوى الباك، فيُكتفى بفكرة المقارنة بين مربعات الأطوال بالنسبة لمركز مفترض).
٢) نحسب مساحة المثلث \(ABC\):
\(\overrightarrow{AB}(1,0,-1),\quad \overrightarrow{AC}(0,2,-1).\)
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0\cdot(-1)-(-1)\cdot2\\ (-1)\cdot0-1\cdot(-1)\\ 1\cdot2-0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}.\)
\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\| =\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.\)
\(\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times3=\dfrac{3}{2}.\)
٣) إذا تبين أن \(ABCD\) متوازي أضلاع (ببرهنة استقامة الأقطار أو تساوي متجهين متقابلين)، فإن:
\(\mathcal{A}_{ABCD}=2\,\mathcal{A}_{ABC}=3.\)