الاحتمالات

1) تمهيد وأهداف درس الاحتمالات

الاحتمالات أداة رياضية لوصف اللايقين في التجارب الحقيقية: رمي قطعة نقدية، سحب بطاقة من أوراق اللعب، نتائج فحوصات، إنتاج آلة لقطع معيبة أو سليمة…

في هذا الدرس ننتقل من الفكرة الحدسية “الحدث ممكن أو مستبعد” إلى نموذج دقيق باستعمال فضاء احتمالي، حوادث، احتمال شرطي، استقلالية ومتغيرات عشوائية (خاصة القانون الثنائي الحدين).

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

  • فهم مفهوم التجربة العشوائية، الفضاء العيني، والحوادث.
  • استعمال قوانين جمع وتقاطع ومتمّم الحوادث.
  • حساب الاحتمالات في فضاء نهائي منتظم باستخدام التعداد والتوافيق.
  • إتقان الاحتمال الشرطي، القانون الكلّي للاحتمال وعلاقة بايز.
  • تمييز الحوادث المستقلة من غير المستقلة.
  • التعامل مع المتغيرات العشوائية المنتهية، جداول التوزيع، الأمل الرياضي والتباين.
  • التعرف على المتغير العشوائي الثنائي الحدين وتطبيقه على سلاسل تجارب من نوع “نجاح/فشل”.

منهجية عامة في تمارين الاحتمالات

  1. تحديد التجربة العشوائية والفضاء العيني \( \Omega \) بوضوح.
  2. تعريف الحوادث واستعمال الرموز \( A,B,\Omega,\varnothing \).
  3. رسم مخطط بسيط (جدول، شجرة، مخطط فن) عند الحاجة.
  4. اختيار النموذج المناسب: فضاء منتظم، احتمال شرطي، ثنائي الحدين، متغير عشوائي منتهي…
  5. كتابة النتيجة النهائية بشكل واضح مع تفسير لفظي عند الحاجة (خاصة في الأسئلة الأخيرة).

2) التجربة العشوائية، الفضاء العيني والحوادث

التجربة العشوائية والفضاء العيني

  • تجربة تسمى عشوائية إذا:
    • يمكن إعادتها في نفس الشروط.
    • لا يمكن التنبؤ بنتيجتها بدقة قبل إجرائها.
  • الفضاء العيني نرمز له بـ \( \Omega \) وهو مجموعة النتائج الأولية الممكنة للتجربة.
  • عنصر من \( \Omega \) يسمى نتيجة أولية ويرمز له غالباً بـ \( \omega \).

أمثلة

  • رمي قطعة نقدية متوازنة: \[ \Omega = \{P,F\}, \] حيث \( P \) تمثل وجه و\( F \) تمثل كتابة.
  • رمي حجر نرد مكعب: \[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}. \]
  • سحب بطاقة واحدة من مجموعة بطاقات مرقمة من \( 1 \) إلى \( 10 \): \[ \Omega = \{1,2,\dots,10\}. \]

الحوادث

حادث هو جزء من \( \Omega \) (أي مجموعة من النتائج الأولية). نرمز للحوادث عادة بحروف مثل \( A,B,C \).

  • الحادث المستحيل: \[ \varnothing \] (لا يحتوي أي نتيجة).
  • الحادث المحقق: \[ \Omega \] (يحتوي كل النتائج).
  • مثال: في رمي نرد:
    • الحادث “الحصول على عدد زوجي”: \[ A = \{2,4,6\}. \]
    • الحادث “الحصول على عدد أكبر من \( 4 \)”: \[ B = \{5,6\}. \]

3) العمليات على الحوادث وقواعد الاحتمال الأساسية

عمليات على الحوادث

  • الاتحاد: الحادث: \[ A \cup B \] يتحقق إذا تحقق \( A \) أو \( B \) أو هما معاً.
  • التقاطع: الحادث: \[ A \cap B \] يتحقق إذا تحقق \( A \) و\( B \) معاً.
  • المتمّم: متمّم \( A \) في \( \Omega \) نرمز له بـ \[ \overline{A} \] وهو الحادث الذي يتحقق عندما لا يتحقق \( A \).
  • حوادث متنافية: الحادثان \( A \) و\( B \) متنافيان إذا: \[ A \cap B = \varnothing. \]

