Calcul intégral

1) Objectifs Bac & lien avec les primitives

En 2ème Bac Sciences Physiques, le chapitre de calcul intégral prolonge celui des fonctions primitives. Les objectifs principaux :

  • Comprendre la notion d’aire sous une courbe sur un intervalle \([a,b]\).
  • Définir et utiliser l’intégrale définie \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) pour des fonctions continues.
  • Savoir calculer des intégrales à l’aide d’une primitive.
  • Exploiter les propriétés de l’intégrale (linéarité, additivité, positivité, inégalités).
  • Interpréter l’intégrale dans des situations concrètes (cinématique, quantité accumulée, etc.).

Pré-requis indispensables

  • Savoir déterminer une primitive d’une fonction simple sur un intervalle.
  • Maîtriser les dérivées des fonctions usuelles : polynômes, fonctions puissances, \(\sin, \cos, e^x\), etc.
  • Être à l’aise avec la lecture de graphiques de fonctions.

2) Notion d’aire sous une courbe

Situation de base

On considère une fonction continue \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) avec \(f(x)\ge 0\) pour tout \(x\in[a,b]\).

On s’intéresse à l’aire de la région délimitée par :

  • le graphique de la fonction \(f\) ;
  • l’axe des abscisses (droite d’équation \(y=0\)) ;
  • les droites verticales \(x=a\) et \(x=b\).

Idée intuitive

On peut approcher l’aire en découpant \([a,b]\) en petits intervalles et en remplaçant la courbe par des rectangles. Lorsque le nombre de rectangles augmente, l’aire totale des rectangles se rapproche d’une valeur limite : c’est l’aire sous la courbe.

Exemple visuel (sans calcul exact)

Pour \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\), l’aire sous la courbe se situe entre :

  • l’aire de deux grands rectangles de hauteur \(f(2)=4\) : \(A_{\text{haut}}=2\times4=8\) ;
  • et l’aire de deux petits rectangles de hauteur \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) : \(A_{\text{bas}}\approx 2\times1=2\).

L’intégrale donnera plus tard la valeur exacte : \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{8}{3}\approx 2{,}67\).

x y a b Aire sous f
Aire entre la courbe \(y=f(x)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\).

3) Intégrale définie et lien avec les primitives

Définition (via primitive)

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). On appelle primitive de \(f\) toute fonction \(F\) dérivable sur \([a,b]\) telle que :

\[ F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in[a,b]. \]

L’intégrale définie de \(f\) sur \([a,b]\) est alors définie par :

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a), \] où \(F\) est n’importe quelle primitive de \(f\) sur \([a,b]\).

Théorème fondamental (cas du Bac)

  • Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), l’intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) existe.
  • Son calcul se réduit à trouver une primitive \(F\) de \(f\) et à faire \(F(b)-F(a)\).
  • On note parfois \(A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) : on montre alors que \(A'(x)=f(x)\).

Exemple simple

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x\).

Une primitive de \(f(x)=x^2\) est \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\) (car \(F'(x)=x^2\)).

Donc : \[ \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = F(2)-F(0) = \frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{3}. \]

4) Propriétés de base de l’intégrale

Propriétés algébriques (très utilisées en exercices)

  • Linéarité : pour \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), \[ \int_a^b (\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm{d}x =\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x. \]
  • Changement des bornes : \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x. \]
  • Additivité sur les intervalles : si \(a

Propriétés de signe

  • Si \(f(x)\ge0\) sur \([a,b]\), alors \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0. \]
  • Si \(f(x)\le g(x)\) sur \([a,b]\), alors \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \le \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x. \]
  • Si \(f(x)\ge m\) et \(f(x)\le M\) sur \([a,b]\), alors \[ m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a). \]

Exemple

Sur \([0,1]\), on sait que pour tout \(x\in[0,1]\), \(x^2\le x\le 1\). Alors \[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 x\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 1\,\mathrm{d}x, \] donc \[ \frac13 \le \frac12 \le 1. \]

