Nombres complexes (Partie 1)

1) Introduction : pourquoi les nombres complexes au Bac ?

En 2ᵉ Bac Sciences Physiques, le chapitre « Nombres complexes » sert à prolonger les nombres réels pour pouvoir :

  • résoudre des équations du type \(x^2+1=0\) ou \(z^2+4z+13=0\) qui n’ont aucune solution réelle ;
  • traduire des problèmes de géométrie plane (alignement, orthogonalité, distance, milieu) en calculs sur des nombres ;
  • préparer l’étude des rotations et des transformations du plan en Partie 2.

Exemple simple :

\(x^2+1=0\) n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\) car \(x^2\ge 0\). En introduisant un nombre \(i\) tel que \(i^2=-1\), on obtient deux solutions complexes : \(x=i\) et \(x=-i\).

Au Bac marocain, l’objectif n’est pas de faire des théories abstraites, mais de maîtriser les calculs standards : forme algébrique, partie réelle/imaginaire, module, argument, conjugué, opérations, et interprétation géométrique de base.

2) Forme algébrique : \(z = x + iy\)

Définition

On note \(i\) le nombre complexe tel que :

\(i^2 = -1\)

Tout nombre complexe \(z\) s’écrit de façon unique sous la forme :

\(z = x + iy\) où \(x,y\in\mathbb{R}\).

  • \(x\) est la partie réelle de \(z\) : \(x = \Re(z)\) ;
  • \(y\) est la partie imaginaire de \(z\) : \(y = \Im(z)\).

Exemples

  • \(z_1 = 3 - 2i\) : \(\Re(z_1)=3\), \(\Im(z_1)=-2\).
  • \(z_2 = -5 + 4i\) : \(\Re(z_2)=-5\), \(\Im(z_2)=4\).
  • Tout réel \(a\) peut être vu comme \(a+0i\) : \(\Re(a)=a\), \(\Im(a)=0\).

Égalité de deux complexes

Deux nombres complexes \(z_1 = x_1 + iy_1\) et \(z_2 = x_2 + iy_2\) sont égaux si et seulement si :

\(z_1 = z_2 \iff \begin{cases} x_1 = x_2\\ y_1 = y_2 \end{cases}\)

3) Plan complexe : représentation géométrique

Point associé à un complexe

À tout complexe \(z = x + iy\), on associe le point \(M(x,y)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\).

axe réel axe imaginaire M(x,y) x = Re(z) y = Im(z) O
Le complexe \(z=x+iy\) est représenté par le point \(M(x,y)\) ou le vecteur \(\overrightarrow{OM}\).

En pratique, pour un exercice Bac, dès que tu vois un complexe \(z\), pense immédiatement au point M et aux outils de géométrie : distance, milieu, alignement, orthogonalité…

4) Module d’un nombre complexe

Définition

Pour \(z = x + iy\), le module de \(z\) est le nombre réel positif :

\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Géométriquement, \(|z|\) est la distance entre \(O(0,0)\) et \(M(x,y)\).

Propriétés (niveau Bac)

  • \(|z|\ge 0\) et \(|z|=0 \iff z=0\).
  • \(|-z|=|z|\).
  • \(|zw| = |z|\,|w|\) pour tous \(z,w\in\mathbb{C}\).
  • \(|z+w|\le |z|+|w|\) (inégalité triangulaire, interprétation géométrique).

Exemple

Soit \(z = 3 - 4i\). Alors \(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).

5) Argument d’un nombre complexe non nul

Définition

Si \(z\neq 0\), on appelle argument de \(z\) tout réel \(\theta\) tel que :

\(z = |z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)\)

On note alors \(\theta = \arg(z)\) (au Bac, on choisit souvent un argument dans \((-\pi,\pi]\) ou \([0,2\pi[\)).

Remarques importantes

  • L’argument n’est pas unique : si \(\theta\) est un argument, alors \(\theta + 2k\pi\) en est aussi un pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).
  • Le module et l’argument décrivent complètement le complexe non nul.
  • Le sens positif des angles est le sens trigonométrique (anti-horaire).

Exemples classiques à connaître

  • \(1 = \cos 0 + i\sin 0\) : \(|1|=1\), \(\arg(1)=0\).
  • \(-1 = \cos \pi + i\sin \pi\) : \(|-1|=1\), \(\arg(-1)=\pi\).
  • \(i = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) : \(|i|=1\), \(\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\).
  • \(-i = \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\) : \(|-i|=1\), \(\arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\).

