دراسة الدوال وتمثيلها المبياني

1) أهمية دراسة الدوال وتمثيلها المبياني

  • فهم كيفية تغيّر الكمية مع الزمن أو المسافة أو أي متغير آخر.
  • حل معادلات ومتراجحات من الشكل \(f(x)=k\)، \(f(x)\ge k\)، \(f(x)\le g(x)\) بطريقة بيانية.
  • تفسير الظواهر الفيزيائية (حركة، شدة تيار، توتر كهربائي، …) انطلاقاً من منحنى تجريبي أو نظري.

في الامتحان الوطني، أسئلة الدوال غالباً تمزج بين حسابات جبرية وقراءة المبيان، لذلك يجب أن تتقن الجانبين معاً.

2) تعريف الدالة، مجال التعريف والصورة

تعريف دالة عددية

دالة عددية \(f\) هي تطبيق يربط كل عدد حقيقي \(x\) من مجال التعريف \(D_f\) بعدد حقيقي واحد ووحيد \(f(x)\)، يسمى صورة \(x\) بالدالة \(f\).

مجال التعريف \(D_f\)

مجموعة القيم المسموح بها لـ\(x\) والتي يكون فيها التعبير \(f(x)\) ذا معنى حقيقي.

  • في دالة كسرية \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\): ممنوع \(Q(x)=0\).
  • في دالة جذرية \(\sqrt{u(x)}\): يجب أن يكون \(u(x)\ge0\).
  • في \(\ln x\): المجال \(]0,+\infty[\).

أمثلة سريعة

  • \(f(x)=x^2-3x+1\) ⇒ \(D_f=\mathbb{R}\) (كثيرة حدود).
  • \(g(x)=\dfrac{1}{x-2}\) ⇒ \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
  • \(h(x)=\sqrt{2x-1}\) ⇒ \(2x-1\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(D_h=[\tfrac12,+\infty[\).

3) جدول القيم والتمثيل المبياني في معلم متعامد

أبسط طريقة لبناء منحنى دالة هي استعمال جدول قيم: نختار بعض القيم لـ\(x\)، نحسب قيم \(f(x)\)، ثم نمثل النقط \((x,f(x))\) في معلم، وأخيراً نصل بينها بسلاسة.

مثال: \(f(x)=x^2\)

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(f(x)=x^2\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\)

النقط الممثلة هي \((-2,4)\)، \((-1,1)\)، \((0,0)\)، \((1,1)\)، \((2,4)\). بربطها نحصل على قطع مكافئ ذروته عند \(O(0,0)\).

O
منحنى \(y=x^2\): تقعر إلى الأعلى وقيم موجبة ما عدا عند الأصل.

4) قراءة المعلومات من التمثيل المبياني

قراءة قيم وصور

  • لإيجاد \(f(a)\) نبحث عن النقطة ذات الفاصلة \(a\) على المحور الأفقي، نصعد/ننزل حتى المنحنى ثم نقرأ الإحداثية العمودية.
  • لإيجاد حلول المعادلة \(f(x)=k\)، نرسم المستقيم الأفقي \(y=k\) ونبحث عن نقاط التقاطع مع المنحنى.

حل متراجحات بيانيًا

  • حل \(f(x)\ge k\) يمثّل مجموعة القيم \(x\) التي تقع فيها نقاط المنحنى فوق أو على المستقيم \(y=k\).
  • لحل \(f(x)\ge g(x)\)، نقارن بين منحنيي \(f\) و\(g\) (أين يكون منحنى \(f\) فوق \(g\)).

مثال نمطي

إذا أعطى التمرين مبيان \(C_f\) وطلب «حل بيانيًا \(f(x)=2\)»: نرسم مستقيمًا أفقيًا يمر من النقطة \(y=2\)، ثم نقرأ فواصل نقط التقاطع مع \(C_f\).

5) التزايد، التناقص والقيم القصوى انطلاقاً من المبيان

تعريفات

  • تكون \(f\) متزايدة على مجال \(I\) إذا كان \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\) لكل \(x_1,x_2\in I\).
  • تكون \(f\) متناقصة إذا كان \(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)\).
  • \(f(a)\) قيمة قصوى إذا كانت أكبر من أو تساوي كل قيم \(f(x)\) المجاورة لـ\(a\).
  • \(f(a)\) قيمة دنيا إذا كانت أصغر من أو تساوي القيم المجاورة.

