الدوال الأصلية

1) مقدمة: لماذا نحتاج إلى الدوال الأصلية؟

في محور التحليل في 2 باك علوم فيزيائية، ندرس ثلاث أفكار مترابطة: الاشتقاق، الدوال الأصلية، وحساب التكامل. إذا كانت المشتقة تعطي سرعة تغيّر الدالة، فإن الدالة الأصلية تقوم بالعكس: تعيدنا من المشتقة إلى الدالة “الأصلية”.

  • إذا كانت \(f'(x)=2x\)، فدالة من الشكل \(F(x)=x^2\) هي دالة أصلية لـ\(2x\).
  • سيُستعمل مفهوم الدوال الأصلية لحل معادلات تفاضلية بسيطة من النوع \(y'=f(x)\).
  • كما أنه الأداة النظرية الأساسية لتعريف التكامل المحدد \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).

لا تنس: في هذا المحور نعمل دائماً على مجال مفتوح \(I\) من \(\mathbb{R}\)، مثل \(]0,+\infty[\) أو \(]a,b[\).

2) تعريف الدالة الأصلية ومبرهنة الوجود

تعريف

لتكن \(f\) دالة معرفة على مجال مفتوح \(I\). نقول إن دالة \(F\) هي دالة أصلية لـ\(f\) على \(I\) إذا كانت:

\[ \forall x\in I,\quad F'(x)=f(x). \]

مبرهنة (وجود الدوال الأصلية)

إذا كانت \(f\) دالة متصلة على مجال مفتوح \(I\)، فإنه توجد على الأقل دالة أصلية واحدة لـ\(f\) على \(I\).

مثال بسيط

لتكن \(f(x)=2x\) على \(\mathbb{R}\). نعلم أن مشتقة \(x^2\) هي \(2x\)، إذن \(F(x)=x^2\) دالة أصلية لـ\(f\) على \(\mathbb{R}\).

في 2 باك علوم فيزيائية، سنهتم فقط بدوال متصلة بسيطة (كثيرات حدود، أسية، مثلثية…) يُعطى جدول الدوال الأصلية الأساسية لها في الدرس.

3) عائلة الدوال الأصلية وثابت التكامل

ثابت التكامل

إذا كانت \(F\) دالة أصلية لـ\(f\) على المجال \(I\)، فإن كل دالة من الشكل \[ G(x)=F(x)+C,\quad C\in\mathbb{R} \] هي أيضًا دالة أصلية لـ\(f\) على \(I\) لأن مشتقة الثابت \(C\) هي 0.

مبرهنة (وصف جميع الدوال الأصلية)

إذا كانت \(F\) و\(G\) دالتين أصليتين لـ\(f\) على نفس المجال المتصل \(I\)، فإن هناك عددًا حقيقيًا ثابتًا \(C\) بحيث:

\[ \forall x\in I,\quad G(x)=F(x)+C. \]

أي أن جميع الدوال الأصلية لـ\(f\) تختلف فقط بثابت.

مثال عددي

لِـ\(f(x)=2x\) على \(\mathbb{R}\)، لدينا عائلة الدوال الأصلية: \[ F(x)=x^2+C,\quad C\in\mathbb{R}. \] كلها لها نفس المشتقة \(2x\).

4) جدول الدوال الأصلية الأساسية (مستوى 2 باك)

هذا الجدول يجب حفظه جيدًا، لأنه نقطة الانطلاق لكل حسابات الدوال الأصلية والتكامل:

الدالة \(f(x)\) دالة أصلية \(F(x)\) شرط على \(x\)
\(f(x)=0\) \(F(x)=C\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=1\) \(F(x)=x\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=x^n\) مع \(n\neq-1\) \(\displaystyle F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\) \(F(x)=\ln|x|\) \(x\neq0\)
\(f(x)=e^x\) \(F(x)=e^x\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=\cos x\) \(F(x)=\sin x\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=\sin x\) \(F(x)=-\cos x\) \(x\in\mathbb{R}\)
\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) \(F(x)=\arctan x\) \(x\in\mathbb{R}\)

للحفظ: هذا الجدول هو “عكس” جدول المشتقات الذي تعرفه مسبقًا. مثلاً، بما أن \((\sin x)'=\cos x\)، فدالة أصلية لـ\(\cos x\) هي \(\sin x\).

