تطبيقات قوانين نيوتن: الأقمار الصناعية والكواكب

1) من قانون الجذب الكوني: \[ F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{r^2} \]

2) بالتعويض: \[ F = 6{,}67\times 10^{-11} \times \dfrac{2{,}0\times 10^{24} \times 6{,}0\times 10^{22}} {(4{,}0\times 10^{7})^2} \] أولاً: \[ m_1 m_2 = 2{,}0\times 10^{24}\times 6{,}0\times 10^{22} = 12\times 10^{46} = 1{,}2\times 10^{47} \] وثانياً: \[ r^2 = (4{,}0\times 10^{7})^2 = 16\times 10^{14} = 1{,}6\times 10^{15} \] إذن: \[ \dfrac{m_1 m_2}{r^2} = \dfrac{1{,}2\times 10^{47}}{1{,}6\times 10^{15}} = 0{,}75\times 10^{32} = 7{,}5\times 10^{31} \] وبالتالي: \[ F \approx 6{,}67\times 10^{-11} \times 7{,}5\times 10^{31} \approx 50\times 10^{20} = 5{,}0\times 10^{21}\,\mathrm{N} \] (قيمة تقريبية كبيرة لأن الكتل كبيرة والمسافة كونية).

1) كما رأينا في الدرس: \[ F_{\text{grav}} = G\,\dfrac{M_T m}{R^2} \] وهي القوة المركزية التي تحقق: \[ F_{\text{grav}} = m\,\dfrac{v^2}{R} \] بالتالي: \[ G\,\dfrac{M_T m}{R^2} = m\,\dfrac{v^2}{R} \Rightarrow v^2 = G\,\dfrac{M_T}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{R}} \]

2) بالتعويض: \[ v = \sqrt{ \dfrac{6{,}67\times 10^{-11} \times 6{,}0\times 10^{24}} {7{,}0\times 10^{6}} } \] حسابياً: \[ 6{,}67\times 6{,}0 \approx 40 \] والأس: \[ 10^{-11+24-6} = 10^{7} \] إذن داخل الجذر: \[ \dfrac{40\times 10^{7}}{7{,}0} \approx 5{,}7\times 10^{7} \] وبالتالي: \[ v \approx \sqrt{5{,}7\times 10^{7}} \approx 7{,}5\times 10^{3}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \] أي حوالي \(7{,}5\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\).

1) طول المدار: \[ L = 2\pi R \approx 2\times 3{,}14 \times 7{,}0\times 10^{6} \approx 44\times 10^{6} = 4{,}4\times 10^{7}\,\mathrm{m} \]

2) من \( v = \dfrac{L}{T} \): \[ T = \dfrac{L}{v} \approx \dfrac{4{,}4\times 10^{7}} {7{,}5\times 10^{3}} \approx 5{,}9\times 10^{3}\,\mathrm{s} \]

3) بالتحويل إلى ساعات: \[ T \approx \dfrac{5{,}9\times 10^{3}}{3600} \approx 1{,}6\,\mathrm{h} \] أي حوالي \(1{,}6\) ساعة (حوالي ساعة و36 دقيقة)، وهي مدة قصيرة مقارنة بـ \(24h\)، لذا القمر ليس ثابتاً جغرافياً.

1) من: \[ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{G M_T}} \Rightarrow \dfrac{T}{2\pi} = \sqrt{\dfrac{R^3}{G M_T}} \] بتربيع الطرفين: \[ \left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{R^3}{G M_T} \Rightarrow R^3 = G M_T \left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2 \]

2) إذن: \[ R^3 = G M_T \dfrac{T^2}{4\pi^2} = \dfrac{G M_T}{4\pi^2} T^2 \] كما هو مطلوب.

3) الحساب العددي يتطلّب تعويض قيم دقيقة لـ \(G\)، \(M_T\) و\(T\)، ثم استخراج الجذر التكعيبي لقيمة كبيرة، وهو عملية حسابية طويلة تحتاج غالباً لآلة حاسبة متقدمة ودقة كبيرة، لذلك في الامتحان الوطني يكتفى غالباً بأسئلة نوعية أو علاقات رمزية.

1) بما أنهما يدوران حول نفس الكوكب (الأرض): \[ \dfrac{T_A^2}{R_A^3} = \dfrac{T_B^2}{R_B^3} \Rightarrow \dfrac{T_B^2}{T_A^2} = \dfrac{R_B^3}{R_A^3} \]

2) بالتعويض: \[ \dfrac{R_B}{R_A} = \dfrac{4R_T}{2R_T} = 2 \] إذن: \[ \dfrac{T_B^2}{T_A^2} = \left(\dfrac{R_B}{R_A}\right)^3 = 2^3 = 8 \Rightarrow \dfrac{T_B}{T_A} = \sqrt{8} \approx 2{,}83 \]

3) بما أن القمر \(B\) في مدار أكبر (أبعد عن الأرض)، فإن مدة دورته أكبر بكثير، وبالتالي سرعته المدارية أصغر. إذن القمر \(A\) هو الذي يدور بسرعة أكبر.

