Géométrie dans l’espace (Produit scalaire dans l’espace – Produit vectoriel)

1) Repère orthonormé dans l’espace, points et vecteurs

On travaille dans un repère orthonormé de l’espace \((O;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) (souvent noté \((Oxyz)\)).

  • Un point \(A\) est repéré par ses coordonnées : \[ A(x_A;\,y_A;\,z_A). \]
  • Un vecteur \(\vec{u}\) est repéré par : \[ \vec{u}=(u_1;u_2;u_3)= \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}. \]

Coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Si \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\), alors : \[ \overrightarrow{AB}= \bigl(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A\bigr). \]

Dans \((Oxyz)\), \(A(1,-2,3)\) et \(B(4,1,5)\). Alors :

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1;\,1-(-2);\ 5-3)=(3;\,3;\,2). \]

Norme d’un vecteur – distance entre deux points

  • La norme d’un vecteur \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) est : \[ \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}. \]
  • La distance entre \(A\) et \(B\) est : \[ AB=\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}. \]

2) Colinéarité, parallélisme et orthogonalité

Vecteurs colinéaires et parallélisme

  • Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v}=\lambda\vec{u}\).
  • Deux droites de l’espace sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Critère de colinéarité en coordonnées

Si \(\vec{u}=(a,b,c)\) et \(\vec{v}=(a',b',c')\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si les rapports (quand ils ont un sens) sont égaux :

\[ \exists\lambda\in\mathbb{R},\ \vec{v}=\lambda\vec{u} \quad \Longleftrightarrow \quad (a',b',c')=(\lambda a,\lambda b,\lambda c). \]

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux (perpendiculaires) si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) (voir §3).

3) Produit scalaire dans l’espace

Définition géométrique

Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls, le produit scalaire est défini par :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta), \]

où \(\theta\in[0,\pi]\) est l’angle orienté entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Si l’un des vecteurs est nul, on pose \(\vec{u}\cdot\vec{0}=0\).

Formule en coordonnées (repère orthonormé)

Si \(\vec{u}=(x_1,y_1,z_1)\) et \(\vec{v}=(x_2,y_2,z_2)\), alors :

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2. \]

Propriétés algébriques

  • Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\).
  • Linéarité : \((\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})\cdot\vec{w}=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{w})+\beta(\vec{v}\cdot\vec{w})\).
  • Positivité : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\ge 0\).

Exemple de calcul

Soient \(\vec{u}=(2,-1,3)\) et \(\vec{v}=(1,4,0)\).

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 1 + (-1)\cdot 4 + 3\cdot 0 = 2-4+0=-2. \]

Angle entre deux vecteurs

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls, alors :

\[ \cos(\theta)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}. \]

En particulier :

  • \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de même sens si \(\vec{u}\cdot\vec{v}>0\).
  • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de sens opposé si \(\vec{u}\cdot\vec{v}<0\).

4) Applications du produit scalaire dans l’espace

Orthogonalité d’un vecteur et d’un plan

Un vecteur normal \(\vec{n}\) à un plan \((P)\) est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur du plan. Si \(\vec{u}\) est directeur d’une droite \(d\) contenue dans \((P)\), alors \(\vec{n}\perp\vec{u}\).

Equation cartésienne d’un plan

Soit \((P)\) un plan passant par un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\) (avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\)).

Un point \(M(x,y,z)\) appartient à \((P)\) si et seulement si :

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. \]

En développant, on obtient une équation cartésienne du plan :

\[ ax+by+cz+d=0. \]

Exemple de plan

On considère \((P)\) passant par \(A(1,-1,2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}=(2,3,-1)\). Pour \(M(x,y,z)\in(P)\) :

\[ \overrightarrow{AM}=(x-1;\,y+1;\,z-2). \]

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} =2(x-1)+3(y+1)-1(z-2)=0. \]

On développe :

\[ 2x-2+3y+3-z+2=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+3y-z+3=0. \]

Donc \((P)\) a pour équation : \(2x+3y-z+3=0\).