5) خصائص حسابية للدوال الأصلية

خطية الدوال الأصلية

لتكن \(f\) و\(g\) دالتين متصلتين على مجال \(I\)، و\(a,b\in\mathbb{R}\). إذا كانت \(F\) دالة أصلية لـ\(f\)، و\(G\) دالة أصلية لـ\(g\)، فإن:

\[ H(x)=aF(x)+bG(x) \]

هي دالة أصلية لـ\(af(x)+bg(x)\) على \(I\).

مثال

نريد دالة أصلية لـ\(3x^2-4x\). نعرف أن: \[ \int x^2\,\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3},\qquad \int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}. \] باستعمال الخطية: \[ \int(3x^2-4x)\,\mathrm{d}x =3\int x^2\,\mathrm{d}x-4\int x\,\mathrm{d}x =3\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^2}{2} =x^3-2x^2+C. \]

إضافة ثابت داخل الدالة

لا توجد قاعدة بسيطة لـ\(f(x)+c\) بصفة عامة؛ يجب الرجوع إلى التعبير الجبري وحساب دالة أصلية مباشرة من التعريف أو التفكيك.

6) تغير بسيط للمتغير: دالة من الشكل \(f(ax+b)\)

قاعدة أساسية

لتكن \(f\) دالة متصلة ولها دالة أصلية \(F\) على مجال \(J\)، ولنأخذ \(a\neq0\) و\(b\in\mathbb{R}\). إذا كان المجال \(I\) بحيث \(ax+b\in J\) لكل \(x\in I\)، فإن دالة من الشكل:

\[ G(x)=\frac{1}{a}F(ax+b) \]

هي دالة أصلية للدالة \(g(x)=f(ax+b)\) على \(I\).

مثال 1: دالة من الشكل \(\cos(2x+1)\)

نعلم أن دالة أصلية لـ\(\cos u\) هي \(\sin u\). نضع \(u=2x+1\) ⇒ دالة أصلية لـ\(\cos(2x+1)\) هي: \[ \frac{1}{2}\sin(2x+1)+C. \]

مثال 2: دالة من الشكل \(\dfrac{1}{x-3}\)

لدينا دالة أصلية لـ\(\dfrac{1}{u}\) هي \(\ln|u|\). بوضع \(u=x-3\): \[ \int \frac{1}{x-3}\,\mathrm{d}x=\ln|x-3|+C. \] (هنا لا نحتاج إلى \(\tfrac{1}{a}\) لأن \(a=1\)).

7) استعمال الدوال الأصلية لحل معادلات تفاضلية بسيطة

نعتبر معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى من الشكل: \[ y'=f(x), \] حيث \(f\) دالة متصلة على مجال \(I\).

الحل العام

إذا كانت \(F\) دالة أصلية لـ\(f\) على \(I\)، فإن جميع حلول المعادلة التفاضلية على \(I\) هي: \[ y(x)=F(x)+C,\quad C\in\mathbb{R}. \]

مثال مع شرط ابتدائي

نريد حل: \[ y'=2x,\quad y(0)=3. \] دالة أصلية لـ\(2x\) هي \(x^2\)، إذن الحل العام: \[ y(x)=x^2+C. \] نستعمل الشرط \(y(0)=3\): \[ 3=y(0)=0^2+C\Rightarrow C=3. \] إذن الحل الخاص: \[ y(x)=x^2+3. \]

9) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصلة

التمرين 1 — دوال أصلية لكثيرات حدود بسيطة

أوجد دالة أصلية لكل من الدوال التالية على \(\mathbb{R}\):

