RC ثنائي القطب
1) تمهيد: لماذا ندرس ثنائي القطب \(RC\) ؟
في العديد من الدوائر الإلكترونية (مرشّحات، دوائر توقيت، وميض LED، كواشف…) نستعمل ثنائيات أقطاب من النوع \(RC\)، أي مقاومة كهربائية \(R\) ومكثّف كهربائي \(C\) موصولان على التوالي. هذا الثنائي يُشكّل نظاماً متغيّر الزمن (نظام من الدرجة الأولى) يخضع لمعادلة تفاضلية بسيطة من الشكل: \[ RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C(t) = E \]
هدف الدرس في الباك: فهم سلوك المكثّف عند الشحن والتفريغ عبر مقاومة، واستغلال المنحنيات لتحديد الثابت الزمني \(\tau = RC\)، ثم حساب التوترات والتيارات في الزمن.
2) تذكير بالمكوّنين: المقاومة والمكثّف
المقاومة الكهربائية \(R\)
- أحد عناصر الدارة الذي يطبَّق عليه قانون أوم: \[ u_R(t) = R\,i(t) \]
- وحيدته في النظام الدولي: الأوم \(\Omega\).
المكثّف الكهربائي \(C\)
- عنصر قادر على تخزين شحنة كهربائية على لوحيه؛ يميَّز بسعته: \[ C = \dfrac{Q}{U} \] حيث \(Q\) الشحنة و\(U\) التوتر بين اللوحين.
- وحدته: الفاراد \(\mathrm{F}\) (في الدرس نستعمل غالباً \(\mu\mathrm{F}\), \(\mathrm{nF}\)).
- علاقة الشحنة والتوتر في الزمن: \[ Q(t) = C\,u_C(t) \quad\Rightarrow\quad i(t) = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} \]
3) تعريف ثنائي القطب \(RC\) والمعادلة التفاضلية
ثنائي القطب \(RC\) على التوالي
نضع المقاومة \(R\) والمكثّف \(C\) على التوالي ونعتبر التوتر بين طرفي الثنائي \(u_{RC}(t)\). في دارة شحن كلاسيكية يكون الثنائي موصولاً بمولّد توتر ثابت \(E\).
معادلة ثنائي القطب \(RC\)
باستعمال قانون أوم وعلاقة المكثّف نحصل عموماً على: \[ u_R(t) = R\,i(t),\qquad i(t) = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} \] وفي دارة الشحن: \[ E = u_R(t) + u_C(t) \Rightarrow E = R C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C(t) \] أي المعادلة التفاضلية: \[ RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C(t) = E \]
4) نظام الشحن: حلول المعادلة وثابت الزمن
حالة شحن من توتر ثابت \(E\)
في اللحظة \(t=0\) نعتبر المكثّف غير مشحون: \(u_C(0) = 0\). بحل المعادلة التفاضلية نحصل على: \[ u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\right) \] \[ i(t) = \dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]
الثابت الزمني \(\tau\)
نعرّف: \[ \tau = RC \] ونسميه الثابت الزمني لثنائي القطب \(RC\) (وحيدته: الثانية). يمثل الزمن المميِّز لتغيّر التوتر.
| \(t\) | \(u_C(t)/E\) | \(i(t)/\left(E/R\right)\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\tau\) | \(1 - \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}63\) | \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\) |
| \(2\tau\) | \(1 - \mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}86\) | \(\mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}14\) |
| \(3\tau\) | \(1 - \mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}95\) | \(\mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}05\) |
| \(5\tau\) | \(\approx 0{,}99\) | \(\approx 0{,}007\) |
بعد زمن يقارب \(5\tau\) نعتبر عملياً أن المكثّف مشحون كلياً وأنّ التيار أصبح منعدماً تقريباً.
