الأعداد العقدية (الجزء الثاني)

1) مقدمة — ماذا نضيف في «الأعداد العقدية (الجزء الثاني)»؟

في الجزء الأول، تعرّفنا على:

  • الشكل الجبري لعدد عقدي: \(z=a+ib\) مع \(a,b\in\mathbb{R}\).
  • تمثيل عدد عقدي في المستوى العقدي.
  • المرافق، والجزء الحقيقي والتخيلي، والحسابات الأساسية.

في هذا الجزء الثاني، ننتقل إلى أدوات أقوى ومباشرة مرتبطة ببرنامج 2 باك علوم فيزيائية:

  • الشكل المثلثي (أو القطبي) لعدد عقدي غير منعدم.
  • صيغة دو موافر وحساب القوى.
  • استخراج الجذور \(n\)-ية لعدد عقدي.
  • التفسير الهندسي: الدوران والتشابه بواسطة الأعداد العقدية.

في الامتحان الوطني، غالبًا ما تُستعمل الأعداد العقدية لترميز نقاط ومستقيمات ودورانات في المستوى، ولحل مسائل هندسية (مثل إثبات أن مثلثًا متساوي الأضلاع أو قائم...) بطريقة حسابية.

2) الشكل المثلثي لعدد عقدي غير منعدم

المسافة (المعيار) والزاوية (الـحجة)

إذا كان: \[ z=a+ib\neq0,\quad (a,b)\in\mathbb{R}^2, \] نعرّف:

  • المعيار: \[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\gt0. \]
  • الـحجة (الزاوية) عدد حقيقي \( \theta \) يُحقّق: \[ \cos\theta=\frac{a}{|z|},\quad \sin\theta=\frac{b}{|z|}. \] ونكتب: \[ \theta=\arg(z)\quad (\text{مُعرف إلى حد }2\pi k). \]

الشكل المثلثي (أو القطبي)

كل عدد عقدي غير منعدم يمكن كتابته على الشكل: \[ z=|z|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right), \] حيث \( |z|>0 \) ومع \(\theta\) إحدى الحجج لـ \(z\).

مثال

لتكن: \[ z=1+i\sqrt{3}. \] نحسب: \[ |z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2. \] نريد \(\theta\) بحيث: \[ \cos\theta=\frac{1}{2},\quad \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}. \] إذن: \[ \theta=\frac{\pi}{3}. \] وبالتالي: \[ z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

في التمارين، غالبًا تُعطى لك زاوية معروفة (مثل \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\dots\)). استعمل قيم الجيب والجيب تمام المحفوظة من دروس المثلثات.

3) الضرب والقسمة في الشكل المثلثي

قاعدة الضرب

إذا كان: \[ z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\quad z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2), \] فإن: \[ z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right). \]

قاعدة القسمة

إذا كان \(z_2\neq0\): \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right). \]

مثال تطبيقي

لتكن: \[ z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\quad z_2=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] نحسب \(z_1z_2\): \[ z_1z_2=6\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)\right) =6\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right). \]

هندسيًا: ضرب عددين عقديين يعني:

  • ضرب المعايير \(r_1,r_2\) ⇒ تكبير/تصغير المسافة عن الأصل.
  • جمع الحجج \(\theta_1,\theta_2\) ⇒ جمع الزوايا (دوران).

4) صيغة دو موافر وحساب القوى

صيغة دو موافر

لكل عدد صحيح \(n\) ولكل \(\theta\in\mathbb{R}\): \[ \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n= \cos(n\theta)+i\sin(n\theta). \]

قوى عدد عقدي في الشكل المثلثي

إذا: \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta), \] فإن: \[ z^n=r^n\left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right)\quad (n\in\mathbb{Z}). \]

مثال

لتكن: \[ z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \] نحسب \(z^4\): \[ z^4=2^4\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right) =16\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right). \]

أحيانًا، يُطلب منك حساب \(z^n\) في الشكل الجبري. بعد إيجاد الشكل المثلثي ثم تطبيق دو موافر، يمكن استعمال: \[ \cos(n\theta)=\frac{\mathrm{e}^{in\theta}+\mathrm{e}^{-in\theta}}{2},\quad \sin(n\theta)=\frac{\mathrm{e}^{in\theta}-\mathrm{e}^{-in\theta}}{2i} \] أو جدول الزوايا المعروفة للتبسيط، حسب السؤال.