  1. \(f(x)=3x^2\)
  2. \(g(x)=4x^3-2x+5\)

1) باستخدام القاعدة \(\displaystyle \int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}\): \[ \int 3x^2\,\mathrm{d}x = 3\cdot\frac{x^3}{3}=x^3+C. \] 2) نحسب كل حد على حدة: \[ \int(4x^3-2x+5)\,\mathrm{d}x= 4\cdot\frac{x^4}{4}-2\cdot\frac{x^2}{2}+5x =x^4-x^2+5x+C. \]

التمرين 2 — استعمال الخطية

أوجد دالة أصلية للدالة \(f(x)=5x^2-7x+1\) على \(\mathbb{R}\).

باستعمال الخطية: \[ \int(5x^2-7x+1)\,\mathrm{d}x= 5\int x^2\,\mathrm{d}x-7\int x\,\mathrm{d}x+\int1\,\mathrm{d}x =5\cdot\frac{x^3}{3}-7\cdot\frac{x^2}{2}+x+C. \] إذن دالة أصلية هي: \[ F(x)=\frac{5}{3}x^3-\frac{7}{2}x^2+x+C. \]

التمرين 3 — دالة من الشكل \(\dfrac{1}{x}\)

أوجد دالة أصلية لـ\(f(x)=\dfrac{2}{x}\) على \(\mathbb{R}^\ast\).

نعرف أن دالة أصلية لـ\(\dfrac{1}{x}\) هي \(\ln|x|\)، إذن: \[ \int \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x = 2\ln|x|+C,\quad x\neq0. \]

التمرين 4 — دوال مثلثية

أوجد دالة أصلية لكل من الدالتين التاليتين على \(\mathbb{R}\):

  1. \(f(x)=3\cos x\)
  2. \(g(x)=2\sin x-4\cos x\)

1) دالة أصلية لـ\(\cos x\) هي \(\sin x\): \[ \int3\cos x\,\mathrm{d}x=3\sin x+C. \] 2) نستعمل الخطية: \[ \int(2\sin x-4\cos x)\,\mathrm{d}x= 2\int\sin x\,\mathrm{d}x-4\int\cos x\,\mathrm{d}x =2(-\cos x)-4\sin x+C =-2\cos x-4\sin x+C. \]

التمرين 5 — تغيير بسيط للمتغير

أوجد دالة أصلية للدالة \(f(x)=\cos(2x+\pi)\).

نضع \(u=2x+\pi\) ⇒ \(u'(x)=2\). دالة أصلية لـ\(\cos u\) هي \(\sin u\)، إذن: \[ \int\cos(2x+\pi)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\sin(2x+\pi)+C. \]

التمرين 6 — دالة من الشكل \(\dfrac{1}{ax+b}\)

أوجد دالة أصلية لـ\(f(x)=\dfrac{3}{2x-1}\) على المجال \(I=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{2}\}\).

نضع \(u=2x-1\) ⇒ \(u'(x)=2\). دالة أصلية لـ\(\dfrac{1}{u}\) هي \(\ln|u|\)، إذن: \[ \int\frac{3}{2x-1}\,\mathrm{d}x= \frac{3}{2}\ln|2x-1|+C. \]

التمرين 7 — دالة أسية

أوجد دالة أصلية لـ\(f(x)=5e^{2x}\).

