الأعداد العقدية

1) تمهيد وأهداف درس الأعداد العقدية

في مجموعة الأعداد الحقيقية لا يمكن حل بعض المعادلات مثل:

\[ x^2 + 1 = 0 \]

لأن مربع أي عدد حقيقي غير سالب. لحل هذا النوع من المعادلات تم توسيع مجموعة الأعداد إلى مجموعة جديدة تسمى مجموعة الأعداد العقدية، نرمز لها بـ \( \mathbb{C} \).

أهداف التلميذ في هذا الدرس

  • فهم تعريف العدد العقدي والشكل الجبري \( a + b\mathrm{i} \).
  • تمييز الجزء الحقيقي والجزء التخيلي وعدد عقدي خالص.
  • إتقان جمع وطرح وجداء وقسمة الأعداد العقدية.
  • معرفة المرافق، المعيار، والتمثيل في المستوي العقدي.
  • فهم العلاقة بين الأعداد العقدية والتحويلات الهندسية (الانتقال، الدوران، التشابه).
  • التعامل مع الشكل المثلثي (القطبي) والربط بين المعيار والزاوية.
  • استعمال الأعداد العقدية في حل بعض المعادلات من الدرجة الثانية وتفسيرها هندسياً.

فكرة عامة

يمكن النظر إلى العدد العقدي كمتجه في مستوٍ، أو كنقطة ذات إحداثيين، أو ككتابة من الشكل \( a + b\mathrm{i} \). هذه التمثيلات الثلاثة مكافئة ومفيدة في حل التمارين.

2) تعريف الأعداد العقدية والشكل الجبري

الوحدة التخيلية

نعرّف العدد:

\[ \mathrm{i}^2 = -1. \]

العدد \( \mathrm{i} \) يسمى وحدة تخيلية. انطلاقاً من هذا التعريف نبني مجموعة الأعداد العقدية.

العدد العقدي والشكل الجبري

كل عدد عقدي يكتب بشكل فريد على الصورة:

\[ z = a + b\mathrm{i} \]

حيث \( a \) و \( b \) عددان حقيقيان. نسمي:

  • \( a = \mathrm{Re}(z) \): الجزء الحقيقي للعدد \( z \).
  • \( b = \mathrm{Im}(z) \): الجزء التخيلي للعدد \( z \).

أنواع خاصة من الأعداد العقدية

  • إذا كان \( b = 0 \)، فإن \( z = a \) عدد حقيقي (فرعي من العقدي).
  • إذا كان \( a = 0 \) و\( b \neq 0 \) فإن: \[ z = b\mathrm{i} \] يسمى عدداً عقدياً خالصاً.
  • العدد \( 0 \) يتطابق مع \( 0 + 0\mathrm{i} \).

أمثلة

  • \[ z_1 = 3 - 2\mathrm{i} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}(z_1) = 3,\ \mathrm{Im}(z_1) = -2. \]
  • \[ z_2 = 5 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}(z_2) = 5,\ \mathrm{Im}(z_2) = 0. \]
  • \[ z_3 = -4\mathrm{i} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}(z_3) = 0,\ \mathrm{Im}(z_3) = -4. \]

3) تساوي عددين عقديين

شرط التساوي

لتكن:

\[ z_1 = a + b\mathrm{i},\quad z_2 = c + d\mathrm{i}. \]

يكون:

\[ z_1 = z_2 \]

إذا وفقط إذا:

\[ a = c \quad\text{و}\quad b = d. \]

مثال تطبيقي

إذا كان:

\[ (2x - 1) + (3 - y)\mathrm{i} = 5 + 2\mathrm{i}, \]

فنستنتج:

\[ 2x - 1 = 5 \quad\text{و}\quad 3 - y = 2. \]

إذن: \[ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \] و \[ 3 - y = 2 \Rightarrow y = 1. \]

هذه الخاصية تستعمل بكثرة لحل معادلات يكون فيها عددان عقديان متساويين: نقارن الجزء الحقيقي مع الحقيقي، والتخيلي مع التخيلي.

