Limites et Continuité

Limites et Continuité - Bac Sciences Maths Maroc

Introduction

La notion de limite est fondamentale en analyse mathématique. Elle permet d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable se rapproche d'une valeur particulière, y compris l'infini. La continuité, quant à elle, décrit les fonctions qui ne présentent pas de "sauts" dans leur courbe représentative.

Ce chapitre est essentiel pour la compréhension des concepts ultérieurs en analyse, comme la dérivation et l'intégration.

1. Limite d'une fonction

1.1. Définition intuitive

On dit que la fonction f admet pour limite L lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) se rapprochent de L lorsque x se rapproche de a.

Exemple : Soit f(x) = 2x + 1. Lorsque x se rapproche de 2, f(x) se rapproche de 5. On écrit : limx→2 (2x + 1) = 5.

1.2. Définition formelle (ε-δ)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant ou adhérent à a (éventuellement excepté a lui-même).

On dit que limx→a f(x) = L si :

∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x ∈ I, si 0 < |x - a| < δ alors |f(x) - L| < ε.

Remarque : Cette définition formelle est importante pour démontrer rigoureusement les limites, mais dans la pratique courante, on utilise des techniques de calcul plus simples.

1.3. Limites unilatérales

Il est parfois nécessaire de distinguer l'approche par la droite et par la gauche :

  • Limite à droite : limx→a⁺ f(x) = Ld signifie que f(x) tend vers Ld lorsque x tend vers a avec x > a.
  • Limite à gauche : limx→a⁻ f(x) = Lg signifie que f(x) tend vers Lg lorsque x tend vers a avec x < a.

Théorème : Une fonction f admet une limite en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite en a existent et sont égales.

limx→a f(x) = L ⇔ limx→a⁺ f(x) = limx→a⁻ f(x) = L

Exemple : Soit f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x \geq 0 \\ x-1 & \text{si } x < 0 \end{cases}
En 0 : limx→0⁺ f(x) = 1, limx→0⁻ f(x) = -1. Les limites unilatérales sont différentes, donc f n'admet pas de limite en 0.

2. Limites infinies et limites à l'infini

2.1. Limites infinies

Une fonction peut tendre vers l'infini lorsque x tend vers une valeur finie :

  • limx→a f(x) = +∞ si f(x) devient arbitrairement grand lorsque x se rapproche de a.
  • limx→a f(x) = -∞ si f(x) devient arbitrairement petit (négatif) lorsque x se rapproche de a.
Exemple : limx→0⁺ (1/x) = +∞, limx→0⁻ (1/x) = -∞

2.2. Limites à l'infini

On étudie également le comportement des fonctions lorsque x tend vers ±∞ :

  • limx→+∞ f(x) = L si f(x) se rapproche de L lorsque x devient très grand.
  • limx→-∞ f(x) = L si f(x) se rapproche de L lorsque x devient très petit (négatif).
Exemple : limx→+∞ (1/x) = 0, limx→-∞ (1/x) = 0

2.3. Asymptotes

Les limites permettent de déterminer les asymptotes d'une fonction :

  • Asymptote verticale : Si limx→a f(x) = ±∞, alors la droite x = a est une asymptote verticale.
  • Asymptote horizontale : Si limx→±∞ f(x) = L, alors la droite y = L est une asymptote horizontale.
  • Asymptote oblique : Si limx→±∞ [f(x) - (ax+b)] = 0, alors la droite y = ax+b est une asymptote oblique.
Exemple : f(x) = (2x+1)/(x-3)
• Asymptote verticale : x = 3 (car limx→3 f(x) = ±∞)
• Asymptote horizontale : y = 2 (car limx→±∞ f(x) = 2)

3. Opérations sur les limites

3.1. Règles de base

Soient f et g deux fonctions telles que limx→a f(x) = L et limx→a g(x) = M :

Opération Limite Condition
Somme lim (f+g) = L + M Toujours valable
Produit lim (f×g) = L × M Toujours valable
Produit par constante lim (k×f) = k × L k ∈ ℝ
Quotient lim (f/g) = L/M M ≠ 0
Puissance lim (fn) = Ln n ∈ ℕ*
Racine lim √f = √L L ≥ 0

3.2. Formes indéterminées

Certaines combinaisons de limites ne permettent pas de conclure directement :

Les principales formes indéterminées sont :

  • ∞ - ∞
  • 0 × ∞
  • ∞/∞
  • 0/0
  • 1∞
  • 00
  • ∞0

Pour lever ces indéterminations, on utilise différentes techniques :

  • Factorisation : Pour les formes 0/0
  • Quantité conjuguée : Pour les expressions avec racines
  • Division par le terme dominant : Pour les formes ∞/∞
  • Croissance comparée : Pour comparer fonctions exponentielles, polynômes et logarithmes
Exemple 1 (forme 0/0) : limx→2 (x²-4)/(x-2) = limx→2 (x-2)(x+2)/(x-2) = limx→2 (x+2) = 4

Exemple 2 (forme ∞/∞) : limx→+∞ (3x²+2x-1)/(x²+5) = limx→+∞ (3 + 2/x - 1/x²)/(1 + 5/x²) = 3/1 = 3

3.3. Limites de fonctions usuelles

Fonction Limite en 0 Limite en +∞ Limite en -∞
xn (n>0) 0 +∞ +∞ si n pair, -∞ si n impair
1/xn (n>0) ±∞ 0 0
√x 0 +∞ Non définie
ex 1 +∞ 0
ln(x) -∞ +∞ Non définie
sin(x) 0 Pas de limite Pas de limite
cos(x) 1 Pas de limite Pas de limite

3.4. Limites remarquables

limx→0 sin(x)/x = 1
limx→0 (ex - 1)/x = 1
limx→0 ln(1+x)/x = 1
limx→±∞ (1 + 1/x)x = e
Démonstration de limx→0 sin(x)/x = 1 :

On utilise le cercle trigonométrique. Pour x petit (en radians), on a les inégalités :

sin(x) ≤ x ≤ tan(x)

En divisant par sin(x) > 0 (pour x > 0 petit) :

1 ≤ x/sin(x) ≤ 1/cos(x)

Comme limx→0 cos(x) = 1, par le théorème des gendarmes, limx→0 x/sin(x) = 1, donc limx→0 sin(x)/x = 1.