Distance d’un point à un plan

Si \((P)\) a pour équation \(ax+by+cz+d=0\) et \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) est un point quelconque, alors la distance de \(M_0\) au plan \((P)\) est :

\[ d\bigl(M_0,(P)\bigr) =\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]

5) Produit vectoriel : définition et interprétation

Définition

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l’espace. Leur produit vectoriel \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) (ou \(\vec{u}\times\vec{v}\)) est un vecteur défini par :

  • \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).
  • \(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
  • Le sens est donné par la règle du tire-bouchon (orientation du repère).

Cas de colinéarité

\(\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Interprétation en aire

Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) représentent deux côtés d’un parallélogramme, alors :

\[ \text{Aire du parallélogramme} = \|\vec{u}\wedge\vec{v}\|. \]

Et l’aire du triangle construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est :

\[ \text{Aire du triangle} = \frac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|. \]

6) Produit vectoriel en coordonnées

Formule dans un repère orthonormé

Dans le repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), si :

\[ \vec{u} = (a,b,c),\qquad \vec{v}=(a',b',c'), \]

alors le produit vectoriel \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) a pour coordonnées :

\[ \vec{u}\wedge\vec{v} =\bigl(bc'-cb';\ c a'-a c';\ a b'-b a'\bigr). \]

On peut aussi retenir la forme avec déterminant (mnémotechnique) :

\[ \vec{u}\wedge\vec{v} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a & b & c\\ a' & b' & c' \end{vmatrix}. \]

Exemple de calcul

Soient \(\vec{u}=(1,2,0)\) et \(\vec{v}=(0,1,3)\).

\[ \vec{u}\wedge\vec{v} =\bigl(2\cdot 3 - 0\cdot 1;\ 0\cdot 0 - 1\cdot 3;\ 1\cdot 1-2\cdot 0\bigr) =(6;\ -3;\ 1). \]

On peut vérifier que \(\vec{u}\wedge\vec{v}\perp\vec{u}\) et \(\vec{u}\wedge\vec{v}\perp\vec{v}\) en calculant les produits scalaires (qui valent 0).

En pratique Bac SP, on utilise le produit vectoriel surtout pour trouver un vecteur normal à un plan ou pour calculer des aires.

7) Droites et plans : vecteurs directeurs et vecteurs normaux

Droite de l’espace : représentation paramétrique

Une droite \(d\) passant par un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}=(\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0)\) peut être décrite par :

\[ d:\ \begin{cases} x = x_A + \alpha t\\[2pt] y = y_A + \beta t\\[2pt] z = z_A + \gamma t \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]

Vecteur directeur d’une droite, vecteur normal à un plan

  • Un vecteur directeur d’une droite \(d\) est tout vecteur non nul parallèle à \(d\).
  • Un vecteur normal à un plan \((P)\) est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur du plan.
  • Si \((P)\) est défini par \(ax+by+cz+d=0\), alors \(\vec{n}=(a,b,c)\) est normal à \((P)\).

Vecteur normal par produit vectoriel

Si un plan \((P)\) contient deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), alors \(\vec{u}\wedge\vec{v}\) est un vecteur normal à \((P)\).

C’est très utile pour obtenir rapidement une équation de plan.

8) Aires et volumes (niveau Bac)

Aire d’un parallélogramme / triangle

  • Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) représentent deux côtés d’un parallélogramme, alors : \[ \mathscr{A}_{\text{parallélogramme}} = \|\vec{u}\wedge\vec{v}\|. \]
  • Aire du triangle formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \[ \mathscr{A}_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|. \]

Volume d’un parallélépipède rectangle (rappel)

Pour trois vecteurs \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) non coplanaires, le volume signé du parallélépipède construit sur ces vecteurs est :

\[ V = |\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})|. \]

Cette formule (triple produit scalaire) est plus utilisée en filière Sciences Mathématiques, mais peut être citée comme prolongement.

9) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Norme et distance

Dans \((Oxyz)\), on considère les points \(A(1,2,-1)\) et \(B(3,-2,4)\).

  1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer la distance \(AB\).

1) \(\overrightarrow{AB}=(3-1;\,-2-2;\ 4-(-1))=(2;\,-4;\,5)\).

2) La distance vaut : \[ AB=\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{2^2+(-4)^2+5^2} =\sqrt{4+16+25} =\sqrt{45} =3\sqrt{5}. \]

Ex.2 — Produit scalaire et orthogonalité

Soient \(\vec{u}=(1,2,-1)\) et \(\vec{v}=(2,-1,1)\).

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
  2. En déduire si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.

1) \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 =2-2-1=-1. \]

2) Le produit scalaire n’est pas nul \((-1\neq 0)\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas orthogonaux.

Ex.3 — Angle entre deux vecteurs

Soient \(\vec{u}=(1,0,2)\) et \(\vec{v}=(2,-1,1)\).

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
  2. En déduire \(\cos(\theta)\) puis l’angle \(\theta\) (arrondi au degré).

1) \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 2 + 0\cdot(-1) + 2\cdot 1=2+0+2=4. \]

\[ \|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{5},\quad \|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}. \]

Donc : \[ \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =\dfrac{4}{\sqrt{5}\sqrt{6}}=\dfrac{4}{\sqrt{30}}. \]

On en déduit \(\theta\approx 42^\circ\) (au Bac, on peut laisser \(\cos\theta\) sous forme exacte si la calculatrice donne l’angle).

Ex.4 — Equation de plan

On considère le plan \((P)\) passant par \(A(1,0,-2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}=(2,-1,3)\).

  1. Donner une équation cartésienne de \((P)\).
  2. Vérifier que le point \(B(3,-1,1)\) appartient à \((P)\).

1) Pour \(M(x,y,z)\in(P)\) : \[ \overrightarrow{AM}=(x-1;\,y-0;\,z+2). \]

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} =2(x-1)+(-1)y+3(z+2)=0. \]

On développe : \[ 2x-2-y+3z+6=0 \Rightarrow 2x-y+3z+4=0. \]

Donc \((P)\) a pour équation \(2x-y+3z+4=0\).

2) Pour \(B(3,-1,1)\) : \[ 2\cdot 3-(-1)+3\cdot 1+4=6+1+3+4=14\neq 0. \]

Donc \(B\notin(P)\).

Ex.5 — Distance d’un point à un plan

Soit \((P): x-2y+2z-3=0\) et \(M(1,1,0)\).

Calculer la distance de \(M\) au plan \((P)\).

Ici \(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\), \(d=-3\), \(M(1,1,0)\).

\[ d\bigl(M,(P)\bigr) =\dfrac{|a x_M+b y_M+c z_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} =\dfrac{|1\cdot 1-2\cdot 1+2\cdot 0-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}. \]

\[ =\dfrac{|1-2+0-3|}{\sqrt{1+4+4}} =\dfrac{|-4|}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}. \]

Ex.6 — Produit vectoriel et orthogonalité

Soient \(\vec{u}=(1,2,3)\) et \(\vec{v}=(0,1,-1)\).

  1. Calculer \(\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}\).
  2. Vérifier que \(\vec{w}\perp\vec{u}\) et \(\vec{w}\perp\vec{v}\).

1) \[ \vec{u}\wedge\vec{v} =\bigl(2\cdot(-1)-3\cdot 1;\ 3\cdot 0-1\cdot(-1);\ 1\cdot 1-2\cdot 0\bigr) =(-2-3;\ 0+1;\ 1-0) =(-5;\ 1;\ 1). \]

2) \[ \vec{u}\cdot\vec{w} =1\cdot(-5)+2\cdot 1+3\cdot 1 = -5+2+3=0. \]

\[ \vec{v}\cdot\vec{w} =0\cdot(-5)+1\cdot 1+(-1)\cdot 1 = 1-1=0. \]

Donc \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

Ex.7 — Vecteur normal d’un plan par produit vectoriel

Un plan \((P)\) contient le point \(A(0,1,2)\) et deux vecteurs \(\vec{u}=(1,0,-1)\) et \(\vec{v}=(2,1,0)\) non colinéaires.