4) جمع وطرح الأعداد العقدية (تفسير جبري وهندسي)

قواعد الجمع والطرح

لتكن:

\[ z_1 = a + b\mathrm{i},\quad z_2 = c + d\mathrm{i}. \]

  • الجمع: \[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\mathrm{i}. \]
  • الطرح: \[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\mathrm{i}. \]

أمثلة عددية

  • \[ (3 + 2\mathrm{i}) + (1 - 5\mathrm{i}) = 4 - 3\mathrm{i}. \]
  • \[ (4 - \mathrm{i}) - (2 + 3\mathrm{i}) = 2 - 4\mathrm{i}. \]

تفسير هندسي

إذا اعتبرنا العدد العقدي \( z = a + b\mathrm{i} \) ممثلاً بالنقطة ذات الإحداثيين \( (a,b) \) في المستوي، فإن جمع عددين عقديين يوافق جمع متجهين. أي أن:

\[ z_1 + z_2 \]

يمثل المتجه الناتج عن جمع المتجهين الموافقين لعددين عقديين.

5) جداء الأعداد العقدية ومرافق عدد عقدي

جداء عددين عقديين

إذا كان:

\[ z_1 = a + b\mathrm{i},\quad z_2 = c + d\mathrm{i}, \]

فإن:

\[ z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)\mathrm{i}. \]

مرافق عدد عقدي

لتكن:

\[ z = a + b\mathrm{i}. \]

يسمى العدد:

\[ \overline{z} = a - b\mathrm{i} \]

مرافق العدد \( z \).

خصائص المرافق

  • \[ z \overline{z} = a^2 + b^2. \]
  • \[ \overline{\overline{z}} = z. \]
  • \[ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}. \]
  • \[ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\ \overline{z_2}. \]

مثال

إذا كان:

\[ z = 2 - 3\mathrm{i} \]

فمرافقه:

\[ \overline{z} = 2 + 3\mathrm{i} \]

ونحسب:

\[ z\overline{z} = (2 - 3\mathrm{i})(2 + 3\mathrm{i}) = 4 + 6\mathrm{i} - 6\mathrm{i} - 9\mathrm{i}^2 = 4 + 9 = 13. \]

6) المعيار، المعكوس والقسمة في \( \mathbb{C} \)

معيار عدد عقدي

لتكن:

\[ z = a + b\mathrm{i}. \]

معيار \( z \) هو العدد الحقيقي غير السالب:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. \]

خصائص المعيار

  • \[ |z| \ge 0 \] و \[ |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0. \]
  • \[ |z|^2 = z\overline{z}. \]
  • \[ |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|. \]
  • \[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \] إذا كان \( z_2 \neq 0 \).

المعكوس والقسمة

إذا كان \( z \neq 0 \)، فإن معكوسه الضربي هو العدد:

\[ \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}. \]

وبشكل عام:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} \]

لكل \( z_2 \neq 0 \).

مثال قسمة

احسب:

\[ \frac{1 + 2\mathrm{i}}{3 - \mathrm{i}}. \]

نضرب البسط والمقام في المرافق:

\[ \frac{1 + 2\mathrm{i}}{3 - \mathrm{i}} = \frac{(1 + 2\mathrm{i})(3 + \mathrm{i})}{(3 - \mathrm{i})(3 + \mathrm{i})}. \]

في البسط: \[ (1 + 2\mathrm{i})(3 + \mathrm{i}) = 3 + \mathrm{i} + 6\mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2 = 3 + 7\mathrm{i} - 2 = 1 + 7\mathrm{i}. \]

في المقام: \[ (3 - \mathrm{i})(3 + \mathrm{i}) = 9 + 3\mathrm{i} - 3\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 10. \]

إذن: \[ \frac{1 + 2\mathrm{i}}{3 - \mathrm{i}} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}\mathrm{i}. \]

7) التمثيل الهندسي في المستوي العقدي والمسافة

المستوي العقدي والتمفصل مع الهندسة

نربط بكل عدد عقدي:

\[ z = a + b\mathrm{i} \]

النقطة ذات الإحداثيين \( (a,b) \) في مستوٍ متعامد منسوب إلى معلم متعامد ممنظم. هذه النقطة تسمى الصورة الهندسية للعدد العقدي \( z \).

