RLC متوالية التذبذبات الحرة في دارة

من كيرشوف: \[ u_R + u_L + u_C = 0 \] وبالتعويض: \[ R i(t) + L \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{C} q(t) = 0 \] لكن \(i(t) = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\)، إذن: \[ R \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + L \dfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{1}{C} q = 0 \] بترتيب الحدود نحصل على المعادلة المطلوبة.

\[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}40\times4{,}0\times10^{-6}}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{1{,}6\times10^{-6}}} \approx \dfrac{1}{1{,}26\times10^{-3}} \approx 7{,}9\times10^2\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \]

\[ \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{20}{2\times0{,}40} = \dfrac{20}{0{,}80} = 25\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] نلاحظ أن \(\alpha \ll \omega_0\) ⇒ التطور متذبذب مخمَّد.

بما أنّ التخميد ضعيف نأخذ: \[ T \approx 2\pi\sqrt{LC} \] \[ T \approx 2\pi\sqrt{0{,}40\times4{,}0\times10^{-6}} = 2\pi\sqrt{1{,}6\times10^{-6}} \approx 2\pi\times1{,}26\times10^{-3} \approx 7{,}9\times10^{-3}\,\mathrm{s} \] أي \(T \approx 7{,}9\,\mathrm{ms}\).

المسافة الزمنية بين قمتين هي بالضبط الفترة: \[ T = 5{,}0\,\mathrm{ms} = 5{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{s} \] التردد الزاوي: \[ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{5{,}0\times10^{-3}} \approx 1{,}26\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \]

من العلاقة: \[ \dfrac{U_6}{U_1} = \mathrm{e}^{-5T\alpha} \Rightarrow \ln\left(\dfrac{U_6}{U_1}\right) = -5T\alpha \] \[ \alpha = -\dfrac{1}{5T}\ln\left(\dfrac{U_6}{U_1}\right) \] إذا كان مثلاً \(T=4{,}0\,\mathrm{ms}\): \[ \alpha \approx -\dfrac{1}{5\times4{,}0\times10^{-3}} \ln\left(\dfrac{3{,}0}{8{,}0}\right) \approx \dfrac{1}{20\times10^{-3}}\times0{,}98 \approx 49\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] (يمكن للتلميذ استعمال القيمة الدقيقة لـ \(T\) المعطاة في التمرين الحقيقي.)

الشحنة الابتدائية: \[ q_0 = C U_0 = 2{,}0\times10^{-6}\times200 = 4{,}0\times10^{-4}\,\mathrm{C} \] طاقة المكثّفة: \[ E_C(0) = \dfrac{1}{2}\dfrac{q_0^2}{C} = \dfrac{1}{2}\dfrac{(4{,}0\times10^{-4})^2}{2{,}0\times10^{-6}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1{,}6\times10^{-7}}{2{,}0\times10^{-6}} = \dfrac{1}{2}\times0{,}08 = 0{,}040\,\mathrm{J} \]

في غياب المقاومة تنتقل هذه الطاقة كاملة إلى الوشيعة عند مرور التيار الأعظمي: \[ E_L^{\max} = \dfrac{1}{2} L I_{\max}^2 = E_C(0) \Rightarrow I_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E_C(0)}{L}} = \sqrt{\dfrac{2\times0{,}040}{0{,}20}} = \sqrt{0{,}40} \approx 0{,}63\,\mathrm{A} \]

معامل التخميد: \[ \alpha = \dfrac{R}{2L} \] إذن: \[ \alpha_1 = \dfrac{R_1}{2L},\quad \alpha_2 = \dfrac{R_2}{2L} \Rightarrow \alpha_2 = 10\,\alpha_1 \] الدارة (2) أكثر تخميداً بكثير، فتختفي التذبذبات فيها بسرعة أكبر. إذن الدارة (1) (مقاومة أصغر) هي التي تعطي تذبذبات تدوم أطول.

التطور يكون أبيريوديك عندما: \[ \alpha \ge \omega_0 \Rightarrow \dfrac{R}{2L} \ge \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \] أي: \[ R \ge 2L \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}} \] إذن يجب اختيار: \[ R \ge R_{\text{حرج}} = 2\sqrt{\dfrac{L}{C}} \]

بما أنّ: \[ i(t) = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \] نحسب المشتق: \[ i(t) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(Q_0\,\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos\omega t\right) \] باستعمال جداء تابعين: \[ i(t) = Q_0\left( -\alpha\,\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos\omega t - \omega\,\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin\omega t \right) \] أو: \[ i(t) = -Q_0\,\mathrm{e}^{-\alpha t} \left(\alpha\cos\omega t + \omega\sin\omega t\right) \] وهو أيضاً تابع جيبي مخمّد يمكن كتابته بشكل \(I_0\,\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\omega t + \phi)\) بعد تبسيط مناسب.

1) \[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}30\times3{,}0\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{9{,}0\times10^{-7}}} \approx \dfrac{1}{9{,}49\times10^{-4}} \approx 1{,}05\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] \[ \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{12}{2\times0{,}30} = \dfrac{12}{0{,}60} = 20\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] نلاحظ أن \(\alpha \ll \omega_0\) ⇒ التطور متذبذب مخمَّد.

2) \[ T \approx 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}30\times3{,}0\times10^{-6}} = 2\pi\sqrt{9{,}0\times10^{-7}} \approx 2\pi\times9{,}49\times10^{-4} \approx 5{,}96\times10^{-3}\,\mathrm{s} \] أي \(T \approx 6{,}0\,\mathrm{ms}\).

3) الشحنة الابتدائية: \[ Q_0 = C U_0 = 3{,}0\times10^{-6}\times150 = 4{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{C} \]

4) بما أن التطور متذبذب مخمَّد: \[ q(t) = Q_0\,\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\omega t + \varphi) \] حيث \(\alpha = 20\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\) و \(\omega \approx \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \approx \omega_0\) نظراً لضعف التخميد. قيمة الطور \(\varphi\) تُحدّد انطلاقاً من الشروط الابتدائية (مثلاً \(q(0)=Q_0\), \(i(0)=0\) ⇒ \(\varphi=0\)).