5) الجذور \(n\)-ية لعدد عقدي

حل \(z^n=w\) في \(\mathbb{C}\)

لتكن: \[ w=R\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),\quad R>0. \] نبحث عن حلول: \[ z^n=w. \] تبيّن أن الحلول هي: \[ z_k=\sqrt[n]{R}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,\dots,n-1. \]

مثال: الجذور التربيعية لعدد عقدي

لنحسب جذور المعادلة: \[ z^2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right). \] لدينا: \[ R=4,\quad \sqrt{R}=2,\quad \varphi=\frac{\pi}{2}. \] إذن: \[ z_k=2\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right),\quad k=0,1. \]

  • لـ \(k=0\): \[ z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \]
  • لـ \(k=1\): \[ z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\pi+i\sin\frac{\pi}{4}+\pi\right) =2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right). \]

هندسيًا، الجذور \(n\)-ية لعدد عقدي تكون نقاطًا على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها \(\sqrt[n]{R}\)، موزّعة بانتظام (زاوية \(\frac{2\pi}{n}\) بين كل نقطتين متتاليتين).

6) التفسير الهندسي — الدوران والتشابه

تمثيل نقطة بعدد عقدي

نربط كل نقطة \(M(x,y)\) في المستوى بالعقدي: \[ z_M=x+iy. \] والعكس صحيح. إذا كان \(O(0,0)\)، فإن \( |z_M|=OM \) و \( \arg(z_M)=\widehat{(Ox,OM)}\).

الدوران بواسطة عدد عقدي من المعيار 1

إذا: \[ a=\cos\theta+i\sin\theta,\quad |a|=1, \] فإن التحويل: \[ z'\;=\;a z \] يمثّل دورانًا مركزه الأصل \(O\) وزاويته \(\theta\).

التشابه المركّب

إذا: \[ a=\lambda(\cos\theta+i\sin\theta),\quad \lambda>0, \] فإن: \[ z'\;=\;a z + b \] يمثل تشابهًا مركّبًا (دوران + تضخيم) ومتبوعًا بانتقال (إزاحة) شعاعها \(b\).

مثال دوراني

ليكن: \[ a=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3},\quad z_M=2. \] إذن: \[ z_{M'}=a z_M=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \] هندسيًا: \(M'\) هو صورة \(M\) بدوران مركزه \(O\) وزاويته \(\frac{\pi}{3}\).

7) تطبيقات هندسية نموذجية في الامتحان

1) مثلث متساوي الأضلاع باستعمال الأعداد العقدية

إذا كان \(A,B,C\) نقاطًا في المستوى، و\(z_A,z_B,z_C\) أعدادها العقدية، يمكن استعمال دوران بزاوية \(\frac{2\pi}{3}\) أو \(-\frac{2\pi}{3}\) للتحقق من أن \(ABC\) مثلث متساوي الأضلاع (أو لإنشائه).

2) مستقيمات، دوائر، وتحويلات

  • العلاقة \(z_B - z_A = k(z_C - z_A)\) تُعبّر عن نسبة شعاعين \(\overrightarrow{AB}\) و\(\overrightarrow{AC}\).
  • إذا كان \(k\) عددًا حقيقيًا موجبًا، فهذا يعني أن النقاط على استقامة واحدة مع نسب أطوال معيّنة.
  • إذا كان \(k\) عقديًا من المعيار 1، فهذا يعبّر عن دوران بين الشعاعين.

في الوطني، يُعطى لك غالبًا تعبير من نوع: \[ z_{M'}=az_M+b \] ويُطلب منك تحديد نوع التحويل الهندسي (دوران، تشابه، انتقال...). استخرج \(|a|\) و \(\arg(a)\) لتحديد الدوران/التشابه، واستعمل \(b\) لتحديد الإزاحة.

8) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصّلة

التمرين 1 — شكل مثلثي بسيط

اكتب العدد العقدي: \[ z=1-i\sqrt{3} \] في الشكل المثلثي \( z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \).

لدينا \(a=1,b=-\sqrt{3}\). إذن: \[ |z|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2. \] نبحث عن \(\theta\) بحيث: \[ \cos\theta=\frac{1}{2},\quad \sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \] هذا يتحقق لـ: \[ \theta=-\frac{\pi}{3}\quad \text{(أو } \frac{5\pi}{3}\text{)}. \] إذن: \[ z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). \]

التمرين 2 — ضرب عددين في الشكل المثلثي

لتكن: \[ z_1=3\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),\quad z_2=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] احسب \(z_1z_2\) في الشكل المثلثي.

المعايير: \[ |z_1|=3,\quad |z_2|=2\Rightarrow |z_1z_2|=6. \] الحجج: \[ \arg(z_1)=\frac{\pi}{6},\quad \arg(z_2)=\frac{\pi}{4} \Rightarrow \arg(z_1z_2)=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12}. \] إذن: \[ z_1z_2=6\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right). \]

التمرين 3 — قسمة عددين في الشكل المثلثي

باستعمال المعطيات السابقة، احسب: \[ \frac{z_1}{z_2}. \]

المعايير: \[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{3}{2}. \] الحجج: \[ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{12}. \] إذن: \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right). \]

التمرين 4 — تطبيق صيغة دو موافر

احسب: \[ \left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^4. \]

باستعمال دو موافر: \[ \left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^4= \cos\left(4\cdot\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{4}\right) =\cos\pi+i\sin\pi=-1+0i=-1. \]

التمرين 5 — قوى عدد عقدي

لتكن: \[ z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \] احسب \(z^5\) في الشكل المثلثي.

لدينا: \[ z^5=2^5\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right) =32\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right). \]

التمرين 6 — جذور تربيعية

حل في \(\mathbb{C}\): \[ z^2=9(\cos\pi+i\sin\pi). \]

نكتب: \[ R=9,\quad \sqrt{R}=3,\quad \varphi=\pi. \] الجذور: \[ z_k=3\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{2}\right),\quad k=0,1. \] لـ \(k=0\): \[ z_0=3\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=3i. \] لـ \(k=1\): \[ z_1=3\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-3i. \]

التمرين 7 — جذور من الدرجة الثالثة

حل في \(\mathbb{C}\): \[ z^3=8\left(\cos0+i\sin0\right). \]

لدينا: \[ R=8,\quad \sqrt[3]{R}=2,\quad \varphi=0. \] الجذور الثلاثة: \[ z_k=2\left(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\right),\quad k=0,1,2. \]

التمرين 8 — دوران حول الأصل

ليكن: \[ a=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}. \] نعرّف التحويل: \[ z'=az. \] 1) ما نوع هذا التحويل هندسيًا؟ 2) ما هي صورة النقطة ذات العدد العقدي \(z=1\)؟

1) بما أن \(|a|=1\)، فالتحويل دوران مركزه الأصل \(O\) وزاويته \(\frac{\pi}{2}\).

2) لدينا: \[ z'=a\cdot1=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i. \] إذن صورة النقطة \(1\) هي النقطة ذات العدد \(i\).

التمرين 9 — تشابه مركب

نعتبر التحويل: \[ z'=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)z+1. \] 1) بيّن أن هذا التحويل تشابه مركّب. 2) حدّد معامل التشابه وزاوية الدوران.

1) العدد المضاعِف: \[ a=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \] المعامل: \[ |a|=2, \] والحجة: \[ \arg(a)=\frac{\pi}{3}. \] إذن التحويل \(z'=az+b\) تشابه مركّب بمعامل \(2\) وزاوية \(\frac{\pi}{3}\) مع انتقال \(b=1\).