بديهيات الاحتمال

دالة الاحتمال هي تطبيق: \[ \mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] \] يربط بكل حادث \( A \) عدداً حقيقياً \( \mathbb{P}(A) \) مع احترام:

  • \[ \mathbb{P}(\Omega) = 1,\quad \mathbb{P}(\varnothing) = 0. \]
  • لكل حادث \( A \): \[ 0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1. \]
  • إذا كان الحادثان \( A,B \) متنافيين: \[ \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B). \]

علاقات أساسية

  • \[ \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A). \]
  • \[ \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B). \]
  • إذا كان \( A \subset B \) فإن: \[ \mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B). \]

4) الاحتمال في فضاء نهائي منتظم والتوافيق

فضاء نهائي منتظم

إذا كان \( \Omega \) مجموعة نهائية وكل نتيجة أولية لها نفس الاحتمال، نقول إننا في فضاء نهائي منتظم.

في هذه الحالة: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{\text{عدد عناصر } A}{\text{عدد عناصر } \Omega}. \]

أمثلة بسيطة

  • رمي حجر نرد متوازن: \[ \mathbb{P}(\{\text{عدد زوجي}\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]
  • سحب بطاقة واحدة من \( 52 \) بطاقة (دون ترتيب): فضاء منتظم، كل بطاقة لها احتمال: \[ \frac{1}{52}. \]

تذكير بالتوافيق

  • عدد التباديل بدون تكرار لعناصر مميزة عددها \( n \): \[ n!. \]
  • عدد التوافيق بدون تكرار لاختيار \( k \) عنصراً من \( n \) عنصراً (دون اعتبار الترتيب): \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

مثال بالتوافيق

لدينا صندوق فيه \( 5 \) كرات حمراء و\( 3 \) كرات زرقاء (المجموع \( 8 \) كرات). نسحب عشوائياً \( 3 \) كرات دفعة واحدة (دون إرجاع، ودون ترتيب).

  • عدد المجموعات الممكنة: \[ \binom{8}{3}. \]
  • عدد الطرق لاختيار \( 2 \) حمراء و\( 1 \) زرقاء: \[ \binom{5}{2}\binom{3}{1}. \]
  • الاحتمال: \[ \mathbb{P}(\{\text{2 حمراء و1 زرقاء}\}) = \frac{\binom{5}{2}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}. \]

5) الاحتمال الشرطي والقانون الكلّي للاحتمال

الاحتمال الشرطي

لتكن حوادث \( A,B \) بحيث: \[ \mathbb{P}(B) \neq 0. \] يعرف الاحتمال الشرطي للحادث \( A \) بشرط \( B \) بالعلاقة:

\[ \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}. \]

يمكن أن يُقرأ: “احتمال \( A \) مع العلم أن \( B \) قد تحقق”.

القانون الكلّي للاحتمال

لتكن مجموعة حوادث: \[ (B_1,\dots,B_n) \] تشكل تجزئة لـ \( \Omega \) (حوادث متنافية مجموع اتحادها يساوي \( \Omega \))، ولكل \( i \) لدينا: \[ \mathbb{P}(B_i) \neq 0. \]

لكل حادث \( A \): \[ \mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B_i)\mathbb{P}(A \mid B_i). \]

علاقة بايز

في نفس الظروف، لكل \( k \) من \( 1 \) إلى \( n \) بحيث: \[ \mathbb{P}(A) \neq 0 \] لدينا:

\[ \mathbb{P}(B_k \mid A) = \frac{\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A \mid B_k)} {\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(B_i)\mathbb{P}(A \mid B_i)}. \]

في التمارين، يُستحسن استعمال شجرة احتمالات لتمثيل الاحتمالات الشرطية والقانون الكلّي للاحتمال، خاصة عندما يكون لدينا مرحلتان أو أكثر في التجربة.