Le cas x → 0⁻ se traite de manière similaire.

4. Continuité des fonctions

4.1. Définition

Une fonction f est continue en un point a si :

  1. f est définie en a (a ∈ Df)
  2. limx→a f(x) existe
  3. limx→a f(x) = f(a)

Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.

Exemple :
• f(x) = x² est continue sur ℝ.
• g(x) = 1/x est continue sur ]-∞,0[ ∪ ]0,+∞[ mais pas en 0.

4.2. Continuité à droite et à gauche

On dit que f est :

  • Continue à droite en a si limx→a⁺ f(x) = f(a)
  • Continue à gauche en a si limx→a⁻ f(x) = f(a)

Théorème : f est continue en a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en a.

4.3. Opérations sur les fonctions continues

Si f et g sont continues en a, alors :

  • f + g est continue en a
  • f × g est continue en a
  • f/g est continue en a (si g(a) ≠ 0)
  • f ∘ g (composition) est continue en a

4.4. Fonctions continues usuelles

Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :

  • Fonctions polynomiales
  • Fonctions rationnelles (sur leur domaine)
  • Fonctions racine n-ième
  • Fonctions trigonométriques (sin, cos, tan sur son domaine)
  • Fonctions exponentielles et logarithmiques

5. Théorèmes fondamentaux sur la continuité

5.1. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.

Exemple : Montrer que l'équation x³ + x - 1 = 0 admet une solution dans [0,1].
Soit f(x) = x³ + x - 1. f est continue sur [0,1] (comme fonction polynomiale).
f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0.
D'après le TVI, il existe c ∈ [0,1] tel que f(c) = 0.

5.2. Cas particulier : Théorème de Bolzano

Théorème de Bolzano : Si f est continue sur [a,b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a,b[.

5.3. Théorème des bornes (Weierstrass)

Théorème : Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, il existe m, M ∈ [a,b] tels que :

f(m) = minx∈[a,b] f(x) et f(M) = maxx∈[a,b] f(x)

Remarque : Ce théorème n'est pas valable si l'intervalle n'est pas fermé. Par exemple, f(x) = 1/x n'est pas bornée sur ]0,1].

5.4. Prolongement par continuité

Si f est définie sur I\{a} et si limx→a f(x) = L existe, alors on peut définir une nouvelle fonction :

g(x) = {

  • f(x) si x ≠ a
  • L si x = a

}

La fonction g est continue en a et s'appelle le prolongement par continuité de f en a.

Exemple : f(x) = sin(x)/x n'est pas définie en 0, mais limx→0 f(x) = 1.
On peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant g(0) = 1.

6. Applications et exercices types

Exercice 1 : Calcul de limites

Calculer les limites suivantes :

  1. limx→2 (x³ - 8)/(x - 2)
  2. limx→+∞ (√(x²+x+1) - x)
  3. limx→0 (e2x - 1)/sin(3x)
Conseils :
1. Factoriser x³-8 (identité remarquable a³-b³).
2. Utiliser la quantité conjuguée.
3. Utiliser les limites remarquables de ex-1 et sin(x).

Exercice 2 : Étude de continuité

Soit la fonction f définie par :

f(x) = {

  • sin(x)/x si x ≠ 0
  • k si x = 0

}

Déterminer k pour que f soit continue sur ℝ.

Exercice 3 : Application du TVI

Montrer que l'équation x³ - 3x + 1 = 0 admet trois solutions réelles.

Conseil : Étudier les variations de la fonction f(x) = x³ - 3x + 1 et appliquer le TVI sur des intervalles appropriés.

Exercice 4 : Asymptotes

Déterminer les asymptotes de la fonction f(x) = (2x² - 3x + 1)/(x - 2).

Exercice 5 : Prolongement par continuité

La fonction f(x) = (√(1+x) - √(1-x))/x est-elle prolongeable par continuité en 0? Si oui, définir ce prolongement.

7. Synthèse et conseils méthodologiques

7.1. Méthode pour calculer une limite

  1. Vérifier le domaine de définition de la fonction
  2. Identifier la forme (déterminée ou indéterminée)
  3. Simplifier l'expression si possible (factorisation, quantité conjuguée)
  4. Utiliser les limites usuelles et remarquables
  5. Conclure avec précision

7.2. Méthode pour étudier la continuité

  1. Vérifier que la fonction est définie au point considéré
  2. Calculer la limite en ce point (éventuellement limites unilatérales)
  3. Comparer la limite avec la valeur de la fonction
  4. Conclure sur la continuité

7.3. Points clés à retenir

  • La limite décrit le comportement local d'une fonction
  • La continuité assure l'absence de "saut" dans le graphique
  • Le TVI est un outil puissant pour prouver l'existence de solutions
  • Les formes indéterminées nécessitent des techniques spécifiques
  • La maîtrise des limites remarquables facilite grandement les calculs

Pour le baccalauréat marocain : Préparez-vous particulièrement aux exercices combinant limites, continuité et TVI, fréquents dans les sujets d'examen. Maîtrisez bien les techniques de levée d'indétermination et la démonstration d'existence de solutions d'équations.