الدوال الأسية

1) تمهيد وأهداف درس الدوال الأسية

تظهر الدوال الأسية في وصف العديد من الظواهر: النمو السكاني، الفائدة المركبة، النشاط الإشعاعي، التفاعلات الكيميائية، انتشار الأمراض، وغيرها. في العلوم الرياضية ندرس هذه الدوال بطريقة دقيقة وتحليلية.

في هذا الدرس سنركز على الدالة الأسية الطبيعية \( \mathrm{e}^x \) ثم نعمم إلى الدالة \( a^x \) حيث \( a>0 \) و \( a\neq 1 \)، مع دراسة الخصائص، المنحنى البياني، المشتقة، الحدود، والمعادلات والمتراجحات الأسية.

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

فهم تعريف الدالة الأسية الطبيعية \( \mathrm{e}^x \) وخصائصها الأساسية.
معرفة كيفية تعريف الدالة \( a^x \) باستخدام \( \mathrm{e}^x \) و \( \ln x \).
إتقان قواعد الحساب: \( a^{x+y} \)، \( a^{x-y} \)، \( (a^x)^n \)، إلخ.
تحليل المنحنى البياني للدالة الأسية: مجال التعريف، الرتابة، النهاية، المقاربات.
اشتقاق الدوال الأسية ومركبات من الشكل \( \mathrm{e}^{u(x)} \) و \( a^{u(x)} \).
حل معادلات ومتراجحات أسية بسيطة ومتوسطة الصعوبة.
ربط الدوال الأسية بنماذج النمو والتناقص في تطبيقات فيزيائية أو اقتصادية.

فكرة عامة

الدوال كثيرات الحدود تنمو ببطء مقارنة بالدوال الأسية عندما يكون المتغير كبيراً. هذا فرق جوهري في دراسة النهايات والسلوكات عند اللانهاية.

2) تعريف الدالة الأسية الطبيعية \( \mathrm{e}^x \)

الثابت \( \mathrm{e} \)

العدد \( \mathrm{e} \) عدد حقيقي موجب تقريباً يساوي \( 2.71828 \) وله خصائص مميزة في التحليل. في هذا الدرس نعتبره عدداً حقيقياً معروفاً، دون الدخول في طرق تعريفه المتقدمة.

تعريف الدالة \( \mathrm{e}^x \)

الدالة الأسية الطبيعية هي الدالة:

\[ x \longmapsto \mathrm{e}^x \]

معرفة على \( \mathbb{R} \) لكل عدد حقيقي \( x \). قيم هذه الدالة كلها موجبة.

خصائص أساسية للدالة \( \mathrm{e}^x \)

\( \mathrm{e}^0 = 1 \).
\( \mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \).
\( \mathrm{e}^{x+y} = \mathrm{e}^x \,\mathrm{e}^y \) لكل \( x,y \in \mathbb{R} \).
\( \mathrm{e}^{x-y} = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^y} \) لكل \( x,y \in \mathbb{R} \).
\( (\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx} \) لكل \( n \in \mathbb{Z} \).
\( \mathrm{e}^x > 0 \) لكل \( x \in \mathbb{R} \).

أمثلة عددية سريعة

\[ \mathrm{e}^{2+3} = \mathrm{e}^5 = \mathrm{e}^2 \mathrm{e}^3. \]
\[ \mathrm{e}^{4-1} = \frac{\mathrm{e}^4}{\mathrm{e}^1} = \mathrm{e}^3. \]
\[ (\mathrm{e}^x)^3 = \mathrm{e}^{3x}. \]

3) المنحنى البياني للدالة \( \mathrm{e}^x \)

خصائص بيانية

مجال تعريف الدالة \( \mathrm{e}^x \) هو \( \mathbb{R} \).
قيمها كلها موجبة، إذن المنحنى يقع فوق محور الفواصل دائماً.
تقاطع المنحنى مع محور التراتيب يكون في النقطة ذات الفاصلة صفر والترتيب واحد.

رتابة الدالة \( \mathrm{e}^x \)

الدالة \( \mathrm{e}^x \) تزايدية تماماً على \( \mathbb{R} \).