6) استقلالية الحوادث

تعريف الاستقلالية

حادِثان \( A,B \) غير مستحيلين يسمى كل منهما مستقلاً عن الآخر إذا تحقق:

\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B). \]

إذا كانت \( \mathbb{P}(B) \neq 0 \) فإن هذه العلاقة تعادل:

\[ \mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A). \]

ملاحظات مهمة

  • الاستقلالية مفهوم مختلف عن التنافي.
  • إذا كان الحادثان متنافيين وغير مستحيلين، فهما لا يمكن أن يكونا مستقلين.
  • في التجارب المركّبة من رميات متتالية، عادة ما تُعتبر النتائج في كل رمية مستقلة عن الأخرى.

مثال

نرمي قطعة نقدية متوازنة مرتين. نعتبر: \[ A = \{\text{الحصول على وجه في الرمية الأولى}\}, \] \[ B = \{\text{الحصول على وجه في الرمية الثانية}\}. \]

نحسب: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{1}{2},\quad \mathbb{P}(B) = \frac{1}{2}. \]

الحادث: \[ A \cap B \] هو “وجه في الرميتين معاً”، واحتماله: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}. \] إذن \( A,B \) مستقلان.

7) المتغيرات العشوائية المنتهية والقانون الاحتمالي

المتغير العشوائي المنتهي

لتكن تجربة عشوائية معرف فضاؤها العيني \( \Omega \). المتغير العشوائي المنتهي هو تطبيق:

\[ X : \Omega \to \mathbb{R} \]

يأخذ عدداً منتهياً من القيم الحقيقية.

القانون الاحتمالي لمتغير عشوائي

إذا كان المتغير العشوائي يأخذ القيم المميزة: \[ x_1,\dots,x_n \] فإن القانون الاحتمالي لـ \( X \) هو الجدول الذي يربط بكل قيمة \( x_i \) الاحتمال:

\[ \mathbb{P}(X = x_i). \]

هذه الاحتمالات تحقق:

\[ \mathbb{P}(X = x_i) \geq 0,\quad \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(X = x_i) = 1. \]

مثال: رمي حجر نرد

نرمي نرداً متوازناً مرة واحدة. نعرّف: \[ X(\omega) = \omega. \]

يأخذ \( X \) القيم: \[ 1,2,3,4,5,6 \] بنفس الاحتمال: \[ \mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{6}. \]

8) الأمل الرياضي والتباين والانحراف المعياري

الأمل الرياضي

إذا كان \( X \) متغيراً عشوائياً منتهياً يأخذ القيم: \[ x_1,\dots,x_n \] مع: \[ \mathbb{P}(X = x_i) \] لكل \( i \)، فإن الأمل الرياضي لـ \( X \) هو العدد:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\mathbb{P}(X = x_i). \]

التباين والانحراف المعياري

التباين لمتغير عشوائي \( X \) هو:

\[ V(X) = E\big((X - E(X))^2\big). \]

يمكن استعمال العلاقة:

\[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2. \]

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين:

\[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)}. \]

مثال: رمي نرد متوازن

نعتبر نفس المتغير العشوائي السابق \( X \) (قيمة النرد). لدينا: \[ \mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{6} \] لكل \( k \) من \( 1 \) إلى \( 6 \).

نحسب: \[ E(X) = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5. \]

ثم: \[ E(X^2) = \frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}. \]

وبالتالي: \[ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}. \]

يمكن تبسيط هذا العدد أو تركه في هذه الصورة. الانحراف المعياري: \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)}. \]

9) المتغير العشوائي الثنائي الحدين

تجربة من نوع برنولي

تجربة من نوع برنولي هي تجربة لا نتيجتين مميزتين لها: “نجاح” و“فشل”. نفرض:

\[ \mathbb{P}(\{\text{نجاح}\}) = p,\quad \mathbb{P}(\{\text{فشل}\}) = 1 - p. \]

متغير ثنائي الحدين

نعتبر \( n \) تجارب مستقلة من نوع برنولي بنفس الاحتمال \( p \) للنجاح في كل واحدة. نرمز بـ \( X \) لعدد النجاحات في هذه السلسلة.