2) معامل التشابه \(k=2\)، وزاوية الدوران \(\theta=\frac{\pi}{3}\).

التمرين 10 — استعمال تشابه لإثبات توازي

تُعطى نقاط \(A,B,C\) بأعداد عقدية \(z_A,z_B,z_C\) وتحويل: \[ z'=az+b,\quad |a|=1. \] بيّن أن الصور \(A',B',C'\) تُحافظ على توازي المستقيمات (أي إذا كان \((AB)\parallel (AC)\) فإن \((A'B')\parallel(A'C')\)).

تشابه مركّب يحافظ على النسب والزوايا، خصوصًا يحافظ على التوازي. بما أن \(z'=az+b\) مع \(|a|=1\)، فهو دوران مع انتقال (تشابه بمعامل 1): دوران + انتقال لا يغيّر اتجاه المستقيمات ⇒ المستقيمات المتوازية تبقى متوازية بعد التحويل.

التمرين 11 — مثلث متساوي الأضلاع باستعمال دوران

نعتبر نقطتين \(A,B\) بأعداد عقدية: \[ z_A=0,\quad z_B=1. \] نعرّف: \[ z_C=\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}. \] 1) فسّر هندسيًا علاقة \(z_C\) بـ \(z_B\). 2) بيّن أن \(ABC\) مثلث متساوي الأضلاع.

1) لدينا: \[ z_C=\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}\cdot 1. \] أي أن \(C\) صورة \(B\) بدوران مركزه \(O\) وزاويته \(\frac{\pi}{3}\).

2) الطول: \[ AB=|z_B-z_A|=|1-0|=1. \] كذلك: \[ AC=|z_C-z_A|=|z_C|=1,\quad BC=|z_C-z_B|=|\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}-1|. \] لكن \(C\) هو دوران لـ \(B\) حول \(O\)، وبالتالي: \[ OB=OC=1,\quad \widehat{BOC}=\frac{\pi}{3}. \] المثلث \(BOC\) متساوي الأضلاع ⇒ \(BC=1\). إذن: \[ AB=BC=CA=1\Rightarrow ABC \text{ مثلث متساوي الأضلاع}. \]

التمرين 12 — توزيع الجذور على دائرة

بيّن أن الجذور السادسة للواحدية: \[ z^6=1 \] هي نقاط على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها 1، موزّعة بانتظام.

نكتب: \[ 1=\cos0+i\sin0. \] الحلول: \[ z_k=\cos\frac{2k\pi}{6}+i\sin\frac{2k\pi}{6},\quad k=0,1,2,3,4,5. \] لكل \(k\): \[ |z_k|=1. \] إذن جميعها على الدائرة ذات المركز \(O\) ونصف القطر 1. الحجج: \[ \arg(z_k)=\frac{2k\pi}{6}, \] تبعد بمقدار \(\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\) بين كل جارين، أي موزّعة بانتظام على الدائرة.

9) خلاصة — الأعداد العقدية (الجزء الثاني)

  • لكل \(z=a+ib\neq0\): المعيار \( |z|=\sqrt{a^2+b^2} \) والـحجة \(\theta\) تحقق \(\cos\theta=\frac{a}{|z|}\), \(\sin\theta=\frac{b}{|z|}\).
  • الشكل المثلثي: \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\).
  • الضرب: \(z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))\).
  • القسمة: \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))\).
  • صيغة دو موافر: \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\).
  • الجذور \(n\)-ية: \(z_k=\sqrt[n]{R}\left(\cos\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\).
  • التحويل \(z'=az+b\) مع \(a=\lambda(\cos\theta+i\sin\theta)\) يمثّل تشابهًا مركّبًا (دوران + تضخيم) متبوعًا بانتقال.
  • التطبيقات الهندسية (توازي، مثلثات خاصة، دورانات...) تُحلّ بطريقة حسابية باستعمال هذه الصيغ.

2 باك علوم فيزيائية — الأعداد العقدية (الجزء الثاني) — neobac.ma