نعلم أن دالة أصلية لـ\(e^{2x}\) هي \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\)، إذن: \[ \int5e^{2x}\,\mathrm{d}x=5\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=\frac{5}{2}e^{2x}+C. \]

التمرين 8 — معادلة تفاضلية من الشكل \(y'=f(x)\)

حل المعادلة التفاضلية: \[ y'=3x^2-2,\quad \text{على } \mathbb{R}. \]

نبحث عن دالة أصلية لـ\(3x^2-2\): \[ \int(3x^2-2)\,\mathrm{d}x=x^3-2x+C. \] إذن الحل العام: \[ y(x)=x^3-2x+C. \]

التمرين 9 — معادلة تفاضلية مع شرط ابتدائي

حل المعادلة: \[ y'=e^x,\quad y(0)=2. \]

دالة أصلية لـ\(e^x\) هي \(e^x\) نفسه، إذن الحل العام: \[ y(x)=e^x+C. \] نستعمل الشرط \(y(0)=2\): \[ 2=y(0)=e^0+C=1+C\Rightarrow C=1. \] إذن الحل الخاص: \[ y(x)=e^x+1. \]

التمرين 10 — استعمال الدالة الأصلية لحساب تكامل

باستعمال الدوال الأصلية، احسب التكامل: \[ \int_0^2 (2x+1)\,\mathrm{d}x. \]

أولاً نأخذ دالة أصلية لـ\(2x+1\): \[ F(x)=x^2+x. \] ثم: \[ \int_0^2(2x+1)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=(4+2)-(0+0)=6. \]

التمرين 11 — دالة من الشكل \(\dfrac{1}{1+x^2}\)

أوجد دالة أصلية لـ\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) ثم استعملها لحساب \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

من الجدول: دالة أصلية لـ\(\dfrac{1}{1+x^2}\) هي \(\arctan x\). إذن: \[ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}. \]

التمرين 12 — تمرين شامل

لتكن \(f(x)=x-1+\dfrac{2}{x}\) معرفة على \(\mathbb{R}^\ast\).
1) أكتب \(f(x)\) كمجموع ثلاث دوال بسيطة.
2) أوجد دالة أصلية لـ\(f\) على \(\mathbb{R}^\ast\).
3) احسب التكامل: \[ \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x. \]

1) لدينا ببساطة: \[ f(x)=x+(-1)+\frac{2}{x}. \] 2) نحسب دالة أصلية لكل جزء: \[ \int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2},\quad \int(-1)\,\mathrm{d}x=-x,\quad \int\frac{2}{x}\,\mathrm{d}x=2\ln|x|. \] إذن دالة أصلية لـ\(f\) هي: \[ F(x)=\frac{x^2}{2}-x+2\ln|x|+C. \] 3) التكامل: \[ \int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(1) =\left(\frac{4}{2}-2+2\ln2\right)-\left(\frac{1}{2}-1+2\ln1\right). \] نعلم أن \(\ln1=0\)، إذن: \[ F(2)-F(1)=(2-2+2\ln2)-\left(\frac{1}{2}-1\right) =2\ln2-\left(-\frac{1}{2}\right) =2\ln2+\frac{1}{2}. \]

10) خلاصة — ما يجب تذكّره حول الدوال الأصلية

  • دالة أصلية لـ\(f\) على مجال \(I\) هي دالة \(F\) تحقق \(F'(x)=f(x)\) لكل \(x\in I\).
  • إذا كانت \(F\) دالة أصلية لـ\(f\)، فإن جميع الدوال الأصلية لـ\(f\) هي \(F(x)+C\) مع \(C\in\mathbb{R}\).
  • يجب حفظ جدول الدوال الأصلية الأساسية (قوى، \(\dfrac{1}{x}\)، \(e^x\)، \(\sin x\)، \(\cos x\)، \(\dfrac{1}{1+x^2}\)…).
  • خاصية الخطية أساسية: يمكن حساب دالة أصلية لمجموع دوال بتجميع الدوال الأصلية لكل جزء.
  • قاعدة التغيير البسيط للمتغير تمكن من معالجة \(f(ax+b)\) بسرعة.
  • حل المعادلات التفاضلية من الشكل \(y'=f(x)\) يعتمد مباشرة على إيجاد دالة أصلية لـ\(f\).
  • في حساب التكامل، سنستعمل العلاقة \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\)، حيث \(F\) دالة أصلية لـ\(f\).

2 باك علوم فيزيائية — الدوال الأصلية — neobac.ma