Mathématiques – 2ème Bac Économie & Gestion
Fonctions logarithmiques

Durée indicative : 5–7 heures (cours + exercices) Pré-requis : exponentielle, fonctions de base, limites Objectifs : propriétés, calculs, équations & inéquations, dérivation, applications éco

Ce chapitre présente la fonction logarithme népérien \(\ln\), son lien avec l’exponentielle, ses propriétés algébriques, ses limites et sa dérivation. On apprend à résoudre des équations et inéquations avec \(\ln\), à étudier des fonctions faisant intervenir \(\ln\), et à mobiliser \(\ln\) dans des contextes économiques (capitalisation continue, croissance, élasticité, linéarisation).

Compétences
Manipuler \(\ln\) (produit, quotient, puissances), résoudre équations/inéquations, dériver/étudier des fonctions avec \(\ln\).
Mots-clés
\(\ln\), \(\exp\), base \(e\), changement de base, dérivée \(1/x\), capitalisation continue.
Applications
Taux continu, CAGR, régression log-linéaire, élasticité locale.

1. Définition et domaine

Logarithme népérien. La fonction logarithme népérien \(\ln\) est l’inverse de l’exponentielle \(e^x\) : \[ y=\ln x \iff x=e^y, \quad x>0. \] Domaine : \(]0,+\infty[\). Image : \(\mathbb{R}\). \(\ln\) est strictement croissante et continue sur \(]0,+\infty[\).
Valeurs remarquables. \(\ln 1=0,\ \ln e=1,\ \ln e^a=a,\ e^{\ln x}=x\) (pour \(x>0\)).
y = ln x (1,0)
Graphe de \(y=\ln x\) : passe par \((1,0)\), croissante, concave, asymptote verticale en \(x=0^+\).

2. Propriétés algébriques fondamentales

Pour \(a,b>0\) et \(r\in\mathbb{R}\) :
  • \(\ln(ab)=\ln a + \ln b\) (produit),
  • \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b\) (quotient),
  • \(\ln(a^r)=r\,\ln a\) (puissance),
  • Changement de base : \(\log_c x = \dfrac{\ln x}{\ln c}\) pour \(c>0,\ c\ne1\).
Toujours vérifier le domaine : \(\ln u\) n’existe que si \(u>0\). Par exemple, \(\ln(x-2)\) nécessite \(x>2\).
Exemples rapides. \(\ln(12)=\ln(3)+\ln(4)\), \(\ \ln\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)=\tfrac12\ln 5 - \ln 2\), \(\ \ln(a^3b)=3\ln a + \ln b\).

3. Limites et variations

  • \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\) (asymptote verticale \(x=0\)).
  • \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty\), mais très lentement (croît moins vite qu’une puissance \(x^\alpha\)).
  • Comparaison : \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0\) pour tout \(\alpha>0\).
À l’infini, \(\ln x\) grandit plus lentement que \(x^\alpha\) et encore plus lentement que \(e^{x}\). C’est utile pour étudier des limites rationnelles-logarithmiques.

4. Dérivation et primitives

Dérivée de \(\ln\). Pour \(x>0\), \(\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}\).
  • Si \(u(x)>0\), \(\displaystyle (\ln u(x))'=\frac{u'(x)}{u(x)}\) (règle de la chaîne).
  • \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\).
  • Exemples : \((\ln(3x^2+1))'=\dfrac{6x}{3x^2+1}\), \((\ln(\sqrt{x}))'=\dfrac{1}{2x}\) sur \(x>0\).
Tangente. Pour \(f(x)=\ln x\) au point \(x=a>0\) : \(f'(a)=\frac1a\), donc la tangente est \(y=\ln a + \dfrac{1}{a}(x-a)\).

5. Équations et inéquations avec \(\ln\)

Méthode générale : isoler la partie logarithmique, utiliser les propriétés, exponentier si besoin (en respectant le domaine).
Équation. Résoudre \(\ln(x-1)=2\). Domaine : \(x>1\). \(\ x-1=e^2 \Rightarrow x=1+e^2\).
Inéquation. Résoudre \(\ln(2x+1)\ge 0\). Domaine : \(2x+1>0 \Rightarrow x>-\tfrac12\). \(\ln(2x+1)\ge0 \iff 2x+1\ge1 \iff x\ge0\).
Attention : \(\ln u=\ln v \Rightarrow u=v\) (si \(u,v>0\)). On ne peut pas “simplifier” \(\ln(u+v)\) en \(\ln u+\ln v\) (c’est faux).

6. Étude de fonctions avec \(\ln\)

Exemple type. Étudier \(f(x)=x\ln x - x\) sur \(]0,+\infty[\).
  • \(f'(x)=\ln x + 1 - 1 = \ln x\). Signe de \(f'\) : négatif si \(x\in]0,1[\), nul en \(x=1\), positif si \(x>1\).
  • Variations : décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\). Minimum en \(x=1\) : \(f(1)=-1\).
  • Limites : \(\lim_{x\to0^+} f(x)=0\) (car \(x\ln x \to 0\)), \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty\).
Pour des produits \(x\ln x\), utiliser la comparaison \( \ln x \ll x^\alpha\) (croissance lente) et des factorisations intelligentes.