5) نظام التفريغ: دالة أسّية تناقصية
حالة التفريغ
عند فصل المولّد وربط المكثّف وحده بالمقاومة على التوالي، يكون التوتر الابتدائي \(u_C(0)=U_0\) ثم يتناقص نحو الصفر وفق: \[ u_C(t) = U_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}},\qquad i(t) = -\dfrac{U_0}{R}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]
6) تحديد الثابت الزمني \(\tau\) مخبرياً
طرق استغلال المنحنى
- طريقة 0,63E (في الشحن): نحدد على المنحنى اللحظة التي يصبح فيها \(u_C(t) \approx 0{,}63\,E\) ⇒ هذه اللحظة تساوي تقريباً \(\tau\).
- طريقة 0,37U₀ (في التفريغ): نبحث عن اللحظة التي يصبح فيها \(u_C(t) \approx 0{,}37\,U_0\) ⇒ أيضاً \(t\approx\tau\).
- طريقة التمثيل الخطي (مستوى أعمق): في الشحن نكتب \[ E - u_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \Rightarrow \ln\left(E-u_C(t)\right) = \ln E - \frac{t}{RC} \] فيكون التمثيل \(\ln(E-u_C)\) بدلالة \(t\) خطياً بميل \(-1/RC\).
7) الطاقة في ثنائي القطب \(RC\)
الطاقة المخزَّنة في المكثّف
عند توتر \(u_C\) يخزن المكثّف طاقة كهربائية: \[ E_C = \dfrac{1}{2} C u_C^2 \]
أثناء الشحن، يقدم المولّد طاقة جزؤها يُخزن في المكثّف والباقي يُفقد على شكل طاقة حرارية في المقاومة (ظاهرة جول). أثناء التفريغ تتحول الطاقة المخزَّنة في المكثّف كلياً تقريباً إلى طاقة حرارية في المقاومة.
8) تطبيقات واستعمالات ثنائي القطب \(RC\)
- دوائر التوقيت (Timer): زمن الشحن أو التفريغ يحدّد تأخيراً زمنيًّا في الأنظمة الرقمية.
- المرشّحات (Filtres): حسب توصيل \(RC\) يمكن الحصول على مرشّح تمرير منخفض أو عالي (دراسة مفصّلة خارج هذا الدرس).
- الاستقرار والتنعيم: المكثّفات تساهم في تنعيم التوتر في مزوّدات التغذية.
9) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة
تمرين 1 — حساب الثابت الزمني
ثنائي القطب \(RC\) مكوَّن من مقاومة \(R = 2{,}0\,\mathrm{k}\Omega\) ومكثّف \(C = 4{,}7\,\mu\mathrm{F}\). احسب الثابت الزمني \(\tau\).
نحوّل الوحدات: \[ R = 2{,}0\times10^{3}\,\Omega,\quad C = 4{,}7\times10^{-6}\,\mathrm{F} \] \[ \tau = RC = 2{,}0\times10^{3}\times4{,}7\times10^{-6} \approx 9{,}4\times10^{-3}\,\mathrm{s} = 9{,}4\,\mathrm{ms} \]
تمرين 2 — توتر المكثّف أثناء الشحن
في دارة شحن تحت توتر ثابت \(E = 6{,}0\,\mathrm{V}\) وثابت زمني \(\tau = 0{,}020\,\mathrm{s}\)، احسب التوتر
\(u_C(t)\) عند:
1) \(t = \tau\). 2) \(t = 3\tau\).
لدينا: \[ u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right) \] 1) عند \(t=\tau\): \[ u_C(\tau) = 6\left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \approx 6\times0{,}63 \approx 3{,}8\,\mathrm{V} \] 2) عند \(t=3\tau\): \[ u_C(3\tau) = 6\left(1 - \mathrm{e}^{-3}\right) \approx 6\times0{,}95 \approx 5{,}7\,\mathrm{V} \]
تمرين 3 — تفريغ مكثّف
مكثّف مشحون بتوتر \(U_0 = 10\,\mathrm{V}\) يُفرَّغ عبر مقاومة بحيث \(\tau = 0{,}50\,\mathrm{s}\).
