Fonctions exponentielles

1) Objectifs Bac & place des fonctions exponentielles

En 2^ème Bac Sciences Physiques, les fonctions exponentielles sont un outil majeur pour :

modéliser des croissances/décroissances rapides (radioactivité, charge d’un condensateur, refroidissement, intérêts composés…)
résoudre des équations/inéquations du type \(a^{f(x)} = b\) ou \(\mathrm{e}^{f(x)} = g(x)\)
étudier la variation, les limites et la convexité de fonctions comme \(\mathrm{e}^x\), \(k \mathrm{e}^{ax}+b\), etc.

Méthode type Bac

identifier la forme exponentielle dans l’énoncé ;
traduire l’énoncé par une équation/inéquation en \(x\) ;
utiliser les propriétés algébriques (\(a^{x+y}, a^{nx}, \mathrm{e}^{\ln a}\), etc.) ;
conclure avec une phrase claire (intervalle de solution, tableau de variation, etc.).

2) Fonction exponentielle de base \(a^x\)

Définition (base \(a>0\), \(a\neq 1\))

Pour un réel \(a>0\), \(a\neq1\), on appelle fonction exponentielle de base \(a\) la fonction :

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+},\quad f(x)=a^x \]

où, pour tout réel \(x\), \(a^x\) est défini de manière cohérente avec :

\(a^n\) pour \(n\in\mathbb{Z}\) (puissances entières déjà vues) ;
et prolongé à \(\mathbb{R}\) en respectant les propriétés ci-dessous.

Rappels de propriétés algébriques

\(a^0 = 1\)
\(a^1 = a\)
\(a^{x+y} = a^x \cdot a^y\)
\(a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\)
\((a^x)^y = a^{xy}\)
si \(a>0\) et \(b>0\) : \((ab)^x = a^x b^x\)

Monotonie selon la base

si \(a>1\) : la fonction \(x\mapsto a^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
si \(0strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Dans tous les cas, \(a^x>0\) pour tout réel \(x\).

Exemples rapides

\(2^x\) : base \(2>1\), fonction croissante ; \(2^0=1\), \(2^1=2\), \(2^2=4\), \(2^{-1}=\frac12\).
\(\left(\dfrac12\right)^x\) : \(0<\frac12<1\), fonction décroissante ; \(\left(\dfrac12\right)^2=\frac14\), \(\left(\dfrac12\right)^{-2}=4\).

Base	Signe	Variation	Limite en \(-\infty\)	Limite en \(+\infty\)
\(a>1\)	\(a^x>0\)	croissante	\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} a^x = 0\)	\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} a^x = +\infty\)
\(0	\(a^x>0\)	décroissante	\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} a^x = +\infty\)	\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} a^x = 0\)

3) Représentation graphique & interprétation

Une exponentielle est toujours au-dessus de l’axe des abscisses et admet la propriété clé :

\[ f(0)=a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \text{toute courbe exponentielle passe par le point }(0;1). \]

Toutes les courbes \(a^x\) passent par \((0;1)\). Pour \(a>1\), la courbe monte ; pour \(0

Lecture graphique type Bac

Pour une exponentielle croissante, résoudre \(a^x=k\) revient à lire l’abscisse du point où la courbe coupe la droite horizontale \(y=k\).
La rapidité de la montée ou de la descente traduit le caractère « explosif » ou « rapide » du phénomène étudié.

4) Fonction exponentielle de base \(\mathrm{e}\) : \(\mathrm{e}^x\)

Définition

On note \(\mathrm{e}\) un nombre réel particulier (irrationnel, \(\mathrm{e}\approx 2{,}718\ldots\)) tel que la fonction :

\[ \exp(x)=\mathrm{e}^x \]

vérifie la propriété extraordinaire :

\[ \big(\mathrm{e}^x\big)' = \mathrm{e}^x \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}. \]

Propriétés fondamentales de \(\mathrm{e}^x\)

\(\mathrm{e}^0 = 1\)
\(\mathrm{e}^{x+y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y\)
\(\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}\)
\((\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx}\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\)
\(\mathrm{e}^x >0\) pour tout réel \(x\)

Variations et convexité

\(\mathrm{e}^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^x = 0\) et \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty\).
Sa dérivée étant elle-même positive, \(\mathrm{e}^x\) est aussi convexe (courbe « tournée vers le haut »).

Exemples de fonctions exponentielles usuelles

\(f(x)=\mathrm{e}^x\) (modèle de croissance rapide).
\(g(x)=\mathrm{e}^{-x}\) : décroissante, utile pour les décroissances (radioactivité, décharge, refroidissement…)
\(h(x)=k\,\mathrm{e}^{ax}+b\) : combinaisons linéaires souvent utilisées en physique (tension, température, intensité…).

5) Croissance comparée & limites importantes

Comparaison exponentielle / polynôme (idée Bac)

Pour tout entier naturel \(n\) :

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^x x^n = 0\)

On dit que l’exponentielle « domine » les puissances quand \(x\to +\infty\).

Limites de base à connaître

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1\)
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^{x} = 0\)

Application type Bac

Étudier la limite de \(\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{\mathrm{e}^x}\) quand \(x\to +\infty\).