قراءة التزايد/التناقص من المنحنى

  • إذا تحركت على المنحنى من اليسار إلى اليمين وكان المنحنى «يصعد» ⇒ \(f\) متزايدة.
  • إذا كان «ينزل» ⇒ \(f\) متناقصة.
  • قمة المنحنى تقابل غالباً قيمة قصوى، و«قاع» المنحنى ⇐ قيمة دنيا.

في كثير من التمارين، يُعطى لك جدول التغيرات وتُطلب منك رسم منحنى تقريبي، أو العكس.

6) تمثيل بعض الدوال الأساسية المستعملة في البرنامج

دوال اعتيادية

  • \(y=ax+b\): مستقيم ميوله \(a\)، إذا \(a>0\) ⇒ متزايد، إذا \(a<0\) ⇒ متناقص.
  • \(y=x^2\): قطع مكافئ مفتوح للأعلى، متماثل حول محور \(Oy\)، أدنى قيمة في \(x=0\).
  • \(y=\dfrac{1}{x}\): فرعان في الربعين الأول والثالث، ممنوع \(x=0\)، مستقيمتا المقاربة: \(x=0\) و\(y=0\).
  • \(y=\sqrt{x}\): منطلق من \((0,0)\)، متزايد وبطيء، المجال \(x\ge0\).

مثال: مقارنة دالتين

بمقارنة منحنيي \(y=x\) و\(y=x^2\) نلاحظ أن: \[ x^2\le x \quad \text{على }[0,1],\qquad x^2\ge x \quad \text{على }[1,+\infty[. \] هذا النوع من الملاحظات يستعمل بكثرة في حل المتراجحات.

7) تأثير معاملات من الشكل \(a f(x)+b\)، \(f(x-h)\)، \(f(-x)\) على التمثيل المبياني

تحويلات أساسية على المنحنى

  • \(y=f(x)+k\): إزاحة عمودية للأعلى إذا \(k>0\)، وللأسفل إذا \(k<0\).
  • \(y=f(x-h)\): إزاحة أفقية نحو اليمين بمقدار \(h\) إذا \(h>0\).
  • \(y=a f(x)\): تضخيم عمودي إذا \(|a|>1\)، أو تصغير إذا \(0<|a|<1\).
  • \(y=-f(x)\): تناظر بالنسبة لمحور \(Ox\).
  • \(y=f(-x)\): تناظر بالنسبة لمحور \(Oy\).

مثال تطبيقي

إذا كان لدينا منحنى \(C\) لـ\(y=x^2\)، فإن منحنى \(y=x^2+3\) هو نفسه لكن مرفوع بـ3 وحدات، بينما \(y=(x-2)^2\) هو نفس المنحنى لكن مزاح وحدتين نحو اليمين.

8) استعمال التمثيل المبياني لحل المعادلات والمتراجحات

معادلات من الشكل \(f(x)=k\)

عدد حلول المعادلة يساوي عدد نقط التقاطع بين منحنى \(C_f\) والمستقيم \(y=k\). تقريب الحلول يكون بقراءة فواصل هذه النقط.

متراجحات من الشكل \(f(x)\ge k\)

مجموعة حلول المتراجحة \(f(x)\ge k\) هي مجموعة القيم \(x\) التي تكون فيها نقاط منحنى \(C_f\) على أو فوق المستقيم \(y=k\).

تطبيق على متراجحة بين دالتين

لحل \(f(x)\ge g(x)\) بيانيًا، ننظر إلى المواضع التي يكون فيها منحنى \(f\) أعلى من منحنى \(g\)، ونقرأ الفواصل الموافقة.

9) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصلة

التمرين 1 — تحديد المجال من التعبير الجبري

أوجد مجال التعريف لكل من الدالتين التاليتين:

  1. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\)
  2. \(g(x)=\sqrt{5-2x}\)

1) في \(f\)، المقام \(x+3\neq0\Rightarrow x\neq-3\) ⇒ \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\). 2) في \(g\)، يجب \(5-2x\ge0\Rightarrow -2x\ge-5\Rightarrow x\le\dfrac{5}{2}\) ⇒ \(D_g=(-\infty,\tfrac{5}{2}]\).