1) بما أنهما حول نفس الكتلة (الشمس): \[ \dfrac{T_A^2}{R_A^3} = \dfrac{T_B^2}{R_B^3} \Rightarrow \dfrac{T_B^2}{T_A^2} = \dfrac{R_B^3}{R_A^3} \]

2) بالتعويض: \[ \dfrac{R_B}{R_A} = \dfrac{4}{1} = 4 \Rightarrow \dfrac{T_B^2}{T_A^2} = 4^3 = 64 \Rightarrow \dfrac{T_B}{T_A} = 8 \] بما أن \( T_A = 1\,\text{سنة} \) فإن: \[ T_B = 8\,\text{سنوات} \] أي أن الكوكب الأبعد يحتاج إلى مدة أطول بكثير ليتم دورة كاملة حول الشمس.

1) من العلاقة: \[ v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{R}} \] نلاحظ أن السرعة المدارية تتناسب مع \(\dfrac{1}{\sqrt{R}}\). إذن كلما كان نصف القطر أصغر، كانت السرعة أكبر.

بما أن \( R_S \ll R_C \)، فإن: \[ v_S \gg v_C \] أي أن القمر الصناعي المنخفض المدار أسرع بكثير من القمر الطبيعي.

2) من جهة أخرى، مدة الدورة: \[ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{G M_T}} \] تزداد عندما يزداد \(R\)، أي أن القمر الطبيعي الذي يبعد كثيراً عن الأرض له مدة دورة أكبر بكثير من القمر الصناعي المنخفض.

1) من العلاقة: \[ T^2 = \left(\dfrac{4\pi^2}{G M}\right) R^3 \] إذا رسمنا \(T^2\) بدلالة \(R^3\)، فإن ميل المستقيم يساوي: \[ \text{الميل} = \dfrac{4\pi^2}{G M} \]

2) إذا قيست قيمة الميل تجريبياً (مثلاً من الرسم)، فيمكن حساب كتلة الكوكب من: \[ M = \dfrac{4\pi^2}{G \times \text{الميل}} \] وبالتالي يمكن تقدير كتلة الكوكب انطلاقاً من دراسة مدارات توابعه.

1) لأن مدار القمر الصناعي يجب أن يكون متطابقاً مع مستوى دوران نقطة من سطح الأرض حول مركزها، وهذا يتحقق تقريباً فقط في مستوى خط الاستواء، حتى يبقى القمر فوق نفس الإسقاط على الأرض.

2) إذا كانت مدة الدورة أصغر قليلاً من \(24\) ساعة، فإن القمر الصناعي يدور حول الأرض أسرع من دوران الأرض حول نفسها، فيتحرك في السماء بالنسبة للمشاهد على الأرض (لا يبقى ثابتا فوق نقطة واحدة).

3) إذا كانت أكبر قليلاً من \(24\) ساعة، فإن القمر الصناعي أبطأ من دوران الأرض، فيبدو وكأنه يتحرك في الاتجاه المعاكس على القبة السماوية، ولن يكون ثابتاً جغرافياً أيضاً.

إن حركة الأقمار الصناعية والكواكب يمكن فهمها انطلاقاً من قانون الجذب الكوني لنيوتن، الذي يربط قوة الجذب بين جسمين بكتلتيهما وبمربع المسافة بينهما، ومن القانون الثاني لنيوتن الذي يربط مجموع القوى بالتسارع. فبالنسبة لقمر صناعي في مدار دائري حول الأرض، تلعب قوة الجذب الكوني دور القوة المركزية التي توجه التسارع نحو مركز الأرض وتعطي السرعة المدارية \(v = \sqrt{\dfrac{G M_T}{R}}\).

من هذا التحليل نحصل أيضاً على تعبير مدة الدورة \(T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{G M_T}}\)، مما يؤدي إلى قانون كبلر الثالث \(T^2 \propto R^3\) لجميع التوابع التي تدور حول نفس الكوكب أو الكتلة المركزية (كواكب حول الشمس مثلاً). هذه العلاقات تسمح بمقارنة المدارات (سرعة، مدة، نصف قطر)، وبتفسير خصائص مدارات خاصة مثل المدار الثابت جغرافياً المستعمل في الاتصالات، وبفهم لماذا تستغرق الكواكب البعيدة عن الشمس زمناً أطول لإتمام دورة كاملة.