Mathématiques – 2ème Bac Économie & Gestion
Dénombrement et probabilités

Durée indicative : 7–9 heures (cours + exercices) Pré-requis : ensembles, logique, fonctions, suites, binôme \((a+b)^n\) Objectifs : compter, modéliser, calculer des probabilités (conditionnelles, indépendance, loi binomiale)

Ce chapitre présente les méthodes de dénombrement (additivité, multiplicativité, arrangements, permutations, combinaisons) puis les probabilités : univers, événements, axiomes, probabilité conditionnelle, indépendance, arbre pondéré, formule des probabilités totales et théorème de Bayes. On termine par la loi binomiale, fondamentale pour modéliser un nombre de succès dans une série d’épreuves (qualité, marketing, finance).

1. Expérience aléatoire, univers et événements

Expérience aléatoire. Une expérience dont l’issue est incertaine (ex. tirage d’une carte, lancer d’un dé).
Univers \(\Omega\). Ensemble de toutes les issues possibles. Un événement \(A\subset \Omega\) est un sous-ensemble d’issues.
Opérations sur événements. Complément \(\bar A\), union \(A\cup B\), intersection \(A\cap B\).
Événements incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\).
Lancer d’un dé : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Événement “pair” : \(A=\{2,4,6\}\).

2. Dénombrement : principes et outils

  • Principe additif : si deux opérations sont incompatibles, le nombre total de cas = somme des nombres de cas.
  • Principe multiplicatif : si une opération se fait en étapes indépendantes, le nombre total de cas = produit des nombres de choix à chaque étape.
Factorielle et arrangements/permutations/combinaisons.
  • \(n! = 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\) (par convention \(0!=1\)).
  • Permutations de \(n\) objets : \(P_n = n!\).
  • Arrangements de \(k\) parmi \(n\) (ordonnés, sans remise) : \(A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}\).
  • Combinaisons de \(k\) parmi \(n\) (non ordonnés, sans remise) : \(\displaystyle C_n^k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
Coefficients binomiaux. \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) et \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n\).
Formule du binôme : \((a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\).
Exemples.
  • Nombre de codes à 4 chiffres (0–9) avec répétition autorisée : \(10^4\).
  • Nombre de comités de 3 personnes parmi 10 : \(\binom{10}{3}=120\).
  • Nombre de classements de 3 lauréats parmi 10 : \(A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720\).

3. Probabilité dans un univers équiprobable

Modèle équiprobable. Toutes les issues sont de même probabilité. Alors, pour un événement \(A\), \[ \mathbb{P}(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}=\frac{|A|}{|\Omega|}. \]
Axiomes (Kolmogorov) en bref. \(0\le \mathbb{P}(A)\le 1\), \(\mathbb{P}(\Omega)=1\), si \(A\cap B=\varnothing\) alors \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\).
Deux dés équilibrés : \(|\Omega|=36\). \(\mathbb{P}(\text{“somme = 7”})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).

4. Probabilité conditionnelle et formule du produit

Si \(\mathbb{P}(B)>0\), la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est \[ \mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}. \]
Formule du produit : \(\ \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\cdot \mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B\mid A)\).
En contrôle qualité : \(\mathbb{P}(\text{défectueux} \cap \text{détecté})=\mathbb{P}(\text{défectueux})\cdot \mathbb{P}(\text{détecté}\mid \text{défectueux})\).

5. Arbres pondérés, probabilités totales et Bayes

Départ A (p) Ā (1−p) B (α) B̄ (1−α) B (β) B̄ (1−β) P(A)=p, P(B|A)=α P(B̄|A)=1−α P(Ā)=1−p, P(B|Ā)=β P(B̄|Ā)=1−β
Arbre pondéré pour calculer \(\mathbb{P}(B)\), \(\mathbb{P}(A\cap B)\), etc.
Probabilités totales : si \((A,\bar A)\) est une partition de \(\Omega\), \[ \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B\mid A)+\mathbb{P}(\bar A)\mathbb{P}(B\mid \bar A). \]
Bayes : si \(\mathbb{P}(B)>0\), \[ \mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B\mid A)}{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B\mid A)+\mathbb{P}(\bar A)\mathbb{P}(B\mid \bar A)}. \]

6. Indépendance

\(A\) et \(B\) sont indépendants si \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\) (avec \(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)>0\)).
Équivalent : \(\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)\) et \(\mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}(B)\).
L’indépendance est plus forte que la simple incompatibilité (\(A\cap B=\varnothing\)). Deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants (sauf cas dégénérés).

7. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Épreuve de Bernoulli. Expérience à deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (\(q=1-p\)).
Schéma de Bernoulli d’ordre \(n\). Répétition indépendante de l’épreuve \(n\) fois avec la même probabilité de succès \(p\).
Loi binomiale. Soit \(X=\) “nombre de succès” en \(n\) essais. Alors \(X\sim \mathcal{B}(n,p)\) et \[ \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots,n). \] Espérance : \(\mathbb{E}[X]=np\). Variance : \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).
Exemples métiers. Nombre d’achats parmi \(n\) visiteurs (taux de conversion \(p\)) ; nombre de pièces conformes sur un lot, etc.

8. Exercices (12) — avec solutions détaillées

Exercice 1 — Additif / Multiplicatif

Un mot de passe comporte soit 6 lettres (A–Z), soit 4 lettres suivies de 2 chiffres (0–9). Combien de mots de passe possibles ?

Cas 1 : \(26^6\). Cas 2 : \(26^4\cdot 10^2\). Total (additif) : \(26^6 + 26^4\cdot 100\).
Exercice 2 — Arrangements / Combinaisons

Parmi 12 candidats, on choisit un président, un vice-président et un secrétaire (postes distincts). Puis, séparément, on choisit une équipe de 4.