المسافة بين نقطتين

لتكن:

\[ z_1 = x_1 + y_1\mathrm{i},\quad z_2 = x_2 + y_2\mathrm{i}. \]

إذا كانت \( A(x_1,y_1) \) و\( B(x_2,y_2) \) الصورتين الهندسيتين لـ \( z_1 \) و\( z_2 \)، فإن:

\[ AB = |z_2 - z_1|. \]

هذه العلاقة تربط الحساب العقدي بالهندسة: حساب مسافة بين نقطتين في المستوي يمكن ترجمته إلى معيار فرق عددين عقديين.

مثال

إذا كان:

\[ z_1 = 1 + 2\mathrm{i},\quad z_2 = 4 - \mathrm{i}, \]

فإن:

\[ z_2 - z_1 = (4 - \mathrm{i}) - (1 + 2\mathrm{i}) = 3 - 3\mathrm{i}. \]

المعيار:

\[ |z_2 - z_1| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. \]

إذن المسافة بين الصورتين الهندسيتين هي \( 3\sqrt{2} \).

8) الشكل المثلثي (القطبي)، المعيار والزاوية

تمثيل عدد عقدي غير منعدم بالشكل المثلثي

إذا كان \( z \neq 0 \)، يمكن كتابته على الشكل:

\[ z = |z|\left(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\right) \]

حيث \( |z| \) معيار \( z \)، و\( \theta \) زاوية حقيقية تسمى جداء أو ما يقابل الزاوية الموجهة للمتجه من مبدأ المعلم إلى صورة العدد.

جداء وقسمة باستعمال الشكل المثلثي

إذا كان:

\[ z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\sin\theta_1),\quad z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i}\sin\theta_2), \]

فإن:

  • \[ z_1 z_2 = r_1 r_2\left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 + \theta_2)\right). \]
  • إذا كان \( z_2 \neq 0 \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 - \theta_2)\right). \]

هذه القواعد تبسط كثيراً حساب جداء وقسمة الأعداد العقدية في بعض التمارين، خاصة عندما تكون الزوايا معروفة (مثل \( 0 \)، \( \frac{\pi}{2} \)، \( \pi \)، \( \frac{\pi}{3} \)، \( \frac{\pi}{4} \)، \( \frac{\pi}{6} \)).

9) تمارين باك — الأعداد العقدية (10 تمارين مع حلول مفصلة)

تمرين 1 — الجزء الحقيقي والجزء التخيلي

لتكن: \[ z = (2x - 1) + (3 - 4x)\mathrm{i}. \]

أوجد القيمتين الحقيقيتين \( x \) التي تجعل:

  1. \( \mathrm{Re}(z) = 3. \)
  2. \( \mathrm{Im}(z) = -1. \)

لدينا: \[ \mathrm{Re}(z) = 2x - 1,\quad \mathrm{Im}(z) = 3 - 4x. \]

1) شرط \( \mathrm{Re}(z) = 3 \):

\[ 2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2. \]

2) شرط \( \mathrm{Im}(z) = -1 \):

\[ 3 - 4x = -1 \Rightarrow -4x = -4 \Rightarrow x = 1. \]

تمرين 2 — تساوي عددين عقديين

أوجد العددين الحقيقيين \( x \) و\( y \) بحيث: \[ (x + 2)\mathrm{i} + 3 = (1 - y)\mathrm{i} + (2x - 1). \]

نكتب العددين في الشكل الجبري:

الطرف الأيسر: \[ 3 + (x + 2)\mathrm{i}. \]

