Fonction Transmettre – Transformation du mouvement

1) Objet : transformer la nature du mouvement

Transformer un mouvement consiste à convertir une rotation en translation (ou l’inverse), une rotation uniforme en translation alternative, etc. Les organes classiques du programme marocain (SI/SM-B) : bielle-manivelle, pignon-crémaillère, vis-écrou, came-poussoir, levier/excentrique. Au bac, on attend : identifier l’organe, établir les relations géométriques et cinématiques, estimer vitesses/efforts et rendements.

2) Panorama rapide

  • Bielle-manivelle : rotation → translation réciproque (moteur alternatif, compresseur).
  • Pignon-crémaillère : rotation → translation uniforme (direction automobile, CNC).
  • Vis-écrou : rotation → translation lente avec fort avantage mécanique (étau, vérin).
  • Came-poussoir : loi de levée imposée (soupapes moteur).
  • Levier/excentrique : petites courses réglables, serrage, mécanismes de presse.

3) Relations utiles (cinématique & effort)

  • Bielle-manivelle (manivelle \(R\), bielle \(L\), angle \(\theta\)) :
    \[ x(\theta)=R\cos\theta+\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta}\ \ (\text{position du coulisseau, origine au centre de manivelle}) \] Pour \(L\gg R\), \(x \approx R\cos\theta + \dfrac{R^2}{2L}\cos 2\theta\). Vitesse \(v=\dot x = -R\omega\sin\theta - \dfrac{R^2}{L}\omega\sin 2\theta/2\) (approx.).
  • Pignon-crémaillère (\(z,p,n\)) : \( r \approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z)}\), \( v_{lin}=\dfrac{2\pi r\, n}{60} \approx \dfrac{n\,p\,z}{60\cdot 2\sin(\pi/z)}\).
  • Vis-écrou (pas/avance \(p\) mm/tr) : \( \Delta x = p \) par tour ; \( v_{lin} = \dfrac{n\,p}{60} \) (mm/s). Couple-effort (rendement \(\eta\)) : \[ F \approx \frac{2\pi \eta\, T}{p},\qquad T \approx \frac{F\,p}{2\pi\eta}. \]
  • Came-poussoir : \(x=f(\theta)\) défini par loi de levée (cycloïdale, 3-4-5, etc.).

4) Animation — Bielle-manivelle → translation

—
Le coulisseau effectue une translation. L’allongement de la bielle (grand \(L/R\)) rend la vitesse plus sinusoïdale.

5) Simulateur A — Position, vitesse, accélération du coulisseau

\(x(\theta)\) (mm)\(v(\theta)\) (m/s)\(a(\theta)\) (m/s²)
———
On utilise \( \omega = 2\pi n/60 \). Les dérivées \(v=\dot x\), \(a=\dot v\) sont calculées numériquement pour être robustes.

6) Animation — Pignon-crémaillère (rotation → translation uniforme)

—
La crémaillère se déplace à vitesse quasi constante : \(v \approx \dfrac{2\pi r\,n}{60}\).

7) Simulateur B — Vis-écrou (conversion, effort & couple)

Vitesse linéaire \(v\) (mm/s)Course par tour (mm)Effort \(F\) (N)
———
Rappel : \(F \approx \dfrac{2\pi \eta\, T}{p}\). Les vis trapézoïdales ont \(\eta\) plus faible que les vis à billes.

8) Choix d’un organe de transformation

OrganeNature du mouvementAvantagesLimitesUsages
Bielle-manivelleRot. ↔ Transl. alternativeSimple, robusteVitesse non sinusoïdale si \(L/R\) petitMoteurs, pompes
Pignon-crémaillèreRot. ↔ Transl. uniformeRapport exact, guidageLubrification, jeuDirection auto, CNC
Vis-écrouRot. ↔ Transl. lenteGrand effort pour petit coupleRendement, échauffementVérins, axes Z
Came-poussoirRot. → loi \(x(\theta)\) imposéeProfil à façonUsure, frottementMécanismes de commande

9) Exemples guidés

Ex1 — Bielle-manivelle \(R=40\) mm, \(L=160\) mm, \(n=600\) tr/min : amplitude ~ \(2R=80\) mm ; vitesse max ≈ \(R\omega\) ≈ \(0{,}04\times 2\pi\times 600/60 = 2{,}51\) m/s (ordre de grandeur).