حينئذ \( X \) يسمى متغيراً عشوائياً ثنائي الحدين بعدد تجارب \( n \) ومعلمة \( p \)، ويرمز له كثيراً بـ:

\[ X \sim \mathcal{B}(n,p). \]

القانون الاحتمالي للثنائي الحدين

لمتغير ثنائي الحدين: \[ X \sim \mathcal{B}(n,p), \] يأخذ \( X \) القيم: \[ 0,1,\dots,n \] ومع:

\[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \]

لكل \( k \) من \( 0 \) إلى \( n \).

الأمل الرياضي والتباين لمتغير ثنائي الحدين

لمتغير: \[ X \sim \mathcal{B}(n,p) \] لدينا:

\[ E(X) = np,\quad V(X) = np(1-p). \]

مثال نموذجي

قطعة نقدية متوازنة (\( p = \frac{1}{2} \)) تُرمى \( 5 \) مرات مستقلة. نعرّف \( X \) عدد المرات التي نحصل فيها على وجه.

إذن: \[ X \sim \mathcal{B}(5,\tfrac{1}{2}). \]

على سبيل المثال: \[ \mathbb{P}(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \binom{5}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^5. \]

10) تمارين باك في الاحتمالات (10 تمارين مع حلول مفصّلة)

تمرين 1 — فضاء عيني وحوادث بسيطة

نرمي حجر نرد متوازن مرة واحدة.

  1. اكتب الفضاء العيني \( \Omega \).
  2. عرّف الحوادث التالية: الحادث \( A \): “الحصول على عدد زوجي”، الحادث \( B \): “الحصول على عدد أكبر من \( 4 \)”.
  3. أوجد \( A \cup B \) و\( A \cap B \) و\( \overline{A} \).

1) النتائج الممكنة هي الأعداد من \( 1 \) إلى \( 6 \)، إذن: \[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}. \]

2) العدد زوجي إذا كان من مجموعة: \[ \{2,4,6\} \] إذن: \[ A = \{2,4,6\}. \]

العدد أكبر من \( 4 \) إذا كان: \[ 5 \text{ أو } 6, \] إذن: \[ B = \{5,6\}. \]

3) الاتحاد: \[ A \cup B = \{2,4,5,6\}. \]

التقاطع: \[ A \cap B = \{6\}. \]

متمّم \( A \) في \( \Omega \): \[ \overline{A} = \{1,3,5\}. \]

تمرين 2 — احتمال في فضاء منتظم

نرمي حجر نرد متوازن.

  1. ما هو احتمال الحادث \( A = \{2,4,6\} \)؟
  2. ما هو احتمال الحادث \( \overline{A} \)؟
  3. تحقق من العلاقة: \[ \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A). \]

في فضاء منتظم: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{\text{عدد عناصر } A}{\text{عدد عناصر } \Omega}. \]

لدينا: \[ \text{عدد عناصر } \Omega = 6,\quad \text{عدد عناصر } A = 3. \] إذن: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

متمّم \( A \) هو مجموعة الأعداد الفردية: \[ \overline{A} = \{1,3,5\} \] ولها \( 3 \) عناصر أيضاً، إذن: \[ \mathbb{P}(\overline{A}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

نتحقق: \[ 1 - \mathbb{P}(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \mathbb{P}(\overline{A}). \]

تمرين 3 — استعمال التوافيق في حساب احتمال

صندوق يحتوي على \( 4 \) كرات حمراء و\( 3 \) كرات زرقاء و\( 3 \) كرات خضراء. نسحب عشوائياً \( 3 \) كرات دفعة واحدة دون إرجاع.

