Dérivation et étude des fonctions

Dérivation — Cours complet (Bac Maths)

Table des matières

1. Définition de la dérivabilité

On considère \( f \) une fonction définie sur \( I \) un intervalle ouvert de \( \mathbb{R} \) et \( a \in I \).

On dit que \( f \) est dérivable en \( a \)** si la limite suivante existe et est finie :

\( \lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(a)}{t - a} \)

Dans ce cas, on note \( f'(a) = \lim_{t \to a} \frac{f(t) - f(a)}{t - a} \) la dérivée de \( f \) en \( a \)**.

Dérivées à gauche et à droite

On définit également :

  • La dérivée à gauche : \( f'g(a) = \lim{t \to a^-} \frac{f(t) - f(a)}{t - a} \)
  • La dérivée à droite : \( f'd(a) = \lim{t \to a^+} \frac{f(t) - f(a)}{t - a} \)

\( f \) est dérivable en \( a \) si et seulement si \( f'_d(a) = f'_g(a) = f'(a) \).

2. Proposition fondamentale

Si \( f \) est dérivable en \( a \), alors \( f \) est continue en \( a \).

Si \( f \) est dérivable sur \( I \), alors \( f \) est continue sur \( I \).

Attention : La réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point (exemple : \( f(x) = |x| \) en \( x = 0 \)).

3. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur \( I \). Alors :

  1. \( f + g \), \( f - g \) et \( f \cdot g \) sont dérivables sur \( I \), et :
    \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
  2. Si \( g \) ne s'annule pas sur \( I \), alors \( \frac{f}{g} \) est dérivable sur \( I \) et :
    \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \)

Exemple : En particulier, \( \frac{1}{g} \) est dérivable et \( \left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2} \).

4. Dérivée d'une composée

Soient \( f : I \to J \) et \( g : J \to \mathbb{R} \) deux fonctions dérivables. Alors \( g \circ f \) est dérivable sur \( I \) et on a :

\( (g \circ f)' = f' \times (g' \circ f) \)

Exemple : Soit \( h(x) = \sin(x^2) \). Alors \( h'(x) = 2x \cdot \cos(x^2) \).

5. Dérivabilité de la fonction réciproque

Soit \( f : I \to f(I) \) une fonction dérivable. Si :

  1. \( f \) est bijective
  2. \( f' \) ne s'annule pas sur \( I \)

Alors \( f^{-1} \) est dérivable sur \( f(I) \) et on a :

\( \forall x \in I : (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} \)

6. Fonctions usuelles et leurs dérivées

Fonction \( f(x) \) Fonction dérivée \( f'(x) \) Intervalles de dérivabilité
\( k \) (constante) \( 0 \) \( \mathbb{R} \)
\( x \) \( 1 \) \( \mathbb{R} \)
\( ax + b \) \( a \) \( \mathbb{R} \)
\( x^2 \) \( 2x \) \( \mathbb{R} \)
\( x^n \) (\( n \in \mathbb{N} \)) \( nx^{n-1} \) \( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{x} \) \( -\frac{1}{x^2} \) \( ]0; +\infty[ \) ou \( ]-\infty; 0[ \)
\( \frac{1}{x^n} = x^{-n} \) (\( n \in \mathbb{N} \)) \( -\frac{n}{x^{n+1}} = -nx^{-n-1} \) \( ]0; +\infty[ \) ou \( ]-\infty; 0[ \)
\( \sqrt{x} \) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \( ]0; +\infty[ \)
\( x^\alpha \) \( \alpha x^{\alpha-1} \) selon les valeurs de \( \alpha \)
\( \cos x \) \( -\sin x \) \( \mathbb{R} \)
\( \sin x \) \( \cos x \) \( \mathbb{R} \)
\( \tan x \) \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \) \( ]\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + (k + 1)\pi[ \)
\( e^x \) \( e^x \) \( \mathbb{R} \)
\( \ln x \) \( \frac{1}{x} \) \( ]0; +\infty[ \)

7. Théorème de Rolle

Si une fonction \( f \) vérifie :

  1. \( f \) est continue sur \( [a, b] \)
  2. \( f \) est dérivable sur \( ]a, b[ \)
  3. \( f(a) = f(b) \)

Alors il existe \( c \in ]a, b[ \) tel que \( f'(c) = 0 \).

Exemple : Soit \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) sur \( [1, 3] \). On a \( f(1) = f(3) = 0 \), donc il existe \( c \in ]1, 3[ \) tel que \( f'(c) = 0 \).