5) Intégrales usuelles au programme

Fonction \(f(x)\) Primitive \(F(x)\) Intégrale sur \([a,b]\)
\(x^n\) (\(n\neq -1\)) \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) \(\displaystyle\int_a^b x^n\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b\)
\(1\) \(x\) \(\displaystyle\int_a^b 1\,\mathrm{d}x=b-a\)
\(\dfrac{1}{x}\) (sur \([a,b]\subset\mathbb{R}_+^\ast\)) \(\ln x\) \(\displaystyle\int_a^b \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln b-\ln a\)
\(\mathrm{e}^x\) \(\mathrm{e}^x\) \(\displaystyle\int_a^b \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^b-\mathrm{e}^a\)
\(\sin x\) \(-\cos x\) \(\displaystyle\int_a^b \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos b+\cos a\)
\(\cos x\) \(\sin x\) \(\displaystyle\int_a^b \cos x\,\mathrm{d}x=\sin b-\sin a\)

Exemple rapide

Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x\).

Une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\). Donc \[ \int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x =\big[-\cos x\big]_0^{\pi} =(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-(-1)=2. \]

6) Changement de variable simple (affine)

Idée du changement de variable affine

On rencontre souvent des intégrales du type \[ \int_a^b f(ax+b)\,\mathrm{d}x \] ou \(\displaystyle\int f(\alpha x+\beta)\,\mathrm{d}x\). On pose alors une nouvelle variable \(u=\alpha x+\beta\).

Formule (cas \(\alpha>0\))

Si \(u=\alpha x+\beta\), alors \(\mathrm{d}u=\alpha\,\mathrm{d}x\), soit \(\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\alpha}\,\mathrm{d}u\).

Si \(x\) varie de \(x=a\) à \(x=b\), alors \(u\) varie de \[ u(a)=\alpha a+\beta\quad\text{à}\quad u(b)=\alpha b+\beta. \]

On obtient : \[ \int_a^b f(\alpha x+\beta)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\alpha}\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(u)\,\mathrm{d}u. \]

Exemple

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^2\,\mathrm{d}x\).

On peut développer, mais on va utiliser un changement de variable.

Posons \(u=2x+1\Rightarrow \mathrm{d}u=2\,\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u\).

Quand \(x=0\), \(u=1\). Quand \(x=1\), \(u=3\).

Donc \[ \int_0^1 (2x+1)^2\,\mathrm{d}x =\frac12\int_1^3 u^2\,\mathrm{d}u =\frac12\left[\frac{u^3}{3}\right]_1^3 =\frac12\left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right) =\frac12\cdot\frac{26}{3}=\frac{13}{3}. \]

7) Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Définition

Soit \(f\) continue sur \([a,b]\). On appelle valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) le réel :

\[ m = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]

Interprétation

  • Graphiquement, c’est la hauteur constante d’un rectangle de base \([a,b]\) ayant même aire que la surface sous la courbe.
  • En physique, cela peut représenter une vitesse moyenne, une intensité moyenne, etc.

Exemple

Soit \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\). On a déjà vu \[ \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{8}{3}. \]

La valeur moyenne est donc : \[ m = \frac{1}{2-0}\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]

8) Interprétation physique : mouvement rectiligne

Vitesse et distance parcourue

Dans un mouvement rectiligne, si on note \(v(t)\) la vitesse (en m·s\(^{-1}\)) à l’instant \(t\), la distance parcourue entre \(t=a\) et \(t=b\) est donnée par :

\[ d = \int_a^b v(t)\,\mathrm{d}t, \] à condition que \(v\) reste positive (mouvement dans le même sens).

Exemple type

Un mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse instantanée (en m·s\(^{-1}\)) est donnée par \[ v(t)=2t+1,\quad t\in[0,4]. \] Calculer la distance parcourue durant les 4 premières secondes.

