Ondes mécaniques progressives périodiques

1) Introduction et cadre du chapitre

On étudie ici les ondes mécaniques progressives périodiques (OMP périodiques) : la source impose un signal périodique de période \(T\) et de fréquence \(f=\dfrac{1}{T}\). Chaque point du milieu oscille à la même fréquence, mais avec un retard dépendant de la distance à la source.

OMP périodique : onde mécanique progressive engendrée par une source périodique (souvent sinusoïdale) ; ses grandeurs caractéristiques vérifient \(\boxed{v=\lambda f=\dfrac{\lambda}{T}}\).

Deux géométries : transverse (corde) et longitudinale (son). La célérité \(v\) dépend du milieu ; \(f\) est imposée par la source et se conserve lors d’un changement de milieu.

2) Équation d’une OMP sinusoïdale

Modèle sinusoïdal (propagation vers \(+x\)) :

\(\boxed{y(x,t)=A\sin(\omega t-kx+\varphi_0)}\quad\) avec \(\ \omega=2\pi f,\ \ k=\dfrac{2\pi}{\lambda},\ \ v=\dfrac{\omega}{k}=\lambda f.\)

2.1) Sens de propagation

Vers \(+x\) : \(y=A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)\) (phase diminue quand \(x\) augmente).
Vers \(-x\) : \(y=A\sin(\omega t + kx + \varphi_0)\).

2.2) Phase et déphasage

Phase \(\phi(x,t)=\omega t - kx + \varphi_0\). Déphasage entre \(M(x)\) et \(N(x+d)\) à un même instant : \(\Delta\phi=k\,d=\dfrac{2\pi}{\lambda}d\).

Points en phase \(\Leftrightarrow d=n\lambda\). Opposition de phase \(\Leftrightarrow d=(2n+1)\dfrac{\lambda}{2}\).

Figure 1 — Profil spatial \(y(x,t_0)\) : lecture de \(\lambda\).

Figure 2 — Déphasage spatial \(\Delta\phi\) entre deux points séparés de \(d\).

3) Lectures expérimentales : profil spatial et chronogramme

Profil spatial \(y(x,t_0)\) : lire \(\lambda\) (distance entre deux crêtes).
Chronogramme \(y(x_0,t)\) : lire \(T\) (temps entre deux maxima consécutifs) puis \(f=1/T\).
Calculer \(v=\lambda f\).

Exemple : sur \(y(x,t_0)\), \(\lambda=0{,}80\ \text{m}\) ; sur \(y(x_0,t)\), \(T=0{,}040\ \text{s}\) ⇒ \(f=25\ \text{Hz}\) ⇒ \(v=20\ \text{m·s}^{-1}\).

Figure 3 — Retard \(\tau\) entre deux capteurs séparés de \(d\).

4) Superposition et interférences (rappel qualitatif)

Principe de superposition (milieu linéaire) : \(y_\text{rés}(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)\).

Renforcement si ondes en phase (\(\Delta\phi=2\pi n\)) : amplitude augmentée.
Affaiblissement si opposition (\(\Delta\phi=(2n+1)\pi\)).

Dans ce chapitre, on se limite aux conséquences locales (pas l’étude complète d’un dispositif d’interférences).

_rés = A₁ + A₂

Figure 4 — Somme de deux ondes sinusoïdales en phase : renforcement.

5) Influence du milieu : célérité, changement de milieu, dispersion (notion)

Corde tendue : \(v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\) (tension \(T\), masse linéique \(\mu\)).
Onde sonore (air) : \(v\approx 331+0{,}6\,\theta\) (m·s\(^{-1}\)) à \(\theta\) °C.
Changement de milieu : \(f\) se conserve ; \(v\) change ⇒ \(\lambda=v/f\) s’ajuste.
Dispersion (notion) : si \(v\) dépend de \(f\), les composantes se déphasent (pas d’étude mathématique détaillée ici).

L’amplitude n’influe pas sur \(v\) (hypothèse de petites déformations — milieu linéaire).

6) Énergie transportée et atténuation

L’énergie transportée est proportionnelle au carré de l’amplitude locale : \(E \propto A^2\).
En milieu réel, l’amplitude décroit : \(A(x)=A_0 e^{-\alpha x}\) (modèle empirique d’atténuation).

Figure 5 — Décroissance de l’amplitude avec la distance.

7) Méthodes de mesure (TP Bac)

Lecture de \(\lambda\) sur un instantané \(y(x,t_0)\).
Lecture de \(T\) sur un chronogramme \(y(x_0,t)\) ⇒ \(f=1/T\).
Deux capteurs distants de \(d\) : retard \(\tau=d/v\).
Corde : \(v=\sqrt{T/\mu}\) (mesure \(T\) et \(\mu\)).

Soigner les incertitudes de lecture ; vérifier les unités : \(v[\text{m·s}^{-1}], \lambda[\text{m}], T[\text{s}], f[\text{Hz}]\).

