Ondes mécaniques progressives

1) Introduction générale

Une onde mécanique progressive (OMP) est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel à une vitesse finie \(v\), sans transport global de matière mais avec transfert d’énergie et d’information. Exemples : onde sur une corde, onde sonore, houle.

Définition : OMP = propagation d’une déformation locale où chaque point du milieu effectue un mouvement autour de sa position d’équilibre, la perturbation se déplaçant à la célérité \(v\).

Deux régimes : impulsion (brève) et périodique (source sinusoïdale de fréquence \(f\)).

2) Vocabulaire & grandeurs caractéristiques

Amplitude \(A\) : élongation maximale.
Période \(T\), fréquence \(f=1/T\).
Longueur d’onde \(\lambda\) : distance d’un motif spatial.
Célérité \(v\) : vitesse de propagation (dans le milieu).

Relation fondamentale : \(\boxed{v=\lambda f=\dfrac{\lambda}{T}}\).

Figure A — Profil spatial \(y(x,t_0)\) : lecture de \(\lambda\).

Figure B — Onde longitudinale : alternance compressions/raréfactions (onde sonore).

3) Cinématique de la propagation

Vers \(+x\) : \(\boxed{\,y(x,t)=f\!\left(t-\dfrac{x}{v}\right)\,}\). Vers \(-x\) : \(y(x,t)=g\!\left(t+\dfrac{x}{v}\right)\).

Retard entre deux points distants \(d\) : \(\tau=\dfrac{d}{v}\). Même phase observée avec un décalage \(\tau\).

Figure C — Même signal observé en deux points : retard \(\tau\).

4) OMP sinusoïdale : équation et phase

Vers \(+x\) : \(\boxed{y(x,t)=A\sin(\omega t-kx+\varphi_0)}\), avec \(\omega=2\pi f\), \(k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\), \(v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f\).

Points en phase : \(\Delta x=n\lambda\).
Opposition : \(\Delta x=(2n+1)\dfrac{\lambda}{2}\).
Déphasage : \(\Delta\phi= k\,\Delta x - \omega\,\Delta t\).

Figure D — Deux points espacés de \(\lambda\) sont en phase.

5) Célérité selon le milieu & atténuation

Corde : \(v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\) (tension \(T\) en N ; masse linéique \(\mu\) en kg·m\(^{-1}\)).
Gaz (air) : \(v\approx 331+0{,}6\,\theta\) (m·s\(^{-1}\)) à \(\theta\) °C (ordre de grandeur Bac).
Atténuation (réel) : amplitude décroit, modélisable par \(A(x)=A_0\,e^{-\alpha x}\).

Figure E — Atténuation de l’enveloppe lors de la propagation.

6) Frontières : réflexion & changement de milieu

Extrémité fixe (corde) : réflexion avec inversion de phase.
Extrémité libre : réflexion sans inversion.
Changement de milieu : \(f\) se conserve ; \(v\) change ⇒ \(\lambda=v/f\) s’adapte.

Figure F — Réflexion : comparaison extrémité fixe vs libre.

7) Ondes stationnaires (modes propres d’une corde)

Superposition de deux OMP sinusoïdales de même \(A,f,\lambda\) et sens opposés ⇒ \(y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)\).

Nœuds : \(x_n=n\dfrac{\lambda}{2}\) ; ventres : \(x=(2n+1)\dfrac{\lambda}{4}\).
Corde de longueur \(L\) (fixée aux 2 extrémités) : \(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\), \(f_n=\dfrac{nv}{2L}\).

Figure G — Modes propres : \(f_n=\dfrac{nv}{2L}\).

8) Méthodes expérimentales (TP Bac)

Deux capteurs séparés de \(d\) : mesurer le retard \(\tau\) ⇒ \(v=d/\tau\).
Photo stroboscopique : lire \(\lambda\) ; avec \(f\), calculer \(v=\lambda f\).
Corde : mesurer \(T\) (dynamomètre) et \(\mu\) ⇒ \(v=\sqrt{T/\mu}\).
Son : ondes stationnaires dans un tube pour mesurer \(\lambda\) ; \(v=\lambda f\).

Vigilance unités : \(v\,[\text{m·s}^{-1}]\), \(\lambda\,[\text{m}]\), \(T\,[\text{s}]\), \(f\,[\text{Hz}]\), \(\mu\,[\text{kg·m}^{-1}]\).

9) Exercices type Bac (12) avec solutions détaillées

Ex.1 — Lecture de \(\lambda\) sur un profil

Sur un instantané, la distance entre deux crêtes consécutives vaut \(36\ \text{cm}\). Déterminer \(\lambda\).