On sait que \(\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}\to 0\). Donc \(f(x)=3\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}\to 0\). La décroissance exponentielle « bat » la croissance polynomiale au dénominateur.

6) Dérivée et étude de fonctions du type \(k\,\mathrm{e}^{ax}+b\)

Formules de dérivation

\(\big(\mathrm{e}^x\big)' = \mathrm{e}^x\)
\(\big(\mathrm{e}^{ax}\big)' = a\,\mathrm{e}^{ax}\) (par chaîne)
\(\big(k\,\mathrm{e}^{ax}\big)' = k a\,\mathrm{e}^{ax}\)
\(\big(k\,\mathrm{e}^{ax}+b\big)' = k a\,\mathrm{e}^{ax}\)

Signe de la dérivée

Pour \(f(x)=k\,\mathrm{e}^{ax}+b\) :

si \(k a>0\) : \(f'\) est positive, donc \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
si \(k a<0\) : \(f'\) est négative, donc \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Exemple complet

Soit \(f(x)=5\mathrm{e}^{-2x}+1\).

\(f'(x)=5(-2)\mathrm{e}^{-2x}=-10\,\mathrm{e}^{-2x}\).
\(\mathrm{e}^{-2x}>0\Rightarrow f'(x)<0\) pour tout \(x\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 1\) (car \(\mathrm{e}^{-2x}\to 0\)).
\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty\) (car \(\mathrm{e}^{-2x}\to +\infty\)).

7) Équations et inéquations exponentielles

Équations simples \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\)

Si \(a>0\), \(a\neq1\) et si \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), alors :

\[ f(x)=g(x) \]

car la fonction \(x\mapsto a^x\) est strictement monotone (injective).

Exemple 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+2}\).

On a \(\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+2} \iff 2x-1 = x+2 \iff x = 3\).

Équations du type \(\mathrm{e}^{f(x)} = k\)

Si \(k>0\) : \(\mathrm{e}^{f(x)}=k \iff f(x)=\ln k\), où \(\ln\) est la fonction logarithme népérien (vue dans le cours suivant).

Exemple 2

Résoudre \(\mathrm{e}^{3x} = 5\).

\(\mathrm{e}^{3x}=5 \iff 3x = \ln 5 \iff x=\dfrac{\ln 5}{3}\).

Inéquations exponentielles (idée générale)

si la fonction exponentielle utilisée est croissante, le sens de l’inégalité est conservé ;
si elle est décroissante, le sens de l’inégalité est inversé.

Exemple 3

Résoudre \(\mathrm{e}^{2x-1} \le \mathrm{e}^{x+2}\).

La fonction \(x\mapsto \mathrm{e}^x\) est croissante, donc : \(\mathrm{e}^{2x-1} \le \mathrm{e}^{x+2} \iff 2x-1 \le x+2 \iff x \le 3\).

8) Modélisation de phénomènes physiques par exponentielle

Beaucoup de lois physiques en 2^ème Bac SP s’écrivent sous la forme :

\[ y(t) = y_{\infty} + (y_0 - y_{\infty})\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \]

où :

\(y_0\) : valeur initiale de la grandeur (tension, température, charge…)
\(y_{\infty}\) : valeur limite (état final)
\(\tau\) : constante de temps (caractéristique du système)

Interprétation Bac

à \(t=\tau\), on a souvent \(y(t)\) à une fraction « standard » de la variation (ex. \(1-\mathrm{e}^{-1}\) pour une charge) ;
plus \(\tau\) est petit, plus le système réagit vite ;
on exploite la forme exponentielle pour linéariser les relations (ex. utiliser \(\ln\) pour tracer une droite).

Exemple de lecture de graphique

Sur un graphique exponentiel de charge d’un condensateur, on lit la valeur de \(u_C(\tau)\) pour estimer numériquement \(\tau\), puis on peut prévoir la durée nécessaire pour atteindre \(95\%\) de la tension finale.

9) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Sens de variation et base

Sans tracer de courbe, préciser le sens de variation sur \(\mathbb{R}\) de :

a) \(f(x)=3^x\)
b) \(g(x)=\left(\dfrac13\right)^x\)

a) Base \(3>1\), donc \(3^x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

b) Base \(0<\frac13<1\), donc \(\left(\frac13\right)^x\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Ex.2 — Calculs de puissances

Calculer et simplifier :

a) \(2^3\cdot 2^{-5}\)
b) \(\dfrac{5^4}{5^2}\)
c) \((3^{-2})^{-3}\)

a) \(2^3\cdot 2^{-5}=2^{3-5}=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac14\).

b) \(\dfrac{5^4}{5^2}=5^{4-2}=5^2=25\).

c) \((3^{-2})^{-3}=3^{-2\times(-3)}=3^{6}=729\).

Ex.3 — Résolution d’une équation simple

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(4^{x-1}=4^{2x+3}\).

Comme la base \(4>1\) est la même des deux côtés, on a :

\(4^{x-1}=4^{2x+3}\iff x-1=2x+3\iff -1-3=x\iff x=-4\).