أي إذا كان \( x_1 < x_2 \) فإن:

\[ \mathrm{e}^{x_1} < \mathrm{e}^{x_2}. \]

حدود مهمة

\[ \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty. \]
\[ \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^x = 0. \]

خط التقارب الأفقي لمنحنى \( \mathrm{e}^x \) عند ناقص مالانهاية هو المستقيم الذي معادلته:

\[ y = 0. \]

4) مقارنات ونهايات أسية مهمة

مقارنة مع كثيرات الحدود

عند دراسة النهايات عندما يتجه \( x \) إلى \( +\infty \)، تنمو \( \mathrm{e}^x \) أسرع بكثير من أي كثير حدود من الدرجة \( n \).

مثلاً:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{\mathrm{e}^x} = 0 \] لكل \( n \in \mathbb{N} \).

مثال توضيحي

ندرس النهاية:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. \]

من النتائج المعروفة في الباك أن هذه النهاية تساوي الصفر، لأن الأسية تغلب كثير الحدود عند اللانهاية.

قاعدة جيدة: في مواجهة بين كثير حدود ودالة أسية عند \( +\infty \)، تفوز الأسية دائماً، وبالتالي تكون النسبة في الغالب متجهة نحو الصفر إذا كانت الأسية في المقام.

5) الدالة الأسية العامة \( a^x \) (حيث \( a>0 \) و \( a\neq 1 \))

تعريف \( a^x \) باستعمال \( \mathrm{e}^x \) و \( \ln x \)

نأخذ عدداً حقيقياً \( a>0 \) مع \( a\neq 1 \). نعرف الدالة الأسية ذات الأساس \( a \) على \( \mathbb{R} \) بالعلاقة:

\[ a^x = \mathrm{e}^{x \ln a} \] لكل \( x \in \mathbb{R} \).

خصائص أساسية لـ \( a^x \)

لأي \( x,y \in \mathbb{R} \) و\( n \in \mathbb{Z} \) نحصل على:

\[ a^{x+y} = a^x \, a^y. \]
\[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \quad \text{إذا كان} \ a^y \neq 0. \]
\[ (a^x)^n = a^{nx}. \]
\[ a^0 = 1. \]
إذا كان \( a>1 \)، فإن \( a^x \) تزايدية تماماً على \( \mathbb{R} \)، أما إذا كان \( 0<a<1 \) فإن \( a^x \) تناقصية تماماً على \( \mathbb{R} \).

أمثلة عددية

\[ 2^{x+3} = 2^3 \, 2^x = 8 \, 2^x. \]
\[ 5^{x-1} = \frac{5^x}{5}. \]
\[ (3^x)^2 = 3^{2x}. \]
\[ 4^{-x} = \frac{1}{4^x}. \]

6) مشتقات الدوال الأسية

مشتقة \( \mathrm{e}^x \)

الدالة \( \mathrm{e}^x \) قابلة للاشتقاق على \( \mathbb{R} \) ومشتقتها هي نفسها:

\[ (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x. \]

مشتقة تركيب من الشكل \( \mathrm{e}^{u(x)} \)

إذا كانت \( u \) دالة قابلة للاشتقاق على مجال ما، فإن الدالة:

\[ f(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \]

قابلة للاشتقاق ومشتقتها:

\[ f'(x) = u'(x) \,\mathrm{e}^{u(x)}. \]

مشتقة \( a^x \)

نستعمل التعريف:

\[ a^x = \mathrm{e}^{x \ln a}. \]

مشتقتها هي:

\[ (a^x)' = \ln a \, a^x. \]

أمثلة اشتقاق

\[ f(x) = \mathrm{e}^{3x} \] لدينا: \[ f'(x) = 3 \,\mathrm{e}^{3x}. \]
\[ g(x) = 2^x \] نستعمل الصيغة: \[ g'(x) = \ln 2 \, 2^x. \]
\[ h(x) = \mathrm{e}^{x^2} \] نعتبر \( u(x) = x^2 \)، وبالتالي: \[ h'(x) = 2x \,\mathrm{e}^{x^2}. \]
\[ k(x) = 5^{x^2} \] نكتب: \[ k(x) = \mathrm{e}^{x^2 \ln 5} \] فنحصل على: \[ k'(x) = 2x \ln 5 \, 5^{x^2}. \]

7) معادلات ومتراجحات أسية

مبدأ أساسي

بما أن الدوال الأسية \( \mathrm{e}^x \) و\( a^x \) (عندما \( a>1 \)) تزايدية تماماً، فإنها تحافظ على ترتيب الأعداد. هذا مفيد جداً في حل المعادلات والمتراجحات.