1) اعطِ التعبير الرياضي للتوتر \(u_C(t)\).
2) احسب \(u_C(0{,}50\,\mathrm{s})\) و \(u_C(1{,}0\,\mathrm{s})\).
1) في التفريغ: \[ u_C(t) = U_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \] 2) عند \(t=0{,}50\mathrm{s} = \tau\): \[ u_C(\tau) = 10\,\mathrm{e}^{-1} \approx 10\times0{,}37 \approx 3{,}7\,\mathrm{V} \] وعند \(t=1\,\mathrm{s} = 2\tau\): \[ u_C(2\tau) = 10\,\mathrm{e}^{-2} \approx 10\times0{,}14 \approx 1{,}4\,\mathrm{V} \]
تمرين 4 — إيجاد \(R\) أو \(C\) من \(\tau\)
في تجربة شحن، قيس الثابت الزمني \(\tau = 0{,}080\,\mathrm{s}\) ونعرف أنّ المقاومة \(R = 4{,}0\,\mathrm{k}\Omega\). احسب سعة المكثّف \(C\).
من \(\tau = RC\) نحصل على: \[ C = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{0{,}080}{4{,}0\times10^{3}} = 2{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{F} = 20\,\mu\mathrm{F} \]
تمرين 5 — استغلال المنحنى لتحديد \(\tau\)
في منحنى شحن لمكثّف تحت توتر \(E = 5{,}0\,\mathrm{V}\) نلاحظ أن التوتر على المكثّف يصبح \(u_C = 3{,}15\,\mathrm{V}\) عند الزمن \(t = 0{,}040\,\mathrm{s}\). استنتج قيمة \(\tau\).
من العلاقات النظرية: \[ u_C(\tau) \approx 0{,}63\,E \] نحسب \(0{,}63\times5 = 3{,}15\,\mathrm{V}\). إذن اللحظة التي يساوي فيها التوتر \(3{,}15\,\mathrm{V}\) تمثّل تقريباً \(\tau\)، وبالتالي: \[ \tau \approx 0{,}040\,\mathrm{s} \]
تمرين 6 — التيار الأقصى أثناء الشحن
دارة شحن تحت توتر \(E = 12\,\mathrm{V}\) ومقاومة \(R = 3{,}0\,\mathrm{k}\Omega\).
1) احسب شدة التيار الابتدائي \(i(0)\).
2) احسب \(i(\tau)\) إذا كان \(\tau = 0{,}060\,\mathrm{s}\).
1) عند \(t=0\) يكون \(u_C(0)=0\) فيمرّ التيار الأقصى: \[ i(0) = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{3{,}0\times10^{3}} = 4{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{A} = 4\,\mathrm{mA} \]
2) في الشحن: \[ i(t) = \dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \Rightarrow i(\tau) = \dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-1} \approx 4\,\mathrm{mA} \times 0{,}37 \approx 1{,}5\,\mathrm{mA} \]
تمرين 7 — طاقة مخزَّنة
مكثّف سعته \(C = 10\,\mu\mathrm{F}\) مشحون إلى توتر \(U = 9{,}0\,\mathrm{V}\).
1) احسب الطاقة المخزّنة \(E_C\).
2) إذا فُرِّغ عبر مقاومة، إلى أي نوع من الطاقة تتحوّل هذه الطاقة الكهربائية؟
1) \[ C = 10\times10^{-6}\,\mathrm{F},\quad E_C = \dfrac{1}{2} C U^2 = \dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times9^2 \approx 4{,}05\times10^{-4}\,\mathrm{J} \]
2) أثناء التفريغ تتحول هذه الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية في المقاومة (ظاهرة جول).
