Fonctions logarithmiques
1) Introduction
En Bac Sciences Physiques, la fonction logarithme naturel \( \ln x \) est essentielle pour comprendre : croissance lente, équations exponentielles, décroissance radioactive, intensité sonore, pH, etc.
Le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle : \[ \ln(x)=y \iff e^y=x. \]
2) Définition du logarithme
Définition
Pour tout \(x>0\), on définit : \[ \ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt. \]
Domaine : \(x > 0\). Image : \(\mathbb{R}\). \(\ln\) est continue, strictement croissante et dérivable sur \((0,+\infty)\).
- \(\ln(1)=0\)
- \(\ln(e)=1\)
- \(\ln(e^3)=3\)
3) Propriétés fondamentales
Propriétés algébriques
\[ \ln(ab)=\ln a + \ln b,\qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b,\qquad \ln(a^n)=n\ln a. \]
Dérivée
\[ (\ln x)' = \frac{1}{x}. \]
Au Bac, on utilise souvent : \[ \ln(1+x)\approx x \quad \text{si } x\text{ est petit}. \]
4) Variations et courbe représentative
Tableau de variations
| x | 0 | 1 | +\infty |
|---|---|---|---|
| signe de ln(x) | - | 0 | + |
| variation | strictement croissante | ||
5) Équations et inéquations logarithmiques
5.1) Équations simples
Résoudre : \( \ln x = 3 \). Solution : \( x = e^3 \).
5.2) Cas généraux
\[ \ln f(x)=\ln g(x) \iff f(x)=g(x),\quad \text{avec } f(x)>0,g(x)>0. \]
5.3) Inéquations
\(\ln x \ge 2 \iff x \ge e^2\).
6) Applications directes en physique
6.1) Décroissance radioactive
\[ N(t)=N_0 e^{-\lambda t},\qquad \ln N(t)=\ln N_0 - \lambda t. \]
6.2) Intensité sonore (dB)
\[ L = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right) \]
6.3) pH d’une solution
\[ pH = -\log_{10}[H^+] \]
7) Exercices corrigés (12)
Exercice 1
Calculer : \(\ln(e^5)\)
Exercice 2
\(\ln(1/4)\)
Exercice 3
\(\ln(9)\)
Exercice 4
Résoudre : \(\ln x = -2\)
Exercice 5
\(\ln (x^3)\)
Exercice 6
\(\ln(e^{t+1})\)
Exercice 7
\(\ln(ab^2)\)
Exercice 8
\(\ln(5/x)\)
Exercice 9
Résoudre : \(\ln(3x)=1\)
Exercice 10
\(\ln(e^{-4})\)
Exercice 11
\(\ln(x^2+1)\) dérivée ?
Exercice 12
Résoudre \(\ln(x)-\ln(2)=3\)