Postes distincts : \(A_{12}^3=12\cdot 11\cdot 10=1320\). Équipe de 4 : \(\binom{12}{4}=495\).
Exercice 3 — Équiprobable

Deux dés sont lancés. Probabilité d’obtenir un double ou une somme égale à 7 ?

\(|\Omega|=36\). Doubles : 6 issues. Somme 7 : 6 issues. Intersection = 0 (aucun double ne fait 7). Donc \( (6+6)/36=1/3\).
Exercice 4 — Probabilité conditionnelle

Dans une classe, 40% pratiquent le sport S. Parmi eux, 70% réussissent l’examen. Parmi les autres, 50% réussissent. Probabilité qu’un élève pris au hasard réussisse ?

\(\mathbb{P}(R)=0{,}4\cdot 0{,}7 + 0{,}6\cdot 0{,}5 = 0{,}28 + 0{,}30 = 0{,}58\).
Exercice 5 — Bayes

On dépiste une maladie (prévalence 2%). Sensibilité 95%, faux positifs 3%. Probabilité qu’un positif soit réellement malade ?

\(p=0{,}02\), \(\alpha=0{,}95\), \(\beta=0{,}03\).
\(\mathbb{P}(M|+)=\dfrac{0{,}02\cdot 0{,}95}{0{,}02\cdot 0{,}95 + 0{,}98\cdot 0{,}03}\approx \dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}392\).
Exercice 6 — Indépendance

Deux événements \(A,B\) vérifient \(\mathbb{P}(A)=0{,}5\), \(\mathbb{P}(B)=0{,}4\) et \(\mathbb{P}(A\cap B)=0{,}2\). Sont-ils indépendants ?

\(\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}2=\mathbb{P}(A\cap B)\) ⇒ oui, indépendants.
Exercice 7 — Loi binomiale (calcul direct)

Dans une campagne publicitaire, probabilité de clic \(p=0{,}12\) par visite. Sur \(n=8\) visiteurs, probabilité d’exactement 2 clics ?

\(X\sim\mathcal{B}(8,0{,}12)\). \(\mathbb{P}(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}12)^2(0{,}88)^6\).
Exercice 8 — Binomiale : au moins / au plus

Avec \(X\sim\mathcal{B}(5,0{,}3)\), calculer \(\mathbb{P}(X\ge 1)\).

\(\mathbb{P}(X\ge1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(0{,}7)^5\).
Exercice 9 — Espérance & variance

Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), donner \(\mathbb{E}[X]\) et \(\mathrm{Var}(X)\). Application : \(n=20, p=0{,}1\).

\(\mathbb{E}[X]=np=2\), \(\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=1{,}8\).
Exercice 10 — Comités

On forme un comité de 5 personnes à partir de 6 femmes et 4 hommes. Combien de comités avec au moins 3 femmes ?

Cas 3F+2H : \(\binom{6}{3}\binom{4}{2}=20\cdot 6=120\).
Cas 4F+1H : \(\binom{6}{4}\binom{4}{1}=15\cdot 4=60\).
Cas 5F+0H : \(\binom{6}{5}\binom{4}{0}=6\cdot 1=6\). Total : \(186\).
Exercice 11 — Segmentation clients (Bayes)

40% des visiteurs sont “fidèles”. Taux d’achat conditionnel : 30% chez les fidèles, 8% chez les non fidèles. Si un achat a eu lieu, probabilité que le client soit fidèle ?

\(\mathbb{P}(F)=0{,}4\), \(\mathbb{P}(A|F)=0{,}3\), \(\mathbb{P}(A|\bar F)=0{,}08\).
\(\mathbb{P}(A)=0{,}4\cdot 0{,}3+0{,}6\cdot 0{,}08=0{,}12+0{,}048=0{,}168\).
\(\mathbb{P}(F|A)=\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}3}{0{,}168}\approx 0{,}714\).
Exercice 12 — Tirage sans remise

Une urne contient 5 rouges et 3 bleues. On tire 3 boules successivement sans remise. Probabilité d’obtenir exactement 2 rouges ?

Méthode combinatoire : nombre de tirages équiprobables \(\binom{8}{3}\). Favorables : choisir 2 rouges parmi 5 et 1 bleue parmi 3 : \(\binom{5}{2}\binom{3}{1}\).
\(\mathbb{P}=\dfrac{\binom{5}{2}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}=\dfrac{10\cdot 3}{56}=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}\).

9. Synthèse — points essentiels & erreurs à éviter

Mémo rapide
  • \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\), \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
  • \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\).
  • \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B\mid A)\).
  • Total : \(\mathbb{P}(B)=\sum_i \mathbb{P}(H_i)\mathbb{P}(B\mid H_i)\) (partition \(\{H_i\}\)).
  • Bayes : \(\mathbb{P}(H_k\mid B)=\dfrac{\mathbb{P}(H_k)\mathbb{P}(B\mid H_k)}{\sum_i \mathbb{P}(H_i)\mathbb{P}(B\mid H_i)}\).
  • Binomiale : \(\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(\mathbb{E}=np\), \(\mathrm{Var}=np(1-p)\).
Pièges fréquents
  • Confondre arrangements (ordre) et combinaisons (sans ordre).
  • Oublier la condition \( \mathbb{P}(B)>0 \) pour \(\mathbb{P}(A\mid B)\).
  • Prendre l’indépendance pour acquise : elle se vérifie.
  • Mélanger “sans remise” et “avec remise” (univers non équiprobables).
  • Dans la binomiale, confondre “au moins une fois” avec la somme brute au lieu d’utiliser le complément \(\mathbb{P}(X\ge1)=1-\mathbb{P}(X=0)\).
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