معادلات أسية بسيطة

حل المعادلة: \[ \mathrm{e}^x = 5. \] نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: \[ x = \ln 5. \]
حل المعادلة: \[ 2^x = 8. \] نلاحظ أن: \[ 8 = 2^3 \] إذن: \[ 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3. \]
حل المعادلة: \[ 3^{2x-1} = 9. \] نكتب: \[ 9 = 3^2 \] فنحصل على: \[ 3^{2x-1} = 3^2 \Rightarrow 2x-1 = 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}. \]

متراجحات أسية

حل المتراجحة: \[ \mathrm{e}^x \ge \mathrm{e}^2. \] بما أن \( \mathrm{e}^x \) تزايدية: \[ \mathrm{e}^x \ge \mathrm{e}^2 \Rightarrow x \ge 2. \]
حل المتراجحة: \[ 2^x < 2^3. \] بما أن \( 2^x \) تزايدية: \[ x < 3. \]
حل المتراجحة: \[ 3^{2x-1} \le 3^4. \] نحصل على: \[ 2x-1 \le 4 \Rightarrow 2x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{2}. \]

في المعادلات والمتراجحات من الشكل \( a^{u(x)} = a^{v(x)} \) أو \( a^{u(x)} \le a^{v(x)} \) مع \( a>1 \)، يمكن إسقاط الأساس مباشرة ومقارنة الأسس.

8) تطبيقات: نماذج النمو والتناقص الأسّي

نمو أسّي

في كثير من النماذج، يمكن تقريب كمية ما \( N(t) \) بدالة من الشكل:

\[ N(t) = N_0 \,\mathrm{e}^{kt} \]

حيث \( N_0 \) القيمة الابتدائية و\( k \) ثابت حقيقي. إذا كان \( k>0 \) نحصل على نمو أسّي، وإذا كان \( k<0 \) نحصل على تناقص أسّي.

مثال نمو أسّي

إذا كان عدد البكتيريا في تجربة معينة يساوي:

\[ N(t) = 100 \,\mathrm{e}^{0.3t} \]

فإن \( N_0 = 100 \) و\( k = 0.3 \) موجب، إذن النمو أسّي.

بعد مدة \( t=5 \) مثلاً:

\[ N(5) = 100 \,\mathrm{e}^{0.3 \times 5} = 100 \,\mathrm{e}^{1.5}. \]

مثال تناقص أسّي

نموذج النشاط الإشعاعي يمكن أن يكتب على شكل:

\[ A(t) = A_0 \,\mathrm{e}^{-kt} \]

حيث \( k>0 \). التناقص هنا أسّي، لأن الأس أكبر من الصفر في البداية ثم ينخفض مع الزمن بسبب الإشارة السالبة.

في الباك، لا يُطلب عادةً برهنة هذه النماذج بالتفصيل، بل استعمالها في حسابات مباشرة أو في تفسير أعمدة المعطيات في التمارين.

9) منهجية عامة لحل تمارين الدوال الأسية

خطة منظمة

قراءة نص التمرين وتحديد ما إذا كان المطلوب يتعلّق بالخصائص، الاشتقاق، النهايات، المعادلات، أو المتراجحات.
استعمال خصائص الأسس لتبسيط العبارات قبل أي اشتقاق أو حل (مثل جمع أو طرح الأسس).
في دراسة الرتابة، نحسب المشتقة \( f'(x) \) ونستخرج عامل مشترك أسّي إن وجد لتحليل الإشارة بسهولة.
في المعادلات، نحاول كتابة الطرفين بنفس الأساس إذا أمكن (خاصة عندما يكون الأساس عدداً بسيطاً مثل 2 أو 3 أو 5).
إذا كان الحل يتضمن اللوغاريتم، لا ننسى أن اللوغاريتم الطبيعي يُستخدم لنقل الأسس إلى معاملات.
في المتراجحات، نتذكر رتابة \( a^x \) (تزايدية إذا كان \( a>1 \) وتناقصية إذا كان \( 0<a<1 \)).
في النهايات، نقارن بين الأسية وكثيرات الحدود أو الدوال اللوغاريتمية حسب الحالة.

أخطاء شائعة: نسيان أن \( a^x>0 \) دائماً، الخلط بين حالات \( a>1 \) و\( 0<a<1 \)، وعدم تبسيط العبارات قبل الاشتقاق أو الحل.