\(\lambda=0{,}36\ \text{m}\).

Ex.2 — Lecture de \(T\) au chronogramme

Temps entre deux maxima successifs : \(8\ \text{ms}\). Calculer \(T\), \(f\).

\(T=8{,}0\times10^{-3}\ \text{s}\), \(f=125\ \text{Hz}\).

Ex.3 — Célérité

\(\lambda=0{,}36\ \text{m}\), \(T=8\ \text{ms}\). Calculer \(v\).

\(v=\lambda/T=0{,}36/8\!\times\!10^{-3}=45\ \text{m·s}^{-1}\).

Ex.4 — Sens de propagation

\(y=0{,}02\sin(200\pi t-5\pi x)\). Donner le sens, \(f,\lambda,v\).

Signe « \(-kx\) » ⇒ vers \(+x\). \(\omega=200\pi\Rightarrow f=100\ \text{Hz}\) ; \(k=5\pi\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0{,}4\ \text{m}\) ; \(v=\lambda f=40\ \text{m·s}^{-1}\).

Ex.5 — Retard \(\tau\) et déphasage \(\Delta\phi\)

\(d=0{,}75\ \text{m}\), \(f=10\ \text{Hz}\), \(v=15\ \text{m·s}^{-1}\). Calculer \(\tau\) puis \(\Delta\phi\) entre les deux points.

\(\tau=d/v=0{,}05\ \text{s}\). \(\lambda=v/f=1{,}5\ \text{m}\) ⇒ \(\Delta\phi=2\pi d/\lambda=\pi\) (opposition).

Ex.6 — Corde tendue

Tension \(T=36\ \text{N}\), masse linéique \(\mu=9{,}0\times10^{-3}\ \text{kg·m}^{-1}\). Calculer \(v\).

\(v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{36/9\!\times\!10^{-3}}=\sqrt{4000}\approx 63{,}25\ \text{m·s}^{-1}\).

Ex.7 — Phase/opposition

\(\lambda=1{,}2\ \text{m}\). Plus petite distance pour être (a) en phase ; (b) en opposition.

(a) \(\lambda=1{,}2\ \text{m}\). (b) \(\lambda/2=0{,}6\ \text{m}\).

Ex.8 — Impulsion

La source impose un signal bref \(s(t)\). Écrire \(y(x,t)\) pour une propagation vers \(+x\).

\(y(x,t)=s\!\left(t-\dfrac{x}{v}\right)\).

Ex.9 — Air et température

Estimer \(v\) à \(25^\circ\)C par \(v\approx 331+0{,}6\theta\).

\(v\approx 346\ \text{m·s}^{-1}\) (ordre de grandeur).

Ex.10 — Stationnaires

Corde \(L=1{,}20\ \text{m}\), \(v=60\ \text{m·s}^{-1}\). Calculer \(f_1,f_2,f_3\).

\(f_n=\dfrac{nv}{2L}\Rightarrow f_1=25\ \text{Hz}\), \(f_2=50\ \text{Hz}\), \(f_3=75\ \text{Hz}\).

Ex.11 — Changement de milieu

Une onde passe d’un milieu 1 (\(v_1\)) à un milieu 2 (\(v_2\)) ; \(f\) reste \(f_0\). Exprimer \(\lambda_1,\lambda_2\).

\(\lambda_1=v_1/f_0\), \(\lambda_2=v_2/f_0\). La fréquence est imposée par la source.

Ex.12 — Atténuation

\(A(x)=A_0 e^{-\alpha x}\) avec \(A_0=6\ \text{mm}\), \(\alpha=0{,}40\ \text{m}^{-1}\). Calculer \(A(2\ \text{m})\).

\(A(2)=6\,e^{-0{,}8}\approx 2{,}69\ \text{mm}\).

10) Erreurs fréquentes & conseils Bac

Confondre \(\lambda\) avec la distance crête–creux (\(\lambda/2\)).
Oublier que \(f\) se conserve au changement de milieu (c’est \(\lambda\) qui change).
Se tromper de signe dans \(\omega t \mp kx\) pour le sens de propagation.
Confondre intensité et amplitude ( \(I\propto A^2\) ).

11) Mini-fiche

Général : \(y(x,t)=f(t-x/v)\) (sens \(+x\)).
Sinusoïdal : \(y=A\sin(\omega t-kx+\varphi_0)\), \(v=\lambda f\).
Retard : \(\tau=d/v\), déphasage : \(\Delta\phi=kd=\omega\tau\).
Corde : \(v=\sqrt{T/\mu}\). Air : \(v\approx 331+0{,}6\theta\).