التمرين 2 — جدول قيم وبناء منحنى تقريبي

اعتبر الدالة \(f(x)=x^2-1\).
1) أنشئ جدول قيم لـ\(x\in\{-2,-1,0,1,2\}\).
2) مثّل النقاط في معلم متعامد وارسم منحنى تقريبيًا.

1) القيم:

  • \(f(-2)=4-1=3\)
  • \(f(-1)=1-1=0\)
  • \(f(0)=-1\)
  • \(f(1)=1-1=0\)
  • \(f(2)=4-1=3\)

2) بوصل النقط نحصل على قطع مكافئ مفتوح للأعلى، ذروته عند \((0,-1)\)، يقطع محور \(Ox\) في \(-1\) و\(1\).

التمرين 3 — قراءة قيمة من مبيان

يعطى منحنى دالة \(f\) ونعلم أن النقطة ذات الفاصلة \(2\) تنتمي إلى المنحنى ولها الإحداثية \(y=3\). ما قيمة \(f(2)\) ؟ هل يمكننا استنتاج قيمة \(f(1{,}5)\) بدقة من المبيان؟

بما أن النقطة \((2,3)\) تنتمي إلى المنحنى ⇒ \(f(2)=3\). أما \(f(1{,}5)\) فيمكن تقريبها من خلال قراءة تقريبية من المبيان، لكنها ليست بالضرورة دقيقة إذا لم يكن الرسم مضبوطاً.

التمرين 4 — حل معادلة بيانيًا

لدينا مبيان دالة \(f\) والقطعة المستقيمة الأفقية \(y=1\). تقاطع المستقيم مع منحنى \(f\) في النقطتين \(A(-1,1)\) و\(B(3,1)\). استنتج حلول المعادلة \(f(x)=1\).

حلول المعادلة \(f(x)=1\) هي فواصل نقط التقاطع: \(\{x\in\mathbb{R}; f(x)=1\}=\{-1,3\}.\)

التمرين 5 — حل متراجحة من الشكل \(f(x)\ge k\)

على نفس المبيان السابق، حدد مجموعة حلول المتراجحة \(f(x)\ge1\).

نبحث عن المناطق التي يكون فيها منحنى \(f\) فوق أو على المستقيم \(y=1\). نفترض أن ذلك يحدث على المجالين \((-\infty,-1]\) و\([3,+\infty)\) (حسب الرسم). إذن حلول المتراجحة تقريبًا: \(x\le-1\) أو \(x\ge3\).

التمرين 6 — التزايد والتناقص من جدول التغيرات

أعطيت دالة \(f\) على \([-2,4]\) بجدول التغيرات التالي (رمزيًا في التمرين): متزايدة على \([-2,0]\)؛ متناقصة على \([0,2]\)؛ متزايدة على \([2,4]\). حدد القيم القصوى على المجال.

من خلال الجدول:
– في الانتقال من \([-2,0]\) متزايدة ⇒ \(f(0)\) أكبر من قيم \([-2,0[\).
– ثم متناقصة على \([0,2]\) ⇒ \(f(0)\) أكبر من قيم \]0,2] كذلك. إذن \(f(0)\) قيمة قصوى (أكبر قيمة).
– بين \([0,2]\) متناقصة ثم \([2,4]\) متزايدة ⇒ \(f(2)\) أدنى قيمة ⇒ قيمة دنيا على \([-2,4]\).

التمرين 7 — تأثير إزاحة عمودية

لدينا منحنى \(C\) لـ\(y=f(x)\). نريد بناء منحنى \(C_1\) لـ\(y=f(x)+2\). كيف يتغير المبيان؟

كل نقطة \((x,f(x))\) على \(C\) تتحول إلى \((x,f(x)+2)\) على \(C_1\). إذن \(C_1\) هو نفس المنحنى لكن مرفوع بالكامل بوحدتين للأعلى (إزاحة عمودية).

التمرين 8 — تأثير إزاحة أفقية

اعتبر الدالة \(g(x)=f(x-1)\). إذا عرفنا منحنى \(f\)، كيف نبني منحنى \(g\)؟ اشرح بيانيًا دون حساب.