8. Théorème des accroissements finis (TAF)

Si une fonction \( f \) vérifie :

  1. \( f \) est continue sur \( [a, b] \)
  2. \( f \) est dérivable sur \( ]a, b[ \)

Alors il existe \( c \in ]a, b[ \) tel que :

\( f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \)

Ce théorème exprime que la pente de la corde entre \( (a, f(a)) \) et \( (b, f(b)) \) est égale à la pente de la tangente en un point intermédiaire \( c \).

9. Inégalité des accroissements finis (IAF)

Si une fonction \( f \) vérifie :

  1. \( f \) est continue sur \( [a, b] \)
  2. \( f \) est dérivable sur \( ]a, b[ \)
  3. \( \forall x \in ]a, b[, |f'(x)| \leq M \)

Alors :

\( |f(b) - f(a)| \leq M(b - a) \)

10. Tangente à une courbe

Soit \( f \) une fonction dérivable en un point \( x_0 \in \mathbb{R} \) et \( C_f \) sa courbe représentative.

Alors \( C_f \) admet une tangente \( \Delta \) en \( (x_0, f(x_0)) \) d'équation :

\( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \)

On peut de même définir une demi-tangente à droite et une demi-tangente à gauche.

11. Branches infinies

1. Asymptote horizontale

Si \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \in \mathbb{R} \), alors \( f \) admet une asymptote horizontale d'équation \( y = l \) en \( +\infty \).

2. Branches paraboliques

Si \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \infty \) :

  • Si \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \), alors \( f \) admet une branche parabolique de direction \( (Ox) \) en \( +\infty \).
  • Si \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm \infty \), alors \( f \) admet une branche parabolique de direction \( (Oy) \) en \( +\infty \).
  • Si \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \ell \in \mathbb{R}^* \) :
    • Si \( \lim_{x \to +\infty} (f(x) - \ell x) = a \in \mathbb{R} \), alors \( f \) admet une asymptote d'équation \( y = \ell x + a \) en \( +\infty \).
    • Si \( \lim_{x \to +\infty} (f(x) - \ell x) = \infty \), alors \( f \) admet une branche parabolique de direction \( y = \ell x \) en \( +\infty \).

3. Asymptote verticale

Si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \), alors \( f \) admet une asymptote verticale d'équation \( x = x_0 \) en \( x_0 \).

12. Convexité

12.1 Définition

On dit que \( f \) est convexe sur un intervalle \( I \) si :

\( \forall x, y \in I, \forall \lambda \in [0, 1], f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) \)

12.2 Théorème 1

Soit \( f \) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \( I \).

Alors \( f \) est convexe si et seulement si \( \forall x \in I, f''(x) \geq 0 \).

Et \( f \) est concave si et seulement si \( \forall x \in I, f''(x) \leq 0 \).

12.3 Théorème 2

Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \).

Alors \( f \) est convexe si et seulement si \( C_f \) est au-dessus de toutes ses tangentes.

Autrement dit, \( f \) est convexe si et seulement si \( \forall x, x_0 \in I, f(x) \geq f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

De même, \( f \) est concave si et seulement si \( C_f \) est au-dessous de toutes ses tangentes.

13. Point d'inflexion

Soit \( f \) dérivable deux fois sur \( I \) et \( x_0 \in I \).

On dit que \( (x_0, f(x_0)) \) est un point d'inflexion de \( C_f \) si et seulement si \( f'' \) s'annule et change de signe strictement en \( x_0 \).

En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.

14. Exercices types

Exercice 1 — Calcul de dérivée

Calculer la dérivée de \( f(x) = \frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} \).

Utiliser la formule de dérivée d'un quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Exercice 2 — Étude de fonction

Étudier les variations de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) et déterminer ses extremums.

Calculer \( f'(x) \), étudier son signe et en déduire les variations de \( f \).

Exercice 3 — Théorème de Rolle

Montrer que l'équation \( x^3 - 3x + 1 = 0 \) admet trois solutions réelles distinctes.

Étudier les variations de \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur des intervalles appropriés.

Exercice 4 — Tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( f(x) = \ln(x) \) au point d'abscisse 1.

Utiliser la formule \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \) avec \( x_0 = 1 \).

Exercice 5 — Convexité

Étudier la convexité de \( f(x) = x^4 - 2x^2 \) et déterminer ses points d'inflexion.

Calculer \( f''(x) \) et étudier son signe.