تمرين 8 — مقارنة ثنائيي أقطاب \(RC\)
لدينا ثنائيان \(RC\) لهما نفس المكثّف \(C\)، لكن المقاومة في الدارة (1) هي \(R_1 = 1{,}0\,\mathrm{k}\Omega\) وفي الدارة (2) \(R_2 = 4{,}0\,\mathrm{k}\Omega\). أيّ الدارتين يشحن المكثّف بسرعة أكبر؟ فَسِّر باستعمال الثابت الزمني.
الثابت الزمني: \[ \tau_1 = R_1C,\quad \tau_2 = R_2C \] بما أنّ \(R_2 > R_1\) ⇒ \(\tau_2 > \tau_1\). كلّما كان \(\tau\) أصغر كان الشحن أسرع. إذن الدارة (1) ذات المقاومة الأصغر تشحن المكثّف بسرعة أكبر.
تمرين 9 — تمثيل لوغاريتمي (مستوى أعمق)
في تجربة شحن ثنائي القطب \(RC\)، نقيس التوتر \(u_C(t)\) ونرسم البيان \(\ln\left(E - u_C(t)\right)\) بدلالة الزمن \(t\). نحصل على مستقيم ميله \(-50\,\mathrm{s}^{-1}\). احسب الثابت الزمني \(\tau\).
من العلاقة: \[ \ln(E - u_C) = \ln E - \dfrac{t}{RC} \] يكون ميل المستقيم: \[ a = -\dfrac{1}{RC} = -\dfrac{1}{\tau} \] وبالتالي: \[ \tau = -\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{50} = 0{,}020\,\mathrm{s} \]
تمرين 10 — سؤال شامل
ثنائي القطب \(RC\) بحيث \(R = 1{,}5\,\mathrm{k}\Omega\)، \(C = 22\,\mu\mathrm{F}\)، موصول بمولّد
توتر ثابت \(E = 9{,}0\,\mathrm{V}\).
1) احسب الثابت الزمني \(\tau\).
2) عبّر عن \(u_C(t)\) و \(i(t)\).
3) احسب \(u_C(0{,}050\,\mathrm{s})\) وشدة التيار في نفس اللحظة.
1) \[ \tau = RC = 1{,}5\times10^{3}\times22\times10^{-6} \approx 3{,}3\times10^{-2}\,\mathrm{s} = 0{,}033\,\mathrm{s} \]
2) \[ u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right),\qquad i(t) = \dfrac{E}{R}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \]
3) عند \(t = 0{,}050\,\mathrm{s}\): \[ \dfrac{t}{\tau} = \dfrac{0{,}050}{0{,}033} \approx 1{,}52 \Rightarrow \mathrm{e}^{-1{,}52} \approx 0{,}22 \] \[ u_C \approx 9\left(1 - 0{,}22\right) \approx 7{,}0\,\mathrm{V} \] \[ i(t) \approx \dfrac{9}{1{,}5\times10^{3}}\times0{,}22 \approx 1{,}32\times10^{-3}\,\mathrm{A} \approx 1{,}3\,\mathrm{mA} \]
10) خلاصة سريعة للباك
- في ثنائي القطب \(RC\) على التوالي: \[ i(t) = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t},\quad u_R(t) = R\,i(t) \]
- في دارة الشحن من مولّد ثابت: \[ RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C(t) = E \Rightarrow u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\right) \]
- في التفريغ: \[ u_C(t) = U_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} \]
- الثابت الزمني: \[ \tau = RC \] وفي \(t = \tau\): \(u_C(\tau) \approx 0{,}63\,E\) (شحن) أو \(0{,}37\,U_0\) (تفريغ).
- الطاقة المخزّنة في المكثّف: \[ E_C = \dfrac{1}{2} C u_C^2 \]
- استغلال المنحنيات لتحديد \(\tau\) (0,63E أو 0,37U₀ أو تمثيل لوغاريتمي).
درس: ثنائي القطب \(RC\) — 2 باك علوم رياضية (فيزياء) — © neobac.ma