الطرف الأيمن: \[ (2x - 1) + (1 - y)\mathrm{i}. \]

بالتساوي بين الحقيقي والتخيلي:

\[ 3 = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2. \]

\[ x + 2 = 1 - y. \]

نعوض \( x = 2 \): \[ 2 + 2 = 1 - y \Rightarrow 4 = 1 - y \Rightarrow y = -3. \]

تمرين 3 — جمع وجدآء عددين عقديين

لتكن: \[ z_1 = 2 - 3\mathrm{i},\quad z_2 = -1 + \mathrm{i}. \]

  1. اكتب \( z_1 + z_2 \) في الشكل الجبري.
  2. اكتب \( z_1 z_2 \) في الشكل الجبري.

1) الجمع:

\[ z_1 + z_2 = (2 - 3\mathrm{i}) + (-1 + \mathrm{i}) = (2 - 1) + (-3 + 1)\mathrm{i} = 1 - 2\mathrm{i}. \]

2) الجداء:

\[ z_1 z_2 = (2 - 3\mathrm{i})(-1 + \mathrm{i}). \]

نحسب: \[ 2(-1) + 2\mathrm{i} + 3\mathrm{i} - 3\mathrm{i}^2 = -2 + 5\mathrm{i} + 3 = 1 + 5\mathrm{i}. \]

تمرين 4 — المعيار والمرافق

لتكن: \[ z = -3 + 4\mathrm{i}. \]

  1. أوجد المرافق \( \overline{z} \).
  2. أوجد المعيار \( |z| \).
  3. تحقق أن: \[ z\overline{z} = |z|^2. \]

\[ \overline{z} = -3 - 4\mathrm{i}. \]

\[ |z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. \]

\[ z\overline{z} = (-3 + 4\mathrm{i})(-3 - 4\mathrm{i}) = 9 + 12\mathrm{i} - 12\mathrm{i} - 16\mathrm{i}^2 = 9 + 16 = 25. \]

\[ |z|^2 = 5^2 = 25. \]

إذن \( z\overline{z} = |z|^2 \).

تمرين 5 — قسمة عددين عقديين

احسب في الشكل الجبري: \[ \frac{4 + \mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}}. \]

نضرب في المرافق: \[ \frac{4 + \mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}} = \frac{(4 + \mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i})}{(1 - 2\mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i})}. \]

البسط: \[ (4 + \mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i}) = 4 + 8\mathrm{i} + \mathrm{i} + 2\mathrm{i}^2 = 4 + 9\mathrm{i} - 2 = 2 + 9\mathrm{i}. \]

المقام: \[ (1 - 2\mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i}) = 1 + 2\mathrm{i} - 2\mathrm{i} - 4\mathrm{i}^2 = 1 + 4 = 5. \]

إذن: \[ \frac{4 + \mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}} = \frac{2}{5} + \frac{9}{5}\mathrm{i}. \]

تمرين 6 — مسافة بين نقطتين في المستوي العقدي

لتكن: \[ z_A = 1 + 2\mathrm{i},\quad z_B = -2 + 6\mathrm{i}. \]

احسب المسافة بين الصورتين الهندسيتين لـ \( z_A \) و\( z_B \).

لدينا: \[ z_B - z_A = (-2 + 6\mathrm{i}) - (1 + 2\mathrm{i}) = -3 + 4\mathrm{i}. \]

المعيار: \[ |z_B - z_A| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5. \]

إذن المسافة بين النقطتين هي \( 5 \).

تمرين 7 — تمثيل عدد عقدي بالمستوي

لتكن: \[ z = -1 + \sqrt{3}\,\mathrm{i}. \]

  1. أوجد المعيار \( |z| \).
  2. بيّن أن زاوية \( \theta \) تحقق: \[ \cos\theta = -\frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
  3. اكتب \( z \) في الشكل المثلثي.

\[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2. \]

يمكن كتابة: \[ \frac{z}{|z|} = \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}. \]

نلاحظ أن: \[ \cos\theta = -\frac{1}{2},\quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \] توافق زاوية من النوع \( \frac{2\pi}{3} \) مثلاً.

