الفضاءات المتجهية الحقيقية

1) عناصر \( \mathbb{R}^2 \) هي أزواج مرتبة من أعداد حقيقية. الجمع: \[ (x,y)+(x',y') = (x+x',y+y') \] والضرب العددي: \[ \lambda(x,y) = (\lambda x,\lambda y). \]

نجِد أن:

• الجمع داخلي وتبادلي وتجميعي (لأن هذه الخواص صحيحة على الأعداد الحقيقية مكوِّن بمكوِّن).
• المتجه \( (0,0) \) عنصر محايد للجمع.
• لكل \( (x,y) \) يوجد مقابل \( (-x,-y) \).
• الضرب العددي داخلي، ويوزع على الجمع في \( \mathbb{R}^2 \) وعلى الجمع في \( \mathbb{R} \)، ويحقق: \[ 1(x,y) = (x,y). \]

إذن تتحقق أكسيومات الفضاء المتجهي، وبالتالي \( \mathbb{R}^2 \) فضاء متجهي حقيقي.

2) نفس البرهان ينطبق على \( \mathbb{R}^3 \) مع المتجهات \( (x,y,z) \)، فيكون \( \mathbb{R}^3 \) أيضاً فضاء متجهي حقيقي.

1) أمثلة حدوديات: \[ P(X) = 2X^2 - 3X + 1,\quad Q(X) = -X^2 + 4. \]

2) مجموع حدوديتين من درجة أصغر أو تساوي \( 2 \) هو حدّية من نفس النوع، وضرب حدّية بعدد حقيقي يعطي حدّية من نفس النوع، كما أن جميع خواص الجمع والضرب في \( \mathbb{R} \) تنتقل للحدوديات مكوّن بمكوّن. إذن \( \mathcal{P}_2 \) فضاء متجهي حقيقي.

3) كل حدّية في \( \mathcal{P}_2 \) يمكن كتابتها بشكل: \[ a + bX + cX^2. \] إذن مجموعة الحدوديات: \[ 1,\ X,\ X^2 \] تولّد \( \mathcal{P}_2 \) وهي مستقلة خطياً، فتشكّل أساساً. بالتالي: \[ \dim(\mathcal{P}_2) = 3. \]

1) المتجه \( (0,0,0) \) ينتمي إلى \( F \) لأن: \[ 0 + 2\cdot 0 - 3\cdot 0 = 0. \] إذن \( F \) غير خال.

2) لنأخذ متجهين \( u = (x_1,y_1,z_1) \) و\( v = (x_2,y_2,z_2) \) من \( F \)، أي:

\[ x_1 + 2y_1 - 3z_1 = 0,\quad x_2 + 2y_2 - 3z_2 = 0. \]

نجمع المتجهين: \[ u+v = (x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2). \]

نحسب: \[ (x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - 3(z_1+z_2) = (x_1 + 2y_1 - 3z_1) + (x_2 + 2y_2 - 3z_2) = 0. \]

إذن \( u+v \) ينتمي إلى \( F \)، فـ \( F \) مغلق بالنسبة للجمع.

ثم نأخذ \( \lambda \) عدداً حقيقياً و\( u = (x_1,y_1,z_1) \) من \( F \). المتجه: \[ \lambda u = (\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1). \]

نحسب: \[ \lambda x_1 + 2\lambda y_1 - 3\lambda z_1 = \lambda (x_1 + 2y_1 - 3z_1) = \lambda \cdot 0 = 0. \]

إذن \( \lambda u \) ينتمي إلى \( F \)، فـ \( F \) مغلق بالنسبة لضرب عدد حقيقي. وبحسب المعيار السابق، \( F \) فضاء متجهي جزئي من \( \mathbb{R}^3 \).

1) نحسب: \[ u_1 + u_2 = (1,0,1) + (0,1,1) = (1,1,2). \] وهذا يساوي \( u_3 \)، إذن: \[ u_3 = u_1 + u_2. \]

2) بما أن \( u_3 \) توليفة خطية غير تافهة لـ \( u_1 \) و\( u_2 \)، فإن: \[ u_3 - u_1 - u_2 = 0 \] مع معاملات غير منعدمة، وبالتالي المتجهات الثلاثة مرتبطة خطياً.

1) نلاحظ أن: \[ v = (4,2) = 2(2,1) = 2u. \]

2) لدينا العلاقة: \[ v - 2u = 0 \] بمعاملات غير منعدمة، إذن المتجهان مرتبطان خطياً.

1) نفترض: \[ \lambda e_1 + \mu e_2 = 0. \] أي: \[ \lambda(1,0) + \mu(1,1) = (\lambda+\mu,\mu) = (0,0). \] يعطي النظام: \[ \lambda + \mu = 0,\ \mu = 0. \] إذن \( \mu = 0 \) و\( \lambda = 0 \). التوليفة الوحيدة التي تعطي الصفر هي التافهة، إذن المتجهان مستقلان خطياً.

