Fonction Transmettre – Transmission de puissance (Freins)

1) Rôle & grandeurs

Un frein transforme l’énergie cinétique d’un système en chaleur par friction (ou pertes électromagnétiques) pour réduire la vitesse ou immobiliser.

Couple de freinage (frein à disque plan) : \[ C_{frein}=z\,\mu\,N\,R_m,\quad R_m=\frac{2}{3}\,\frac{R_e^3-R_i^3}{R_e^2-R_i^2} \] avec \(z\) surfaces frottantes, \(\mu\) coefficient de frottement, \(N\) effort normal total, \(R_i,R_e\) rayons int./ext.
Décélération rotationnelle : \(\alpha = \dfrac{C_{frein}}{J}\). Temps d’arrêt (si couple constant) : \(t_s=\dfrac{\omega_0}{\alpha}\).
Décélération linéaire véhicule (simplifiée) : \(a=\min\!\left(\mu_{pneu}g,\ \dfrac{T_{roue}}{m\,r}\right)\), avec \(T_{roue}\) couple total aux roues et \(r\) rayon dynamique.
Énergie à dissiper : \(\;E_{rot}=\tfrac12 J\omega_0^2,\;\;E_{lin}=\tfrac12 m v_0^2,\;\; \Delta T \approx \dfrac{\phi\,E}{m_f\,c}\) (fraction \(\phi\) allant sur la masse frottante \(m_f\)).

2) Familles de freins

Type	Principe	Atouts	Limites	Usages
Disque + étrier	Plaquettes pincent un disque	Progressif, refroidi, entretien aisé	Couple ∝ N, µ, R	Auto, vélo, machines
Tambour	Segments s’écartent	Auto-amplification possible	Échauffement, fading	Véhicules légers, industriels
Bande	Bande frottante sur tambour	Simple	Échauffe vite	Mécanismes, treuils
Électromagnétique (Foucault)	Courants de Foucault	Sans contact (pas d’usure)	Couple ∝ vitesse, faible à basse V	Bancs, trains
Rhéostatique/dynamique	Charge électrique	Dissipe dans résistances	Énergie rejettée	Moteurs DC/AC

3) Animation — Disque freiné (couple, puissance, arrêt)

Vitesse initiale \(n_0\) (tr/min) tr/min Inertie \(J\) (kg·m²) kg·m² Effort \(N\) (kN) kN \(\mu\) — Rayons \(R_i/R_e\) (mm) int. ext. Surfaces \(z\) —

Le couple \(C_{frein}\) crée une décélération \(\alpha=C_{frein}/J\). La puissance dissipée vaut \(P=C_{frein}\,\omega\).

4) Simulateur A — Couple & pression moyenne

On calcule \(C_{frein}\) et la pression moyenne \(p_m=\dfrac{N}{2\pi z (R_e^2-R_i^2)}\) (modèle disque plan, pression uniforme).

\(p_{max}\) admissible (MPa) MPa

\(C_{frein}\) (N·m)	\(p_m\) (MPa)	Vs. \(p_{max}\)
—	—	—

Pour augmenter le couple : ↑\(N\), ↑\(\mu\), ↑\(R_e\) (ou ↓\(R_i\)), ↑\(z\). Attention à la pression et à la température.

5) Simulateur B — Arrêt d’un véhicule (simplifié)

Décélération limitée par l’adhérence pneus/route ou par la capacité des freins. Approche pédagogique :

Masse \(m\) (kg) kg Vitesse initiale \(v_0\) (km/h) km/h Rayon roue \(r\) (m) m \(\mu_{pneu}\) route — Nbr. roues freinées —

Couple roue dispo \(T_{roue}\) (N·m)	Décél. frein \(a_b\) (m/s²)	Décél max adhérence \(a_\mu\) (m/s²)	Décél. retenue \(a\) (m/s²)	Temps \(t_s\) (s)	Distance \(s\) (m)
—	—	—	—	—	—

ABS, transfert de charge, répartition AV/AR et aérodynamique ne sont pas modélisés ici (pédagogique).