إذن: \[ z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}\right). \]

تمرين 8 — جداء في الشكل المثلثي

لتكن: \[ z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right),\quad z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

اكتب \( z_1 z_2 \) في الشكل المثلثي ثم في الشكل الجبري.

باستعمال قاعدة الجداء: \[ z_1 z_2 = 6\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + \mathrm{i}\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)\right). \]

\[ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}. \]

إذن: \[ z_1 z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6(0 + \mathrm{i}\cdot 1) = 6\mathrm{i}. \]

تمرين 9 — حل معادلة من الدرجة الثانية باستعمال الأعداد العقدية

حل في \( \mathbb{C} \) المعادلة: \[ z^2 + 4z + 5 = 0. \]

نعتبرها معادلة من الدرجة الثانية في \( z \) بمعاملات حقيقية: \[ a = 1,\ b = 4,\ c = 5. \]

المميز: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4. \]

الجذر التربيعي لـ \( \Delta \) في \( \mathbb{C} \) هو: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2\mathrm{i}. \]

الحلول: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm 2\mathrm{i}}{2} = -2 \pm \mathrm{i}. \]

تمرين 10 — علاقة هندسية باستخدام الأعداد العقدية

لتكن \( A,B,C \) ثلاث نقاط من المستوي العقدي ذات الصور: \[ z_A = 0,\quad z_B = 2,\quad z_C = 1 + \mathrm{i}. \]

  1. أحسب \( |z_B - z_A| \) و\( |z_C - z_A| \).
  2. أحسب \( |z_C - z_B| \).
  3. استنتج الطبيعة الهندسية للمثلث \( ABC \).

\[ z_B - z_A = 2 - 0 = 2 \Rightarrow |z_B - z_A| = 2. \]

\[ z_C - z_A = 1 + \mathrm{i} \Rightarrow |z_C - z_A| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. \]

\[ z_C - z_B = (1 + \mathrm{i}) - 2 = -1 + \mathrm{i}. \]

\[ |z_C - z_B| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}. \]

إذن: \[ AB = 2,\quad AC = \sqrt{2},\quad BC = \sqrt{2}. \]

بما أن: \[ AC = BC \] فإن المثلث \( ABC \) متساوي الساقين في \( C \). ويمكن أيضاً استعمال جداء قياسي للتحقق من وجود زاوية قائمة إذا طُلب ذلك.

10) خلاصة مركزة لدرس الأعداد العقدية

  • مجموعة الأعداد العقدية \( \mathbb{C} \) تحتوي مجموعة الأعداد الحقيقية كجزء منها.
  • كل عدد عقدي يكتب بشكل فريد: \[ z = a + b\mathrm{i} \] حيث \( a,b \in \mathbb{R} \).
  • \[ \mathrm{Re}(z) = a,\quad \mathrm{Im}(z) = b. \]
  • الجمع والطرح يتم بتجميع الأجزاء الحقيقية معاً والتخيلية معاً.
  • الجداء يَستعمل العلاقة \( \mathrm{i}^2 = -1 \)، والمرافق: \[ \overline{z} = a - b\mathrm{i} \] يُستعمل في حساب المعيار والقسمة.
  • المعيار: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad |z|^2 = z\overline{z}. \]
  • في المستوي العقدي، العدد \( z \) يمثَّل بالنقطة \( (a,b) \)، والمسافة بين صورتين: \[ AB = |z_B - z_A|. \]
  • للعدد غير المنعدم يمكن استعمال الشكل المثلثي: \[ z = |z|(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) \] مع قواعد مريحة للجداء والقسمة.
  • الأعداد العقدية تسمح بحل معادلات لا حلول حقيقية لها، مثل بعض المعادلات من الدرجة الثانية ذات مميز سالب.

درس «الأعداد العقدية» — 2ᵉ باك علوم رياضية — © neobac.ma