Fonction Traiter – Algèbre de Boole
1) Objet du chapitre
L’algèbre de Boole modélise les systèmes logiques avec des variables binaires \(0/1\). Opérateurs : NON (¬, !), ET (·, *), OU (+), XOR (⊕).
- Expression \(Y=f(A,B,\dots)\), table de vérité, formes canoniques (SOP/POS) et simplification (lois, Karnaugh, Quine–McCluskey).
2) Lois utiles
| Lois | Formule |
|---|---|
| Identité / Nul | \(X+0=X,\;X·1=X,\;X+1=1,\;X·0=0\) |
| Absorption | \(X+X·Y=X,\;X(X+Y)=X\) |
| De Morgan | \(\overline{X·Y}=\bar X+\bar Y\;\;;\;\overline{X+Y}=\bar X·\bar Y\) |
| XOR | \(X⊕Y = X\bar Y + \bar X Y\) |
3) Mini-animation — XOR avec 4 NAND (câblage correct)
4) Formes canoniques (SOP/POS)
- SOP : somme de mintermes. POS : produit de maxtermes.
- \(X⊕Y=\Sigma m(1,2)\) à 2 variables ; De Morgan pour passer SOP↔POS.
5) Simulateur A — Évaluer une expression & générer la table
Syntaxe : A,B,C,D ; opérateurs ! (NON), */. (ET), + (OU), ^/⊕ (XOR). Ex : !(A*B)+C, (A+B)*(C^D).
| — |
|---|
| — |
6) Simulateur B — Carte de Karnaugh cliquable (minimisation)
Choisissez 3 ou 4 variables. Cliquez: 0→1→X. Simplification par Quine–McCluskey (SOP minimale).
| Mintermes (1) | Don’t care (X) | SOP minimale |
|---|---|---|
| — | — | — |
7) Exercices (10) + solutions
1 — Absorption
Simplifier \(Y=A+A\bar B\).
\(Y=A\).
2 — De Morgan
Développer \(\overline{A+B\bar C}\).
\(\bar A(\bar B+C)\).
3 — Karnaugh (4 var)
Mintermes \(m(0,2,8,10)\). Simplifier.
\(Y=\bar B\bar D\).
4 — Factorisation
Simplifier \(F=A B + A \bar B + \bar A B\).
\(F=A + B\).
5 — Forme POS
Donner la forme POS minimale de \(F=\Sigma m(1,3,5,7)\) (3 var).
\(F=(A+B)(A+C)\).
6 — XOR
Écrire \(A⊕B\) en SOP.
\(A⊕B = A\bar B + \bar A B\).
7 — NOR
Table de vérité de \(Y=\overline{A+B}\).
1 uniquement si A=0 et B=0.
8 — Expression mixte
Simplifier \(F=(A+B)(\bar A + B)\).
\(F=B\).
9 — Implication logique
Montrer que \(A\Rightarrow B\) équivaut à \(\bar A + B\).
\(A\Rightarrow B\) est faux seulement si \(A=1,B=0\) → \(\bar A + B\).
10 — SOP à partir d’une table
Pour 3 var, \(Y=1\) pour \(m(1,2,6,7)\). Donner la SOP minimale.
Groupements Karnaugh → \(Y=\bar A C + B C\).