Fonction Traiter – Conversions numériques

1) Objet du chapitre

La conversion numérique couvre la représentation des nombres (binaire/hex, signé non-signé), la conversion A/N (ADC), la conversion N/A (DAC/PWM), la quantification, l’échantillonnage et les grandeurs de performance (LSB, SNR, ENOB, bande).

LSB : \(\mathrm{LSB}=\dfrac{V_{\text{FS}}}{2^n}\).
Erreur de quantification (pas de dithering) : bruit blanc approx. \(q=\mathrm{LSB}/\sqrt{12}\).
SNR quantif. (sinus pleine échelle) : \( \mathrm{SNR_{q}} \approx 6.02\,n + 1.76\ \mathrm{dB} \).
ENOB : \( n_\mathrm{eff} = \dfrac{\mathrm{SNR_{mes}} - 1.76}{6.02}\).
Nyquist : \(f_s \ge 2 f_{\max}\) (filtre anti-repliement avant ADC).

2) Représentation numérique (bases & signes)

Thème	Formule / Règle	Remarque
Décimal → Binaire	Division par 2, lire les restes à l’envers	Groupes de 4 bits → Hex
Complément à deux (n bits)	Si négatif: inverser bits +1	Plage: \([-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]\)
Q-format	Qm.n → valeur = entier / \(2^n\)	Ex: Q1.15 pour angles/coeffs
Saturation	Limiter au min/max du format	Évite l’enroulement (overflow)

3) Simulateur A — Conversions binaire/hex/décimal & complément à 2

Nombre (décimal) int Largeur n (bits) bits Signé ? Signé Q-format (fraction bits) n frac

Binaire (n bits)	Hex	Valeur décodée	Plage autorisée
—	—	—	—

En Qm.n, la valeur numérique affichée = entier signé / \(2^n\). Par ex. avec n=8, 0x4000 en Q1.15 ≈ 0.5.

4) ADC — Résolution, code & erreur de quantification

LSB : \(\mathrm{LSB}=\dfrac{V_\mathrm{FS}}{2^n}\).
Code idéal (unipolaire) : \( \mathrm{code}=\left\lfloor \dfrac{V_\mathrm{in}}{V_\mathrm{FS}} \cdot (2^n-1) \right\rfloor\).
Code (bipolaire ±Vref) : \( \mathrm{code}=\operatorname{round}\!\left( \dfrac{V_\mathrm{in}}{2V_\mathrm{ref}} \cdot 2^n \right) + 2^{n-1}\).

Mode Unipolaire n bits & V_FS / V_ref (V) bits V Entrée \(V_{in}\) (V) V

LSB (mV)	Code (décimal)	Code (hex)	Erreur quantif. (mV)	SNR quantif. (dB)
—	—	—	—	—

5) DAC — Sortie analogique & PWM+RC

DAC idéal (unipolaire) : \( V_o = \dfrac{\text{code}}{2^n-1}\,V_\mathrm{FS}\).
PWM (rapport \(D\)) filtré RC : \( \overline{V} \approx D\,V_\mathrm{DD}\). Atténuation ondulation \(\approx \dfrac{1}{\sqrt{1+(2\pi f_\mathrm{PWM}RC)^2}}\).

n bits & V_FS (V) / Code bits V code PWM : V_DD (V) & D & f_PWM (kHz) V D kHz Filtre RC : R (kΩ) & C (µF) kΩ µF

DAC \(V_o\) (V)	PWM \(\overline{V}\) (V)	f_c=1/(2πRC) (Hz)	Ondulation rel. (≈)
—	—	—	—

6) Échantillonnage, aliasing & filtres

Nyquist : \(f_s \ge 2 f_{\max}\). Sinon, aliasing : \(f_\text{alias}=|f - k f_s|\) (choix de \(k\) pour minimiser).
Filtre anti-repliement : \(f_c \lt f_s/2\).

Signal : \(f\) (Hz) Hz Échantillonnage \(f_s\) (Hz) Hz Ordre filtre (indic.) —

Nyquist \(f_s/2\)	\(f_\text{alias}\) (Hz)	Proposition \(f_c\) (Hz)	Avis
—	—	—	—

7) SNR mesuré, ENOB & suréchantillonnage

SNR mesuré → ENOB : \( n_\mathrm{eff} = \dfrac{\mathrm{SNR}-1.76}{6.02} \).
Suréchantillonnage (bruit blanc) : gain de résolution \( \Delta n \approx \tfrac{1}{2}\log_2(\mathrm{OSR}) \).

SNR mesuré (dB) dB OSR (= \(f_s/f_b\)) — n de base bits

ENOB (bits)	Gain théorique (bits)	n total estimé
—	—	—

Le gain réel dépend du bruit d’entrée, du dithering et des non-linéarités (INL/DNL) — l’approximation ci-dessus est optimiste.

8) Exercices (12) + solutions

1 — LSB 10 bits @ 5 V

Calculer la LSB.

\(5/1024=4.883\) mV.

2 — Code ADC

n=12, V_FS=3.3 V, \(V_{in}=2.0\) V (unipolaire). Code ?

\(\lfloor(2/3.3)·4095\rfloor=2481\) (0x9B1).

3 — DAC

n=8, V_FS=2.5 V, code=128 ⇒ \(V_o\) ?

\(128/255·2.5≈1.255\) V.

4 — Complément à 2

Représenter −37 sur 8 bits.

37=0b0010 0101 → inverser 1101 1010 +1 → 1101 1011 (0xDB).

5 — Q-format

En Q1.15, quelle valeur pour 0.25 ?

0.25×2^15=8192 ⇒ 0x2000.

6 — Nyquist

Signal 3 kHz, choisir \(f_s\) minimal (terrain)?

≥ 2×3k = 6 kHz ; viser 8–10 kHz + anti-repliement.

7 — Aliasing

f=1.8 kHz, \(f_s=2.0\) kHz ⇒ \(f_{alias}\) ?

\(|1800 - 1·2000|=200\) Hz.

8 — SNR quantif.

SNR quantif. théorique pour n=12 ?

\(6.02·12+1.76≈74.0\) dB.

9 — ENOB

On mesure 60 dB ⇒ ENOB ?

\((60-1.76)/6.02≈9.65\) bits.

10 — PWM+RC

Vdd=5 V, D=0.3, f=20 kHz, RC=1 ms ⇒ \(\overline{V}\) et atténuation ?

\(\overline{V}=1.5\) V ; \(2\pi f RC≈125.7\) ⇒ ondulation très faible.

11 — Saturation

En 8 bits signé, plage ?

−128 … +127.

12 — Suréchantillonnage

OSR=64 ⇒ gain bits ?

\(0.5·\log_2 64 = 0.5·6 = 3\) bits.

9) Récapitulatif

Formats : non-signé / C2 / Qm.n — attention aux saturations.
ADC/DAC : LSB, code/valeur, erreurs de quantification.
Échantillonnage : \(f_s \ge 2f_{\max}\), filtre anti-repliement ; ENOB & SNR guident la qualité.
PWM+RC : alternative simple au DAC pour tensions lentes.