  1. احسب عدد المجموعات الممكنة من \( 3 \) كرات.
  2. احسب احتمال الحصول على كرتين حمراء وواحدة خضراء.

المجموع الكلي للكرات: \[ 4+3+3 = 10. \]

1) عدد المجموعات الممكنة لاختيار \( 3 \) كرات: \[ \binom{10}{3}. \]

2) للحصول على كرتين حمراء وواحدة خضراء:

  • عدد الطرق لاختيار كرتين حمراء من \( 4 \): \[ \binom{4}{2}. \]
  • عدد الطرق لاختيار كرة خضراء واحدة من \( 3 \): \[ \binom{3}{1}. \]

عدد الحالات الملائمة: \[ \binom{4}{2}\binom{3}{1}. \]

الاحتمال: \[ \mathbb{P}(\{\text{2 حمراء و1 خضراء}\}) = \frac{\binom{4}{2}\binom{3}{1}}{\binom{10}{3}}. \]

تمرين 4 — احتمال شرطي بسيط

نرمي حجر نرد متوازن. نعتبر الحادثين: \[ A = \{\text{الحصول على عدد زوجي}\}, \] \[ B = \{\text{الحصول على عدد أكبر من } 3\}. \]

  1. احسب \( \mathbb{P}(A) \)، \( \mathbb{P}(B) \)، \( \mathbb{P}(A \cap B) \).
  2. استنتج \( \mathbb{P}(A \mid B) \).

لدينا: \[ A = \{2,4,6\},\quad B = \{4,5,6\}, \] إذن: \[ A \cap B = \{4,6\}. \]

في فضاء منتظم: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\quad \mathbb{P}(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \] \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]

الاحتمال الشرطي: \[ \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}. \]

تمرين 5 — القانون الكلّي للاحتمال

مصنع له ورشتان \( B_1,B_2 \). ينتج \( 40\% \) من القطع في الورشة \( B_1 \) و\( 60\% \) في الورشة \( B_2 \). في الورشة \( B_1 \) نسبة القطع المعيبة \( 3\% \)، وفي الورشة \( B_2 \) نسبة القطع المعيبة \( 5\% \).

  1. نختار قطعة عشوائياً من الإنتاج الكلي. احسب احتمال أن تكون معيبة.

نعتبر: \[ B_1 = \{\text{القطعة منتجة في الورشة } 1\}, \] \[ B_2 = \{\text{القطعة منتجة في الورشة } 2\}, \] \[ D = \{\text{القطعة معيبة}\}. \]

معطيات: \[ \mathbb{P}(B_1) = 0.4,\quad \mathbb{P}(B_2) = 0.6, \] \[ \mathbb{P}(D \mid B_1) = 0.03,\quad \mathbb{P}(D \mid B_2) = 0.05. \]

باستعمال القانون الكلّي للاحتمال: \[ \mathbb{P}(D) = \mathbb{P}(B_1)\mathbb{P}(D \mid B_1) + \mathbb{P}(B_2)\mathbb{P}(D \mid B_2). \]

نحسب: \[ \mathbb{P}(D) = 0.4 \times 0.03 + 0.6 \times 0.05 = 0.012 + 0.03 = 0.042. \]

إذن احتمال أن تكون القطعة معيبة هو \( 0.042 \) (أي \( 4.2\% \) تقريباً).

تمرين 6 — علاقة بايز

نتابع نفس معطيات التمرين السابق.

  1. إذا عُلم أن قطعة مختارة عشوائياً معيبة، ما احتمال أن تكون منتجة في الورشة \( B_2 \)؟

باستعمال علاقة بايز: \[ \mathbb{P}(B_2 \mid D) = \frac{\mathbb{P}(B_2)\mathbb{P}(D \mid B_2)} {\mathbb{P}(D)}. \]

من التمرين السابق: \[ \mathbb{P}(B_2) = 0.6,\quad \mathbb{P}(D \mid B_2) = 0.05, \quad \mathbb{P}(D) = 0.042. \]

إذن: \[ \mathbb{P}(B_2 \mid D) = \frac{0.6 \times 0.05}{0.042} = \frac{0.03}{0.042} \approx 0.714. \]

أي أن احتمال أن تأتي القطعة المعيبة من الورشة \( 2 \) حوالي \( 71.4\% \).