10) تمارين باك (10 تمارين) — مع حلول مفصلة

تمرين 1 — خصائص أسية بسيطة

بسّط العبارات التالية بدون استعمال الآلة الحاسبة:

\[ A = \mathrm{e}^{3} \,\mathrm{e}^{-5}. \]
\[ B = 2^{x+1} \, 2^{2-x}. \]

بالنسبة إلى \( A \):

\[ A = \mathrm{e}^{3} \,\mathrm{e}^{-5} = \mathrm{e}^{3-5} = \mathrm{e}^{-2} = \frac{1}{\mathrm{e}^2}. \]

بالنسبة إلى \( B \):

نستعمل خاصية جمع الأسس: \[ B = 2^{x+1} \, 2^{2-x} = 2^{(x+1)+(2-x)} = 2^{3} = 8. \]

تمرين 2 — مشتقة \( \mathrm{e}^{u(x)} \)

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \mathrm{e}^{2x-1}. \]

حدد مجال تعريف \( f \).
احسب \( f'(x) \).

الدالة الأسية معرفة لكل عدد حقيقي، إذن: \[ D_f = \mathbb{R}. \]

نعتبر \( u(x) = 2x-1 \). مشتقتها: \[ u'(x) = 2. \]

باستعمال قاعدة التركيب: \[ f'(x) = u'(x) \,\mathrm{e}^{u(x)} = 2 \,\mathrm{e}^{2x-1}. \]

تمرين 3 — مشتقة \( a^x \)

نعتبر الدالة: \[ g(x) = 3^x. \]

اكتب \( g(x) \) باستعمال \( \mathrm{e}^x \) و \( \ln 3 \).
استنتج \( g'(x) \).

من تعريف الأسية العامة: \[ 3^x = \mathrm{e}^{x \ln 3}. \]

إذن: \[ g(x) = \mathrm{e}^{x \ln 3}. \]

مشتقة \( g \) هي: \[ g'(x) = \ln 3 \,\mathrm{e}^{x \ln 3} = \ln 3 \, 3^x. \]

تمرين 4 — معادلات أسية

حل في \( \mathbb{R} \) المعادلات التالية:

\[ \mathrm{e}^x = 7. \]
\[ 4^{2x+1} = 4^3. \]

المعادلة الأولى:

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي: \[ \mathrm{e}^x = 7 \Rightarrow x = \ln 7. \]

المعادلة الثانية:

بما أن الأساس نفسه وموجب ومختلف عن 1، نقارن الأسس: \[ 4^{2x+1} = 4^3 \Rightarrow 2x+1 = 3. \]

نحصل على: \[ 2x = 2 \Rightarrow x = 1. \]

تمرين 5 — متراجحة أسية

حل في \( \mathbb{R} \) المتراجحة: \[ 2^{x+1} \le 2^{3-x}. \]

الدالة \( 2^x \) تزايدية لأن \( 2>1 \). إذن: \[ 2^{x+1} \le 2^{3-x} \] يكافئ: \[ x+1 \le 3-x. \]

نحصل على: \[ x+1 \le 3-x \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1. \]

تمرين 6 — دراسة رتابة دالة أسية مركبة

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \mathrm{e}^{-x}. \]

احسب \( f'(x) \).
حدد رتابة \( f \) على \( \mathbb{R} \).

نعتبر \( u(x) = -x \). مشتقتها: \[ u'(x) = -1. \]

إذن: \[ f'(x) = u'(x) \,\mathrm{e}^{u(x)} = -\mathrm{e}^{-x}. \]

بما أن \( \mathrm{e}^{-x} > 0 \) لكل \( x \)، فإن: \[ f'(x) < 0 \] لكل \( x \in \mathbb{R} \).

إذن \( f \) تناقصية تماماً على \( \mathbb{R} \).

تمرين 7 — نهاية تتضمن \( \mathrm{e}^x \)

احسب النهاية: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x}. \]

من النتائج المعروفة في الباك: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 0. \]

لأن \( \mathrm{e}^x \) تنمو أسرع بكثير من \( x \) عند \( +\infty \)، فيصبح المقام كبيراً جداً مقارنة بالبسط، فتقترب النسبة من الصفر.