6) Opposé, conjugué et partie réelle/imaginaire

Opposé

Si \(z = x + iy\), son opposé est \(-z = -x - iy\). Géométriquement, c’est le point symétrique de \(M\) par rapport à O.

Conjugué

Le conjugué de \(z=x+iy\) est :

\(\overline{z} = x - iy\)

Géométriquement, \(\overline{z}\) est le symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.

Propriétés utiles au Bac

  • \(z + \overline{z} = 2\Re(z)\) ; \(\quad z - \overline{z} = 2i\Im(z)\).
  • \(z\overline{z} = |z|^2\).
  • \(\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}\).
  • \(\overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w}\).
  • \(\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\) si \(w\neq 0\).

Exemple

Pour \(z = 3-4i\) : \(\overline{z} = 3+4i\) et \(z\overline{z} = (3-4i)(3+4i)=9+16=25=|z|^2\).

7) Opérations sur les nombres complexes (forme algébrique)

Addition et soustraction

Si \(z_1 = x_1 + iy_1\) et \(z_2 = x_2 + iy_2\), alors :

\(z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)

\(z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)\)

Multiplication

On utilise la distributivité et la règle \(i^2=-1\) :

\((x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)\)

Division

Pour diviser par un complexe, on multiplie en haut et en bas par son conjugué :

\(\displaystyle \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} = \frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}\quad (x_2+iy_2\neq 0)\)

Exemple complet

Soit \(z_1 = 2-3i\) et \(z_2 = 1+i\).

  • \(z_1+z_2 = (2+1) + (-3+1)i = 3-2i\).
  • \(z_1z_2 = (2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i\).
  • \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{2-3i}{1+i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{1+1} = \frac{2-2i-3i+3i^2}{2} = \frac{-1-5i}{2}\).

8) Interprétation géométrique simple

  • \(|z|\) est la longueur du vecteur \(\overrightarrow{OM}\).
  • Si \(z_1\) et \(z_2\) représentent \(M_1\) et \(M_2\), alors \(z_2 - z_1\) représente le vecteur \(\overrightarrow{M_1M_2}\).
  • \(|z_2 - z_1|\) est la distance \(M_1M_2\).

Donc : alignement, parallélisme, orthogonalité se traduisent en conditions sur des nombres complexes (proportionnalité, produit scalaire nul…).

9) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Parties réelle et imaginaire

Écrire sous la forme \(a+ib\) et donner \(\Re(z)\), \(\Im(z)\) pour :

  • \(z_1 = 5 - 7i\)
  • \(z_2 = -3 + 4i\)
  • \(z_3 = -2\)

On lit directement :

  • \(z_1 = 5 - 7i\) : \(\Re(z_1)=5\), \(\Im(z_1)=-7\).
  • \(z_2 = -3 + 4i\) : \(\Re(z_2)=-3\), \(\Im(z_2)=4\).
  • \(z_3 = -2 = -2 + 0i\) : \(\Re(z_3)=-2\), \(\Im(z_3)=0\).
Ex.2 — Égalité de deux nombres complexes

On sait que \(z = (2k-1) + i(3k+2)\) et \(w = 5 + i8\). Trouver le réel \(k\) tel que \(z=w\).

Si \(z=w\), alors :

\(\begin{cases} 2k-1 = 5\\ 3k+2 = 8 \end{cases}\)

De la première : \(2k=6\Rightarrow k=3\). De la deuxième : \(3k+2=8\Rightarrow 3k=6\Rightarrow k=2\). Les deux valeurs ne coïncident pas ⇒ il n’existe aucun réel \(k\) tel que \(z=w\).

Remarque : au Bac, on peut être amené à conclure qu’un système n’a pas de solution.

Ex.3 — Module et distance

Soit \(z = -1 + 2i\). Calculer \(|z|\). Puis interpréter géométriquement \(|z-3|\).

\(|z|=\sqrt{(-1)^2+2^2} = \sqrt{1+4}=\sqrt{5}\).

Le complexe \(z-3 = (-1-3)+2i = -4+2i\) correspond au vecteur \(\overrightarrow{M'M}\) où \(M'(3,0)\) et \(M(-1,2)\). Donc \(|z-3|\) est la distance entre les points représentant les complexes \(z\) et \(3\).

Ex.4 — Conjugué et module

Soit \(z = 4 - 3i\). Calculer \(\overline{z}\), puis vérifier que \(z\overline{z}=|z|^2\).