تمرين 7 — متغير عشوائي بسيط

نرمي حجر نرد متوازن مرة واحدة. نعرّف المتغير العشوائي \( X \) كما يلي:

  • \( X = 0 \) إذا كان العدد الناتج زوجياً.
  • \( X = 1 \) إذا كان العدد الناتج فردياً.
  1. بيّن أن \( X \) متغير عشوائي منتهٍ، وحدد قيمه الممكنة.
  2. اكتب القانون الاحتمالي لـ \( X \).
  3. احسب \( E(X) \).

1) \( X \) يأخذ فقط القيمتين \( 0 \) و\( 1 \)، إذن هو متغير عشوائي منتهٍ.

2) في رمي نرد متوازن: \[ \mathbb{P}(\{\text{عدد زوجي}\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \] \[ \mathbb{P}(\{\text{عدد فردي}\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

إذن: \[ \mathbb{P}(X = 0) = \frac{1}{2},\quad \mathbb{P}(X = 1) = \frac{1}{2}. \]

3) الأمل الرياضي: \[ E(X) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]

تمرين 8 — متغير ثنائي الحدين: احتمال عدد من النجاحات

نسبة نجاح تلميذ في حل تمرين هي \( 0.8 \). ينجز هذا التلميذ \( 5 \) تمارين مستقلة عن بعضها، ونعتبر النجاح في كل واحد تجربة من نوع برنولي.

  1. ما هو نموذج المتغير \( X \) عدد التمارين التي حلّها التلميذ بنجاح؟
  2. احسب \( \mathbb{P}(X = 5) \) و\( \mathbb{P}(X = 4) \).

1) عدد التجارب \( n = 5 \)، واحتمال النجاح في كل تجربة \( p = 0.8 \). إذن: \[ X \sim \mathcal{B}(5,0.8). \]

2) باستعمال القانون: \[ \mathbb{P}(X = k) = \binom{5}{k} (0.8)^k (0.2)^{5-k}. \]

نحسب: \[ \mathbb{P}(X = 5) = \binom{5}{5} (0.8)^5 (0.2)^0 = 1 \times (0.8)^5. \]

ولـ \( X = 4 \): \[ \mathbb{P}(X = 4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^1 = 5 (0.8)^4 (0.2). \]

يمكن تقريب هذه القيم عددياً عند الحاجة.

تمرين 9 — ثنائي الحدين: على الأقل عدد معيّن من النجاحات

نعتبر مرة أخرى \( X \sim \mathcal{B}(5,0.8) \) كما في التمرين السابق.

  1. اكتب تعبيراً لـ \( \mathbb{P}(X \geq 4) \) باستعمال مجموع.
  2. استعمل متمّم الحادث للحصول على تعبير آخر.

1) الحادث: \[ X \geq 4 \] يعني: \[ X = 4 \text{ أو } X = 5. \] إذن: \[ \mathbb{P}(X \geq 4) = \mathbb{P}(X = 4) + \mathbb{P}(X = 5). \]

2) يمكن أيضاً كتابة: \[ \mathbb{P}(X \geq 4) = 1 - \mathbb{P}(X \leq 3) = 1 - \big(\mathbb{P}(X = 0) + \mathbb{P}(X = 1) + \mathbb{P}(X = 2) + \mathbb{P}(X = 3)\big). \]

في الامتحان غالباً يُطلَب فقط التعبير دون حساب عددي كامل.