Ex.4 — Croissance d’une fonction exponentielle composée

Étudier le sens de variation de \(f(x)=-2\,\mathrm{e}^{3x}\) sur \(\mathbb{R}\).

\(f'(x)=-2\cdot 3\,\mathrm{e}^{3x}=-6\,\mathrm{e}^{3x}\).

Or \(\mathrm{e}^{3x}>0\) pour tout \(x\), donc \(f'(x)<0\) pour tout \(x\).

Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Ex.5 — Limites à l’infini

Déterminer les limites suivantes :

a) \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{-x}\)
b) \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^{x}\)
c) \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{5x}{\mathrm{e}^x}\)

a) \(\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}\) et \(\mathrm{e}^x\to +\infty\), donc \(\mathrm{e}^{-x}\to 0\).

b) Quand \(x\to -\infty\), \(\mathrm{e}^x\to 0\).

c) L’exponentielle domine les puissances, donc \(\dfrac{5x}{\mathrm{e}^x}\to 0\) quand \(x\to +\infty\).

Ex.6 — Limite d’un modèle physique

On modélise une température par \(T(t)=20+30\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}\). Déterminer \(\displaystyle \lim_{t\to +\infty} T(t)\) et interpréter.

\(\mathrm{e}^{-\frac{t}{5}}\to 0\), donc \(T(t)\to 20+30\cdot 0=20\).

Interprétation : à long terme, la température se stabilise à \(20^\circ\text{C}\) (valeur d’équilibre du système).

Ex.7 — Équation \(\mathrm{e}^{ax}=k\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\mathrm{e}^{4x-2}=7\).

\(\mathrm{e}^{4x-2}=7\iff 4x-2=\ln 7\iff 4x=\ln 7+2\iff x=\dfrac{\ln 7+2}{4}\).

Ex.8 — Inéquation exponentielle

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\mathrm{e}^{2x} \ge \mathrm{e}^{x+1}\).

La fonction \(\mathrm{e}^x\) est croissante, donc :

\(\mathrm{e}^{2x} \ge \mathrm{e}^{x+1} \iff 2x \ge x+1 \iff x\ge 1\).

Solution : \([1,+\infty[\).

Ex.9 — Étude globale d’une exponentielle

Soit \(f(x)=3-\mathrm{e}^{-x}\).

Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
Déterminer les limites de \(f\) en \(\pm\infty\).

1. \(f'(x)= -(-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x}>0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Limites :

quand \(x\to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\to 0\), donc \(f(x)\to 3\).
quand \(x\to -\infty\), \(\mathrm{e}^{-x}\to +\infty\), donc \(f(x)=3-\mathrm{e}^{-x}\to -\infty\).

Ex.10 — Croissance comparée

Étudier la limite de \(\displaystyle g(x)=\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}\) quand \(x\to +\infty\).

On sait que \(\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^x}\to 0\) pour tout entier \(n\). En particulier :

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}=0\).

La décroissance exponentielle est « plus forte » que la croissance du polynôme \(x^3\).

Ex.11 — Lecture de constante de temps

On modélise la charge d’un condensateur par \(u_C(t)=U\big(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\big)\).

Calculer \(u_C(\tau)\) en fonction de \(U\).
Interpréter le résultat.

1. \(u_C(\tau)=U\big(1-\mathrm{e}^{-1}\big)\).

2. Comme \(\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}37\), on a \(1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}63\). À \(t=\tau\), la tension vaut environ \(63\%\) de la valeur finale \(U\). C’est une propriété classique des systèmes exponentiels.

Ex.12 — Problème global type Bac

Soit \(f(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}\).

Factoriser \(f(x)\).
Étudier le signe de \(f(x)\).
Résoudre \(f(x)\ge 0\).

1. \(f(x)=2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{x}\big(2-\mathrm{e}^{x}\big)\).

2. On sait que \(\mathrm{e}^{x}>0\) pour tout \(x\). Le signe de \(f(x)\) est donc celui de \(2-\mathrm{e}^{x}\).

3. \(f(x)\ge 0 \iff 2-\mathrm{e}^{x}\ge 0 \iff \mathrm{e}^x\le 2 \iff x\le \ln 2\).

En résumé : \(f(x)\ge 0\) pour \(x\le \ln 2\), et \(f(x)<0\) pour \(x>\ln 2\).

10) Mini-fiche récapitulative

\(a^x\) (avec \(a>0,a\neq1\)) : toujours positif, passe par \((0;1)\), croissant si \(a>1\), décroissant si \(0
\(\mathrm{e}^x\) : fonction exponentielle de base \(\mathrm{e}\), dérivée égale à elle-même, modèle standard en Bac SP.
Les fonctions \(k\,\mathrm{e}^{ax}+b\) sont faciles à dériver et à étudier (signe de \(ka\)).
Équations/inéquations exponentielles : utiliser la monotonie et, si besoin, le logarithme \(\ln\).
En modélisation physique, la constante de temps \(\tau\) donne la rapidité de la réponse exponentielle du système.

Fonctions exponentielles — 2^ème Bac Sciences Physiques — neobac.ma