\(\overline{z} = 4 + 3i\).

Le produit : \(z\overline{z} = (4-3i)(4+3i)=16+12i-12i-9i^2 = 16+9=25\).

Le module : \(|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\Rightarrow |z|^2=25\). On retrouve bien \(z\overline{z}=|z|^2\).

Ex.5 — Somme et produit

Soient \(z_1 = 1+2i\) et \(z_2 = -3+i\). Calculer \(z_1+z_2\) et \(z_1z_2\).

Somme :

\(z_1+z_2 = (1-3) + (2+1)i = -2+3i\).

Produit :

\(z_1z_2 = (1+2i)(-3+i) = 1\cdot(-3)+1\cdot i +2i\cdot(-3)+2i\cdot i = -3+i-6i+2i^2 = -3-5i-2 = -5-5i\).

Ex.6 — Division par un complexe

Mettre sous la forme \(a+ib\) : \(\displaystyle \frac{3-4i}{1+2i}\).

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué \(1-2i\) :

\(\displaystyle \frac{3-4i}{1+2i} = \frac{(3-4i)(1-2i)}{1^2+2^2} = \frac{3-6i-4i+8i^2}{5} = \frac{3-10i-8}{5} = \frac{-5-10i}{5} = -1-2i.\)

Ex.7 — Argument d’un complexe simple

Déterminer un argument de \(z = 1+i\), puis écrire \(z\) sous la forme \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).

\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).

L’angle correspondant est \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) (point du premier quadrant avec \(x=y\)).

Donc \(z = \sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big)\) et \(\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\).

Ex.8 — Argument et signe des coordonnées

Soit \(z = -2 - 2\sqrt{3}i\). Calculer \(|z|\) puis donner un argument principal de \(z\).

\(|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4\).

On remarque que

\(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\) et \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

On a donc \(z = 4\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\).

Un argument principal est \(\arg(z)=-\dfrac{2\pi}{3}\) (ou \(\dfrac{4\pi}{3}\)).

Ex.9 — Condition d’alignement (version simple)

Les points \(A,B,C\) ont pour affixes \(z_A=1\), \(z_B=i\), \(z_C=1+i\). Montrer qu’ils sont les sommets d’un triangle rectangle isocèle.

On calcule les vecteurs :

  • \(\overrightarrow{AB} : z_B-z_A = i-1 = -1 + i\).
  • \(\overrightarrow{AC} : z_C-z_A = (1+i)-1 = i\).

Les modules : \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}\) et \(|\overrightarrow{AC}| = |i|=1\).

On calcule aussi \(\overrightarrow{BC} : z_C-z_B = (1+i)-i = 1\) de module 1.

On voit que \(|AB|=\sqrt{2}\) et \(|AC|=|BC|=1\). Enfin, le produit scalaire (via complexes) ou l’argument montre que l’angle en \(C\) vaut \(\dfrac{\pi}{2}\) ⇒ triangle rectangle isocèle.

Ex.10 — Résolution d’une équation du 2ᵉ degré

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 4z + 13 = 0\).

Discriminant : \(\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot 13 = 16 - 52 = -36\).

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = 6i\).

Les solutions :

\(z = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\).

Ex.11 — Condition de module

Déterminer l’ensemble des complexes \(z\) tels que \(|z-1|=2\).

Écrivons \(z=x+iy\). Alors :

\(|z-1| = |(x-1)+iy| = 2 \iff (x-1)^2 + y^2 = 4\).

C’est le cercle de centre \(1\) (affixe \(1\)) et de rayon 2 dans le plan complexe.

Ex.12 — Problème complet de synthèse

Soit le point \(A\) d’affixe \(z_A = 2+i\) et le point \(B\) d’affixe \(z_B = -1+3i\).

  1. Déterminer l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer la distance \(AB\).
  3. Déterminer l’affixe du milieu \(M\) de \([AB]\).
  1. \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe \(z_B-z_A = (-1+3i)-(2+i) = -3+2i\).

  2. \(AB = |\overrightarrow{AB}| = |-3+2i| = \sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\).

  3. L’affixe du milieu est \(z_M = \dfrac{z_A+z_B}{2} = \dfrac{(2+i)+(-1+3i)}{2} = \dfrac{1+4i}{2} = \dfrac{1}{2}+2i\).

On a donc traduit un exercice géométrique en pur calcul sur les complexes.