تمرين 10 — متغير عشوائي منتهي والأمل الرياضي

لعبة حظ كالآتي: يدفع اللاعب مبلغاً ثابتاً قدره \( 10 \) وحدات نقدية لدخول اللعبة، ثم يربح:

  • \( 0 \) إذا كانت نتيجة رمي نرد عددًا من \( 1 \) إلى \( 4 \).
  • \( 20 \) إذا كانت النتيجة \( 5 \).
  • \( 30 \) إذا كانت النتيجة \( 6 \).

نعرّف المتغير العشوائي \( G \) كربح صافٍ للاعب (الربح الذي يبقى بعد خصم ثمن اللعب).

  1. حدّد القيم الممكنة لـ \( G \) واحتمالاتها.
  2. احسب \( E(G) \) وفسّر النتيجة بالنسبة لصاحب اللعبة.

أولاً نحدد الربح الصافي:

  • إذا كانت النتيجة من \( 1 \) إلى \( 4 \): الربح \( 0 \)، الصافي: \[ G = -10 \] (خسارة ثمن اللعبة).
  • إذا كانت النتيجة \( 5 \): الربح \( 20 \)، الصافي: \[ G = 20 - 10 = 10. \]
  • إذا كانت النتيجة \( 6 \): الربح \( 30 \)، الصافي: \[ G = 30 - 10 = 20. \]

إذن القيم الممكنة لـ \( G \) هي: \[ -10,\ 10,\ 20. \]

الاحتمالات:

  • \[ \mathbb{P}(G = -10) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] (الأعداد \( 1,2,3,4 \)).
  • \[ \mathbb{P}(G = 10) = \frac{1}{6} \] (النتيجة \( 5 \)).
  • \[ \mathbb{P}(G = 20) = \frac{1}{6} \] (النتيجة \( 6 \)).

الآن الأمل الرياضي: \[ E(G) = -10 \cdot \frac{2}{3} + 10 \cdot \frac{1}{6} + 20 \cdot \frac{1}{6}. \]

نحسب: \[ -10 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{20}{3}, \] \[ 10 \cdot \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \] \[ 20 \cdot \frac{1}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}. \]

إذن: \[ E(G) = -\frac{20}{3} + \frac{5}{3} + \frac{10}{3} = -\frac{20}{3} + \frac{15}{3} = -\frac{5}{3}. \]

أي أن الأمل الرياضي سلبي يساوي تقريباً: \[ -1.67. \] هذا يعني أنه على المدى الطويل يخسر اللاعب في المتوسط حوالي \( 1.67 \) وحدة نقدية في كل لعبة، وبالتالي اللعبة مربحة لصاحبها.

11) خلاصة مركزة لدرس الاحتمالات

  • التجربة العشوائية لها فضاء عيني \( \Omega \) وحوادث هي أجزاء من هذا الفضاء.
  • دالة الاحتمال \( \mathbb{P} \) تربط بكل حادث عدداً بين \( 0 \) و\( 1 \) مع \( \mathbb{P}(\Omega) = 1 \).
  • في فضاء نهائي منتظم: \[ \mathbb{P}(A) = \frac{\text{عدد عناصر } A}{\text{عدد عناصر } \Omega}. \]
  • العمليات على الحوادث: اتحاد، تقاطع، متمّم، والتنافي، مع علاقات أساسية مثل: \[ \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A). \]
  • الاحتمال الشرطي: \[ \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}. \]
  • القانون الكلّي للاحتمال وعلاقة بايز أدوات أساسية في مسائل “المصدر” أو “التصنيف”.
  • الاستقلالية تعني أن تحقق أحد الحوادث لا يغيّر احتمال الآخر: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B). \]
  • المتغير العشوائي المنتهي يُعرّف بقيمه وقانونه الاحتمالي، والأمل الرياضي: \[ E(X) = \sum x_i \mathbb{P}(X = x_i). \]
  • في القانون الثنائي الحدين: \[ X \sim \mathcal{B}(n,p),\quad \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},\quad E(X) = np,\ V(X) = np(1-p). \]

درس «الاحتمالات» — 2ᵉ باك علوم رياضية — © neobac.ma