الدالة \(g(x)=f(x-1)\) تمثل إزاحة أفقية نحو اليمين بمقدار 1: كل نقطة \((a,f(a))\) تتحول إلى \((a+1,f(a))\) على منحنى \(g\).

التمرين 9 — تناظر بالنسبة لمحور Oy

إذا كان \(C_f\) هو منحنى \(y=f(x)\)، فما هو منحنى الدالة \(y=f(-x)\) بالنسبة لـ\(C_f\)؟

منحنى \(y=f(-x)\) هو صورة منحنى \(f\) بتناظر محور \(Oy\): النقطة \((a,f(a))\) تصبح \((-a,f(a))\).

التمرين 10 — مقارنة دالتين من المبيان

على نفس المعلم، يمثَّل منحنيَا دالتين \(f\) و\(g\). على المجال \([0,3]\)، منحنى \(f\) يوجد فوق منحنى \(g\). ماذا تستنتج حول إشارة \(f(x)-g(x)\) على هذا المجال؟

إذا كان منحنى \(f\) فوق منحنى \(g\) ⇒ \(f(x)\ge g(x)\) لكل \(x\in[0,3]\). إذن \(f(x)-g(x)\ge0\) على \([0,3]\).

التمرين 11 — استعمال الدالة في سياق فيزيائي

يصف منحنى دالة \(h(t)\) (بوحدة المتر) موضع جسم بدلالة الزمن \(t\) (بالثواني).
1) كيف نقرأ المسافة المقطوعة عند \(t=4\) ث؟
2) كيف نقدر الزمن الذي يصبح فيه الجسم على ارتفاع \(10\) أمتار تقريبًا؟

1) نبحث عن النقطة ذات الفاصلة \(t=4\) على المحور الأفقي، نصعد إلى المنحنى ثم نقرأ الإحداثية العمودية \(h(4)\). 2) نرسم مستقيماً أفقيًا \(y=10\)، ثم نحدد نقاط التقاطع مع المنحنى ونقرأ الفواصل الموافقة (قيم \(t\)).

التمرين 12 — تمرين شامل (مجال، تغيرات، حل متراجحة)

لتكن \(f(x)=x^2-2x-3\).
1) حدد مجال التعريف.
2) ادرس إشارة \(f(x)\) باستعمال المبيان أو التحليل الجبري.
3) استنتج حلول المتراجحة \(f(x)\ge0\).

1) \(f\) كثيرة حدود ⇒ \(D_f=\mathbb{R}\). 2) نحل المعادلة \(x^2-2x-3=0\):

\(\Delta=4+12=16\Rightarrow x_{1}=\dfrac{2-4}{2}=-1,\quad x_{2}=\dfrac{2+4}{2}=3.\)

القطع المكافئ مفتوح للأعلى ⇒ \(f(x)\ge0\) خارج الجذرين و\(f(x)\le0\) بينهما. 3) حلول \(f(x)\ge0\) هي: \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\).

10) خلاصة — ما يجب حفظه عن دراسة الدوال وتمثيلها المبياني

  • مجال التعريف \(D_f\) يحدد القيم المسموح بها لـ\(x\) (تُحسب من القيود على المقامات، الجذور، اللوغاريتم…).
  • التمثيل المبياني للدالة هو منحنى نقاطه \((x,f(x))\) في معلم متعامد.
  • من المبيان يمكن قراءة \(f(a)\)، حلول \(f(x)=k\)، \(f(x)\ge k\)، التزايد والتناقص والقيم القصوى.
  • الدوال الأساسية (خطية، تربيعية، مقلوب، جذرية…) يجب أن تعرف شكلها العام وتأثير المعاملات عليها.
  • تحويلات من الشكل \(a f(x)+b\)، \(f(x-h)\)، \(f(-x)\) تسمح ببناء منحنيات جديدة انطلاقاً من منحنى معروف.
  • في التطبيقات الفيزيائية، المحور الأفقي غالباً هو الزمن أو المسافة، والمحور العمودي هو كمية فيزيائية (موضع، شدة، توتر…).

2 باك علوم فيزيائية — دراسة الدوال وتمثيلها المبياني — neobac.ma