2) نريد حل: \[ (x,y) = \lambda e_1 + \mu e_2 = (\lambda+\mu,\mu). \] فيعطي النظام: \[ \lambda+\mu = x,\ \mu = y. \] إذن: \[ \mu = y,\ \lambda = x-y. \] لكل \( (x,y) \) يمكن إيجاد \( \lambda,\mu \) مناسبين، إذن \( e_1,e_2 \) يولّدان \( \mathbb{R}^2 \).

3) بما أن المتجهين مستقلان خطياً ويولّدان الفضاء، فـ \( \{e_1,e_2\} \) أساس لـ \( \mathbb{R}^2 \).

1) نفس الطريقة كما في تمرين 3: نجِد أن \( F \) غير خال ومغلق بالنسبة للجمع وضرب عدد حقيقي، فيكون فضاء متجهي جزئي.

2) نتحقق: \[ 1 - 0 + (-1) = 0,\quad 0 - 1 + (-1) = -2 \neq 0. \]

هنا نلاحظ أن المتجه \( u_2 = (0,1,-1) \) لا يحقق المعادلة كما كتبنا، فنعدّل اختيارنا لنضمن الانتماء لـ \( F \). نأخذ مثلاً: \[ u_1 = (1,0,-1),\ u_2 = (0,1,1). \] نتحقق: \[ 1 - 0 + (-1) = 0,\quad 0 - 1 + 1 = 0. \] إذن المتجهان من \( F \).

3) لكل \( (x,y,z) \) من \( F \) لدينا: \[ x - y + z = 0 \Rightarrow x = y - z. \] إذن: \[ (x,y,z) = (y-z,y,z) = y(1,1,0) + z(-1,0,1). \]

يمكن اختيار: \[ v_1 = (1,1,0),\ v_2 = (-1,0,1) \] كأساس. من العلاقة الأخيرة: كل متجه من \( F \) يكتب كتوليفة خطية لـ \( v_1,v_2 \). كما يمكن التحقق من استقلالهما الخطي.

إذن: \[ \dim(F) = 2 \] وأحد الأسس الممكنة هو \( \{v_1,v_2\} \).

1) نأخذ \( P,Q \) من \( F \)، أي: \[ P(1) = 0,\ Q(1) = 0. \] للجمع: \[ (P+Q)(1) = P(1) + Q(1) = 0, \] إذن \( P+Q \) من \( F \). ولضرب \( P \) بعدد حقيقي \( \lambda \): \[ (\lambda P)(1) = \lambda P(1) = \lambda\cdot 0 = 0, \] فينتمي \( \lambda P \) إلى \( F \). وبما أن \( F \) غير خال (على الأقل يحتوي الحدّية الصفرية)، فهو فضاء متجهي جزئي.

2) إذا: \[ P(X) = aX^2 + bX + c \] وينتمي إلى \( F \)، فلدينا: \[ P(1) = a + b + c = 0. \] هذه علاقة خطية بين المعاملات الثلاثة.

1) بنفس الطريقة: إذا كان \( P,Q \) من \( F \) فـ: \[ P(0) = Q(0) = 0. \] إذن: \[ (P+Q)(0) = 0,\ (\lambda P)(0) = \lambda P(0) = 0. \] وبالتالي \( F \) مغلق بالنسبة للجمع وضرب عدد حقيقي وغير خال، فيكون فضاء متجهي جزئي.

2) إذا: \[ P(X) = aX^2 + bX + c \] ينتمي إلى \( F \) فلدينا: \[ P(0) = c = 0. \] إذن: \[ P(X) = aX^2 + bX = X(aX + b) = XQ(X), \] حيث: \[ Q(X) = aX + b \] حدّية من درجة أصغر أو تساوي \( 1 \).

بالتالي توجد مراسلة خطية بين \( F \) وفضاء الحدوديات من درجة \( \leq 1 \)، مما يعطي: \[ \dim(F) = 2. \] أساس ممكن هو: \[ X,\ X^2. \]

1) نفترض: \[ \lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3 = 0. \] أي: \[ \lambda(1,0,0) + \mu(1,1,0) + \nu(1,1,1) = (\lambda+\mu+\nu,\ \mu+\nu,\ \nu) = (0,0,0). \] نحصل على النظام: \[ \lambda+\mu+\nu = 0,\ \mu+\nu = 0,\ \nu = 0. \] من المعادلة الأخيرة \( \nu = 0 \)، ثم من الثانية \( \mu = 0 \)، ثم من الأولى \( \lambda = 0 \). إذن التوليفة الوحيدة التي تعطي الصفر هي التافهة، فالمتجهات مستقلة خطياً.

2) نبحث عن أعداد حقيقية \( \lambda,\mu,\nu \) تحقق: \[ u = \lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3. \] أي: \[ (2,3,1) = (\lambda+\mu+\nu,\ \mu+\nu,\ \nu). \] النظام: \[ \lambda+\mu+\nu = 2,\ \mu+\nu = 3,\ \nu = 1. \] من الثالثة: \( \nu = 1 \). من الثانية: \[ \mu+1 = 3 \Rightarrow \mu = 2. \] من الأولى: \[ \lambda + 2 + 1 = 2 \Rightarrow \lambda = -1. \] إذن: \[ u = -1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 1\cdot e_3. \] إحداثيات \( u \) بالنسبة للأساس هي: \[ (-1,2,1). \]