Ex2 — Pignon-crémaillère \(z=20\), \(p=8\) mm, \(n=300\) → \(r\approx \dfrac{8}{2\sin(\pi/20)}=25{,}6\) mm ; \(v\approx 2\pi r n/60 = 0{,}80\) m/s.

Ex3 — Vis \(p=5\) mm/tr, \(n=900\) → \(v=75\) mm/s ; avec \(T=6\) N·m, \(\eta=0{,}8\) → \(F \approx \dfrac{2\pi 0{,}8\cdot 6}{0{,}005}=6030\) N.

10) Exercices (10) avec solutions

1 — Position instantanée (BM)

\(R=30\) mm, \(L=150\) mm, \(\theta=60^\circ\). Calculer \(x\).

\(x=R\cos\theta+\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta}=30\cdot0{,}5+\sqrt{150^2-30^2\cdot(0{,}866)^2}\approx 15+146{,}6=161{,}6\) mm.

2 — Vitesse (BM)

\(R=40\) mm, \(L=160\) mm, \(n=1200\) ; \(\theta=90^\circ\). Estimer \(v\approx R\omega\) (max.) puis avec correction \(\cos 2\theta\) négligeable.

\(\omega=2\pi n/60=125{,}66\) rad/s ; \(v\approx 0{,}04\cdot125{,}66=5{,}03\) m/s.

3 — Vitesse crémaillère

\(z=24\), \(p=6{,}35\) mm, \(n=900\) tr/min.

\(r\approx \frac{6{,}35}{2\sin(\pi/24)}=12{,}2\) mm ; \(v\approx 2\pi r n/60=1{,}15\) m/s.

4 — Effort vis-écrou

\(p=4\) mm, \(T=3\) N·m, \(\eta=0{,}85\).

\(F\approx 2\pi\eta T/p = 2\pi\cdot0{,}85\cdot3/0{,}004 \approx 4004\) N.

5 — Course par tour

Vis à billes \(p=10\) mm/tr, combien de tours pour 250 mm ?

\(N=250/10=25\) tours.

6 — Rendement et puissance

Vis \(p=5\) mm, \(F=4000\) N, \(v=40\) mm/s. Puissance mécanique ? Couple requis si \(\eta=0{,}9\).

\(P=Fv=4000\cdot0{,}04=160\) W. \(T=\dfrac{Fp}{2\pi\eta}=\dfrac{4000\cdot0{,}005}{2\pi\cdot0{,}9}=3{,}54\) N·m.

7 — Choix organe

Besoin : translation rapide, vitesse constante, faible jeu → choisir ?

Pignon-crémaillère (guidage précis) ou vis à billes pour charge élevée.

8 — Amplitude BM

Montrer que la course totale vaut \(2R\).

Positions extrêmes pour \(\theta=0^\circ\) et \(180^\circ\) → \(x_{max}-x_{min}=2R\).

9 — Came-poussoir

Pourquoi une loi 3-4-5 (polynôme) réduit-elle les chocs ?

Car \(x,\dot x,\ddot x\) sont continus (accélérations nulles aux raccords) → vibrations réduites.

10 — Sécurité

Citer deux causes de perte de précision sur un pignon-crémaillère.

Jeu d’engrènement, défaut de lubrification/usure, flexion du guidage.

11) Récapitulatif

  • BM : \(x(\theta)=R\cos\theta+\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta}\), \(\omega=2\pi n/60\).
  • Pignon-crémaillère : \(v\approx 2\pi r n/60\), \(r\approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z)}\).
  • Vis-écrou : \(v=\dfrac{np}{60}\), \(F\approx\dfrac{2\pi \eta T}{p}\).

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