On a \[ d = \int_0^4 (2t+1)\,\mathrm{d}t. \]

Une primitive est \(V(t)=t^2+t\). Donc \[ d = V(4)-V(0) = (16+4)-0=20\ \text{m}. \]

9) Méthode de résolution type Bac

Routine à appliquer

  1. Identifier la fonction \(f\) et l’intervalle \([a,b]\).
  2. Chercher une primitive \(F\) de \(f\) (en utilisant le tableau des primitives usuelles).
  3. Appliquer la formule \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a). \]
  4. Simplifier soigneusement (fractions, factorisations…).
  5. Si le problème est physique, interpréter le résultat (distance, aire, quantité…).

Pièges fréquents

  • Oublier de changer les bornes après un changement de variable.
  • Confondre \(\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x\) (primitive) et \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) (nombre).
  • Négliger le signe de la fonction (aire algébrique).

10) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Intégrale d’un polynôme

Calculer \(\displaystyle\int_0^3 (2x^2-3x+1)\,\mathrm{d}x.\)

Une primitive de \(2x^2-3x+1\) est \[ F(x)=\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+x. \]

Donc \[ \int_0^3 (2x^2-3x+1)\,\mathrm{d}x =F(3)-F(0) =\left(\frac{2}{3}\cdot27-\frac{3}{2}\cdot9+3\right)-0 =18-\frac{27}{2}+3. \]

\(18+3=21\) et \(21-\dfrac{27}{2}=\dfrac{42-27}{2}=\dfrac{15}{2}.\)

Résultat : \(\displaystyle\frac{15}{2}.\)

Ex.2 — Intégrale de \(1/x\)

Calculer \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.\)

Une primitive de \(1/x\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) est \(\ln x\). Donc \[ \int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\ln(\mathrm{e})-\ln(1)=1-0=1. \]

Ex.3 — Intégrale trigonométrique simple

Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x.\)

Une primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\). Donc \[ \int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x =\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1. \]

Ex.4 — Aire sous \(x^2\)

Calculer l’aire de la région comprise entre la courbe \(y=x^2\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).

Cette aire vaut \[ A=\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. \]

Ex.5 — Utilisation de la positivité

Sur \([0,2]\), on sait que pour tout \(x\in[0,2]\), \(0\le x\le 2\). Donner un encadrement de \(\displaystyle\int_0^2 x\,\mathrm{d}x.\)

On a \(0\le x\le 2\Rightarrow\) \[ \int_0^2 0\,\mathrm{d}x\le\int_0^2 x\,\mathrm{d}x\le\int_0^2 2\,\mathrm{d}x. \]

Donc \[ 0\le\int_0^2 x\,\mathrm{d}x\le 2\times2=4. \]

Le calcul exact donne \[ \int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=2, \] ce qui est bien dans l’intervalle \([0,4].\)

Ex.6 — Valeur moyenne

On considère \(f(x)=2x+1\) sur \([0,3]\). Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur cet intervalle.

On calcule d’abord \[ \int_0^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x =\left[x^2+x\right]_0^3=(9+3)-0=12. \]

La valeur moyenne est \[ m=\frac{1}{3-0}\times12=4. \]

Ex.7 — Changement de variable affine

Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x+2)\,\mathrm{d}x\) en posant \(u=3x+2\).

On a \(\mathrm{d}u=3\,\mathrm{d}x\Rightarrow\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u.\)

Lorsque \(x=0\), \(u=2\). Lorsque \(x=2\), \(u=8\).

Donc \[ \int_0^2 (3x+2)\,\mathrm{d}x =\frac13\int_2^8 u\,\mathrm{d}u =\frac13\left[\frac{u^2}{2}\right]_2^8 =\frac13\left(\frac{64}{2}-\frac{4}{2}\right) =\frac13\cdot30=10. \]

On pouvait aussi développer : \(\int_0^2 (3x+2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{3}{2}x^2+2x\right]_0^2=6+4=10.\)

Ex.8 — Distance parcourue

Un mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en m·s\(^{-1}\)) est \(v(t)=t+2\) pour \(t\in[0,5]\). Calculer la distance parcourue pendant ces 5 secondes.