تمرين 8 — نموذج نمو أسّي

كمية من مادة كيميائية تتطور حسب القانون: \[ N(t) = 50 \,\mathrm{e}^{0.2t} \] حيث \( t \) بالساعة و\( N(t) \) بالجرام.

احسب \( N(0) \) وفسّر النتيجة.
احسب \( N(5) \) على شكل مبسط قدر الإمكان.

عند \( t = 0 \): \[ N(0) = 50 \,\mathrm{e}^{0.2 \times 0} = 50 \,\mathrm{e}^{0} = 50. \]

هذا يعني أن الكمية الابتدائية للمادة هي 50 جراماً.

عند \( t = 5 \): \[ N(5) = 50 \,\mathrm{e}^{0.2 \times 5} = 50 \,\mathrm{e}^{1} = 50 \,\mathrm{e}. \]

يمكن تقريب القيمة عددياً عند الحاجة، لكن الشكل \( 50 \,\mathrm{e} \) كافٍ في أغلب أسئلة الباك.

تمرين 9 — نموذج تناقص أسّي

نشاط إشعاعي لمادة يعطى بالعلاقة: \[ A(t) = A_0 \,\mathrm{e}^{-kt} \] حيث \( A_0 > 0 \) و \( k > 0 \).

فسّر إشارة العدد \( -k \) في الأس.
بيّن أن \( A(t) \) تناقصية على \( [0,+\infty[ \).

العدد \( -k \) سالب لأن \( k>0 \). هذا يعني أن الأس يقل مع الزمن، فينتج تناقص في قيمة \( A(t) \)، أي أن النشاط الإشعاعي يتناقص مع الزمن.

لحساب المشتقة نعتبر: \[ A(t) = A_0 \,\mathrm{e}^{-kt}. \]

نعتبر \( u(t) = -kt \). مشتقته: \[ u'(t) = -k. \]

إذن: \[ A'(t) = A_0 u'(t) \,\mathrm{e}^{u(t)} = -k A_0 \,\mathrm{e}^{-kt}. \]

بما أن \( A_0>0 \) و\( \mathrm{e}^{-kt}>0 \) لكل \( t \ge 0 \)، فإن إشارة \( A'(t) \) هي نفس إشارة \( -k \) أي سالبة. وبالتالي \( A(t) \) تناقصية على \( [0,+\infty[ \).

تمرين 10 — دالة تجمع أسية وكثيرة حدود

نعتبر الدالة: \[ f(x) = x \,\mathrm{e}^x. \]

احسب \( f'(x) \).
اكتب إشارة \( f'(x) \) اعتماداً على إشارة \( x+1 \).

نطبق قاعدة جداء دالتين: \[ f(x) = x \,\mathrm{e}^x. \]

مشتقة الجداء: \[ f'(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^x + x \cdot \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x (1 + x). \]

لأن \( \mathrm{e}^x > 0 \) لكل \( x \)، فإن إشارة \( f'(x) \) هي نفسها إشارة \( x+1 \).

بالتالي:

إذا كان \( x>-1 \) فإن \( f'(x)>0 \) والدالة تزايدية.
إذا كان \( x<-1 \) فإن \( f'(x)<0 \) والدالة تناقصية.

11) خلاصة مركزة لدرس الدوال الأسية

الدالة \( \mathrm{e}^x \) معرفة على \( \mathbb{R} \)، قيمها موجبة وتزايدية تماماً.
مجال تعريف \( a^x \) لكل \( a>0 \) و\( a\neq 1 \) هو \( \mathbb{R} \)، والدالة تزايدية إذا كان \( a>1 \) وتناقصية إذا كان \( 0<a<1 \).
قواعد الحساب: \[ a^{x+y} = a^x a^y,\quad a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y},\quad (a^x)^n = a^{nx}. \]
مشتقة \( \mathrm{e}^x \) هي نفسها: \[ (\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x. \]
مشتقة \( a^x \) هي: \[ (a^x)' = \ln a \, a^x. \]
في المعادلات والمتراجحات الأسية ذات نفس الأساس، يمكن مقارنة الأسس مباشرة إذا كان الأساس أكبر من 1.
في النهايات عند \( +\infty \)، الأسية تغلب كثيرات الحدود غالباً، مما يعطي نهايات من النوع صفر عندما تكون الأسية في المقام.
النماذج الأسية \( N(t) = N_0 \,\mathrm{e}^{kt} \) تستعمل لوصف الظواهر ذات النمو أو التناقص السريع.