7. Applications économiques

Capitalisation continue. À taux continu \(r\), un capital \(C_0\) devient \(C(t)=C_0\,e^{rt}\). On a \( \ln C(t)=\ln C_0 + rt \) (relation linéaire en \(t\)).
Taux de croissance moyen (CAGR). Si \(C_n=C_0(1+t)^n\), alors \(t=\exp\!\left(\frac{\ln(C_n/C_0)}{n}\right)-1\).
Élasticité locale (prix/demande). Si \(p(x)\) est le prix, l’élasticité \(\varepsilon(x)=\dfrac{d\ln p}{d\ln x}=\dfrac{x\,p'(x)}{p(x)}\). Avec \(p(x)=A x^{-k}\), \(\varepsilon(x)=-k\) (constante).
La linéarisation par \(\ln\) transforme des modèles multiplicatifs en modèles additifs (utile pour les régressions et interprétations économiques).

8. Exercices (12) — avec solutions détaillées

Exercice 1 — Propriétés de base

Simplifier : \(A=\ln\!\left(\dfrac{9\sqrt{5}}{2}\right)\).

\(A=\ln 9 + \ln \sqrt{5} - \ln 2 = 2\ln 3 + \tfrac12 \ln 5 - \ln 2\).
Exercice 2 — Domaine

Donner le domaine de \(f(x)=\ln(3x-6)\).

On exige \(3x-6>0 \Rightarrow x>2\). Domaine \(]2,+\infty[\).
Exercice 3 — Équation simple

Résoudre \(\ln(x+2)=3\).

Domaine \(x>-2\). \(x+2 = e^3 \Rightarrow x = e^3-2\).
Exercice 4 — Inéquation

Résoudre \(\ln(2x-1) \le \ln(3x-4)\).

Domaine : \(2x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac12\) et \(3x-4>0 \Rightarrow x>\tfrac43\) ⇒ \(x>\tfrac43\). Sur le domaine, \(\ln\) est croissante : \(2x-1 \le 3x-4 \Rightarrow x\ge 3\). Solution : \(x\in[3,+\infty[\).
Exercice 5 — Dérivation

Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x)=\ln(5x^2+1)\).

\(f'(x)=\dfrac{10x}{5x^2+1}\).
Exercice 6 — Tangente

Écrire la tangente à \(y=\ln x\) au point d’abscisse \(a>0\).

\(y=\ln a + \dfrac{1}{a}(x-a)\).
Exercice 7 — Limites

Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\).

\(\frac{\ln x}{x^{1/2}}\to 0\) (croissance de \(\ln\) plus lente que toute puissance).
Exercice 8 — Étude de signe

Étudier le signe de \(g(x)=\ln(x)-x+1\) sur \(]0,+\infty[\).

\(g'(x)=\frac{1}{x}-1\). Zéro en \(x=1\). \(g\) croît sur \(]0,1]\), décroît sur \([1,+\infty[\). \(g(1)=0\). Donc \(g(x)\le 0\) pour tout \(x>0\) (inégalité \(\ln x \le x-1\)).
Exercice 9 — Équation produit

Résoudre \(\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln 8\).

Domaine : \(x>1\). \(\ln[(x-1)(x+1)]=\ln 8 \Rightarrow (x-1)(x+1)=8 \Rightarrow x^2-1=8 \Rightarrow x=\sqrt{9}=3\).
Exercice 10 — Capitalisation continue

Un capital \(C_0=10\,000\) MAD placé au taux continu \(r=6\%\). Montant au bout de 4 ans ?

\(C(4)=10\,000\ e^{0.06\times 4}=10\,000\,e^{0.24}\approx 12\,709\) MAD.
Exercice 11 — Inéquation avec quotient

Résoudre \(\ln\!\left(\dfrac{x}{x-2}\right)>0\).

Domaine : \(\dfrac{x}{x-2}>0\) et \(x\ne2\) ⇒ signes identiques : \(x<0\) ou \(x>2\). \(\ln(\cdot)>0 \iff \dfrac{x}{x-2}>1 \iff \dfrac{x-(x-2)}{x-2}>0 \iff \dfrac{2}{x-2}>0 \iff x>2\). Solution finale : \(x\in]2,+\infty[\).
Exercice 12 — Étude complète

Étudier \(h(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\) (variations et extremum).

\(h'(x)=\dfrac{1\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\). Signe : \(h'(x)>0\) si \(x<e\), \(=0\) en \(x=e\), \(<0\) si \(x>e\). Donc \(h\) croît sur \(]0,e]\), décroît sur \([e,+\infty[\) et atteint un maximum en \(x=e\) de valeur \(h(e)=\dfrac{1}{e}\).

9. Fiches-mémo & erreurs à éviter

Mémo propriétés
  • \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\), \(\ln(a^{r})=r\ln a\).
  • Dérivée : \((\ln x)'=1/x\) pour \(x>0\).
  • Changement de base : \(\log_c x=\ln x/\ln c\).
Pièges fréquents
  • Faux : \(\ln(u+v)=\ln u+\ln v\) (jamais vrai en général).
  • Oublier le domaine \(u(x)>0\) avant d’écrire \(\ln(u(x))\).
  • Exponentier sans conserver les conditions (signes, domaines).
```