La distance vaut \[ d=\int_0^5 (t+2)\,\mathrm{d}t =\left[\frac{t^2}{2}+2t\right]_0^5 =\left(\frac{25}{2}+10\right)-0=\frac{25}{2}+10=\frac{45}{2}. \]

Donc \(d=\dfrac{45}{2}\ \text{m}\approx 22{,}5\ \text{m}.\)

Ex.9 — Intégrale et signe de la fonction

Soit \(f(x)=x-1\) sur \([0,2]\). Calculer \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\) et interpréter.

Une primitive est \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}-x\).

\[ \int_0^2 (x-1)\,\mathrm{d}x =F(2)-F(0) =\left(\frac{4}{2}-2\right)-0=(2-2)=0. \]

Graphiquement, l’aire au-dessus de l’axe sur \([1,2]\) compense exactement l’aire en dessous sur \([0,1]\). L’intégrale est une aire algébrique (positif – négatif).

Ex.10 — Encadrement d’une intégrale

Pour tout \(x\in[0,1]\), on a \(x^2\le x\). En déduire un encadrement de \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\).

De \(x^2\le x\) sur \([0,1]\), on deduit \[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\le\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac12. \]

Par ailleurs, on sait que \(0\le x^2\) donc \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\ge0.\)

On obtient l’encadrement \[ 0\le\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\le\frac12. \]

La valeur exacte, déjà trouvée, est \(\dfrac{1}{3}\), bien à l’intérieur de l’intervalle.

Ex.11 — Linéarité

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x\) en utilisant la linéarité de l’intégrale.

On sépare : \[ \int_0^1 (3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x =3\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x-2\int_0^1 x\,\mathrm{d}x+\int_0^1 1\,\mathrm{d}x. \]

On sait \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\frac13\), \(\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\frac12\), \(\displaystyle\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1.\)

Donc \[ 3\cdot\frac13-2\cdot\frac12+1 = 1-1+1=1. \]

Résultat : \(\displaystyle\int_0^1 (3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x=1.\)

Ex.12 — Problème global type Bac

On considère la fonction \(f(x)=x(2-x)\) définie sur \([0,2]\).

  1. Montrer que pour tout \(x\in[0,2]\), \(f(x)\ge0\).
  2. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\).
  3. Interpréter ce résultat comme une aire.

1. On a \(f(x)=x(2-x)\). Sur \([0,2]\), on a \(x\ge0\) et \(2-x\ge0\). Le produit de deux nombres positifs est positif : \(f(x)\ge0\) sur \([0,2]\).

2. On calcule \[ \int_0^2 x(2-x)\,\mathrm{d}x =\int_0^2 (2x-x^2)\,\mathrm{d}x =\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =(4-\frac{8}{3})-0 =\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}. \]

3. Graphiquement, \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x\) représente l’aire sous la courbe de \(f\), au-dessus de l’axe des abscisses entre \(0\) et \(2\). Cette aire vaut \(\dfrac{4}{3}\) (unités d’aire).

11) Mini-fiche récapitulative

  • \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)\) si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
  • Linéarité, additivité, changement de bornes : outils indispensables pour simplifier les calculs.
  • Si \(f\ge0\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0\) et représente une aire.
  • Valeur moyenne : \(\displaystyle m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\)
  • En physique, \(\displaystyle\int_a^b v(t)\,\mathrm{d}t\) donne une distance parcourue si \(v(t)\ge0\).
  • À l’examen, bien vérifier :
    • que la primitive est correcte (\(F'(x)=f(x)\)) ;
    • les bornes (surtout après changement de variable) ;
    • le signe du résultat (aire, distance \(\Rightarrow\) valeur positive).

Calcul intégral — 2ème Bac Sciences Physiques — neobac.ma