8) Synthèse des relations utiles

Quantité	Symbole	Relation	Unité
Célérité	\(v\)	\(v=\lambda f=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}\)	m·s\(^{-1}\)
Vecteur d’onde	\(k\)	\(k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\)	rad·m\(^{-1}\)
Pulsation	\(\omega\)	\(\omega=2\pi f\)	rad·s\(^{-1}\)
Déphasage spatial	\(\Delta\phi\)	\(\Delta\phi=k\,d=\dfrac{2\pi}{\lambda}d\)	rad

9) Exercices type Bac (12) avec solutions détaillées

Ex.1 — Lecture de \(\lambda\) et \(T\)

Un instantané donne \(\lambda=0{,}72\ \text{m}\). Le chronogramme en un point donne \(T=16\ \text{ms}\). Calculer \(f\) et \(v\).

\(f=1/T=62{,}5\ \text{Hz}\). \(v=\lambda f=0{,}72\times62{,}5=45\ \text{m·s}^{-1}\).

Ex.2 — Sens de propagation

\(y=0{,}01\sin(80\pi t - 10\pi x)\). Donner le sens, \(f,\lambda,v\).

« \(-kx\) » ⇒ vers \(+x\). \(\omega=80\pi\Rightarrow f=40\ \text{Hz}\). \(k=10\pi\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pi}{10\pi}=0{,}2\ \text{m}\). \(v=\lambda f=8\ \text{m·s}^{-1}\).

Ex.3 — Déphasage spatial

\(\lambda=1{,}0\ \text{m}\). Distance \(d=0{,}35\ \text{m}\). Calculer \(\Delta\phi\) en rad.

\(\Delta\phi=2\pi d/\lambda=2\pi\times0{,}35=0{,}70\pi\ \text{rad}\approx2{,}199\ \text{rad}\).

Ex.4 — Points en phase/opposition

\(\lambda=0{,}48\ \text{m}\). Donner la plus petite distance pour être (a) en phase ; (b) en opposition.

(a) \(\lambda=0{,}48\ \text{m}\). (b) \(\lambda/2=0{,}24\ \text{m}\).

Ex.5 — Retard entre capteurs

Deux capteurs séparés de \(d=1{,}50\ \text{m}\) ; \(v=30\ \text{m·s}^{-1}\). Trouver \(\tau\).

\(\tau=d/v=0{,}050\ \text{s}\).

Ex.6 — Équation d’onde

On impose \(A=2{,}5\ \text{mm}\), \(f=12{,}5\ \text{Hz}\), \(v=5\ \text{m·s}^{-1}\). Écrire \(y(x,t)\) vers \(+x\).

\(\omega=2\pi f=25\pi\). \(\lambda=v/f=0{,}4\ \text{m}\). \(k=2\pi/\lambda=5\pi\). \(y=0{,}0025\sin(25\pi t - 5\pi x)\).

Ex.7 — Changement de milieu

Une onde passe d’un milieu 1 (\(v_1=60\)) à un milieu 2 (\(v_2=30\)). La source garde \(f=25\ \text{Hz}\). Calculer \(\lambda_1,\lambda_2\).

\(\lambda_1=v_1/f=2{,}4\ \text{m}\). \(\lambda_2=v_2/f=1{,}2\ \text{m}\).

Ex.8 — Corde tendue

\(T=49\ \text{N}\), \(\mu=0{,}049\ \text{kg·m}^{-1}\). Calculer \(v\). Puis \(\lambda\) si \(f=10\ \text{Hz}\).

\(v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{1000}\approx31{,}62\ \text{m·s}^{-1}\). \(\lambda=v/f\approx3{,}162\ \text{m}\).

Ex.9 — Déphasage spatio-temporel

\(k=6\pi\ \text{rad·m}^{-1}\), \(\omega=120\pi\ \text{rad·s}^{-1}\). Pour \(\Delta x=0{,}10\ \text{m}\), \(\Delta t=4\ \text{ms}\), calculer \(\Delta\phi\).

\(\Delta\phi=k\Delta x - \omega\Delta t = 6\pi(0{,}10) - 120\pi(0{,}004)=0{,}6\pi - 0{,}48\pi=0{,}12\pi\ \text{rad}\).

Ex.10 — Intensité et amplitude

Si l’amplitude diminue d’un facteur 3, comment varie l’énergie locale transportée ?

Énergie \(\propto A^2\) ⇒ divisée par \(3^2=9\).

Ex.11 — Identification d’une erreur de lecture

Un élève lit \(\lambda\) entre une crête et le creux suivant. Corriger.

Crête → creux = \(\lambda/2\). Il faut prendre la distance entre deux crêtes ou deux creux successifs.

Ex.12 — Construction d’équation à partir de données

On mesure \(T=0{,}02\ \text{s}\), \(\lambda=0{,}5\ \text{m}\), \(A=4\ \text{mm}\). Donner \(y(x,t)\) vers \(-x\), avec \(\varphi_0=0\).

\(f=50\ \text{Hz}\Rightarrow \omega=100\pi\). \(k=2\pi/\lambda=4\pi\). Vers \(-x\) : \(y=0{,}004\sin(100\pi t+4\pi x)\).

10) Erreurs fréquentes & conseils Bac

Confondre \(\lambda\) avec crête–creux (\(\lambda/2\)).
Oublier que \(f\) est imposée par la source et se conserve d’un milieu à l’autre.
Mauvais signe dans \(\omega t \mp kx\) pour le sens de propagation.
Penser que \(v\) dépend de \(A\) (faux dans le régime linéaire).