6) Simulateur C — Énergie & échauffement

Énergie à dissiper sur un frein : \(\phi\,E\) avec \(\phi\in[0,1]\) fraction de l’énergie affectée au disque/plaquettes considérées.

\(\phi\) (fraction) — Masse frottante \(m_f\) (kg) kg Capacité \(c\) (kJ/kg·K) kJ/kg·K

\(E_{rot}\) (kJ)	\(E_{lin}\) (kJ)	\(\phi E\) (kJ)	\(\Delta T\) (K, approx.)
—	—	—	—

Le fading (baisse de \(\mu\)) apparaît quand la température dépasse la zone nominale du matériau.

7) Matériaux & coefficients (repères)

Matériau garniture	\(\mu\) typ.	\(p_{max}\) (MPa)	Plage T°
Organique/NAO	0.35–0.45	0.8–1.2	0–350 °C
Semi-métallique	0.30–0.40	1.0–1.5	0–500 °C
Frittée (sintered)	0.40–0.60	1.5–2.5	100–700 °C
Tambour (ferodo)	0.25–0.40	0.8–1.2	0–300 °C

8) Exercices (10) + solutions

1 — Couple d’un disque

\(z=2\), \(\mu=0.4\), \(N=2\) kN, \(R_i=60\) mm, \(R_e=110\) mm. Calculer \(C_{frein}\).

Avec \(R_m\) ci-dessus ⇒ \(C_{frein}\approx z \mu N R_m\).

2 — Décélération rotationnelle

\(J=0.05\) kg·m², \(C_{frein}=80\) N·m. Trouver \(\alpha\) et \(t_s\) pour \(\omega_0=150\) rad/s.

\(\alpha=1600\) rad/s² ; \(t_s=\omega_0/\alpha≈0.094\) s.

3 — Arrêt véhicule

\(m=1000\) kg, \(v_0=72\) km/h, \(\mu_{pneu}=0.9\). Distance idéale (adhérence) ?

\(a=0.9g≈8.83\) m/s² ; \(s=v_0^2/(2a)≈(20)^2/(17.66)≈22.6\) m.

4 — Pression moyenne

Pour \(N=2\) kN, \(z=2\), \(R_i=60\) mm, \(R_e=110\) mm, calculer \(p_m\).

\(p_m=N/(2\pi z (R_e^2-R_i^2))\) → valeur en MPa.

5 — Énergie à dissiper

Rotor seul : \(J=0.04\) kg·m², \(n_0=1500\) tr/min ⇒ \(E_{rot}\) ?

\(\omega_0=157\) rad/s ⇒ \(E_{rot}=0.5·0.04·157^2≈492\) J ≈ 0.49 kJ.

6 — Fading

Pourquoi \(\mu\) chute-il à très haute T° ?

Dégradation liant/résines, gazification, vitrification — filmage réduit l’adhérence.

7 — Répartition AV/AR

Quel essieu doit fournir le plus d’effort en freinage et pourquoi ?

L’avant (transfert de charge augmente l’adhérence disponible à l’avant).

8 — Tambour vs disque

Avantage majeur du disque vs tambour ?

Meilleur refroidissement et stabilité de \(\mu\) (moins de fading).

9 — Étrier

Comment augmenter \(N\) sans augmenter l’effort pédale ?

Servo-frein/hydraulique, plus grands pistons, maître-cylindre adapté.

10 — Courant de Foucault

Pourquoi un frein Foucault ne bloque-t-il pas à basse vitesse ?

Couple ∝ vitesse relative du champ ⇒ tend vers 0 à basse vitesse.

9) Récapitulatif

\(C_{frein}=z\,\mu\,N\,R_m\), \(\alpha=C/J\).
Véhicule : \(a=\min(\mu_{pneu}g,\ T_{roue}/(m r))\).
Thermique : \(E=\tfrac12 J\omega_0^2 + \tfrac12 m v_0^2\) (selon cas), \(\Delta T \approx \phi E/(m_f c)\).