  1. Déterminer un vecteur normal \(\vec{n}\) à \((P)\).
  2. En déduire une équation cartésienne de \((P)\).

1) Un vecteur normal est \(\vec{n}=\vec{u}\wedge\vec{v}\) :

\[ \vec{u}\wedge\vec{v} =\bigl(0\cdot 0-(-1)\cdot 1;\ (-1)\cdot 2-1\cdot 0;\ 1\cdot 1-0\cdot 2\bigr) =(1;\ -2;\ 1). \]

2) Pour \(M(x,y,z)\in(P)\), on a \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0\), avec \(\overrightarrow{AM}=(x;\,y-1;\,z-2)\) :

\[ (x;\,y-1;\,z-2)\cdot(1,-2,1)=x-2(y-1)+(z-2)=0. \]

\[ x-2y+2+z-2=0\Rightarrow x-2y+z=0. \]

Une équation de \((P)\) est donc \(x-2y+z=0\).

Ex.8 — Aire d’un triangle par produit vectoriel

Dans \((Oxyz)\), on donne \(A(0,0,0)\), \(B(1,2,0)\) et \(C(2,1,3)\).

Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

On prend \(\vec{AB}=(1,2,0)\) et \(\vec{AC}=(2,1,3)\).

\[ \vec{AB}\wedge\vec{AC} =\bigl(2\cdot 3-0\cdot 1;\ 0\cdot 2-1\cdot 3;\ 1\cdot 1-2\cdot 2\bigr) =(6;\ -3;\ -3). \]

\[ \|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\| =\sqrt{6^2+(-3)^2+(-3)^2} =\sqrt{36+9+9} =\sqrt{54} =3\sqrt{6}. \]

Donc aire du triangle : \[ \mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\| =\dfrac{3\sqrt{6}}{2}. \]

Ex.9 — Droite de l’espace en forme paramétrique

La droite \(d\) passe par \(A(1,-1,0)\) et admet \(\vec{u}=(2,1,-1)\) comme vecteur directeur.

Donner une représentation paramétrique de \(d\).

Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), un point \(M(x,y,z)\) de \(d\) s’écrit :

\[ \begin{cases} x = 1 + 2t\\ y = -1 + t\\ z = 0 - t \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]

Ex.10 — Vérifier le parallélisme de deux droites

On considère deux droites \(d_1\) et \(d_2\) de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}_1=(1,2,-1)\) et \(\vec{u}_2=(2,4,-2)\).

Montrer que \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.

On remarque que \(\vec{u}_2=2\vec{u}_1\), donc \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) sont colinéaires.

Les deux droites ayant des vecteurs directeurs colinéaires, elles sont parallèles (ou confondues si elles ont un point en commun).

Ex.11 — Angle entre deux plans

On considère les plans : \[ (P_1): x+2y-z+1=0,\quad (P_2): 2x-y+2z-3=0. \]

Déterminer l’angle entre ces deux plans.

L’angle entre deux plans est l’angle entre leurs vecteurs normaux.

\[ \vec{n}_1=(1,2,-1),\quad \vec{n}_2=(2,-1,2). \]

\[ \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 2-2-2=-2. \]

\[ \|\vec{n}_1\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6},\quad \|\vec{n}_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3. \]

Donc : \[ \cos\theta=\dfrac{-2}{3\sqrt{6}}. \]

On en déduit \(\theta\approx 114^\circ\). L’angle aigu entre les plans est alors \(180^\circ-\theta\approx 66^\circ\).

Ex.12 — Reconnaître les outils à utiliser

Dans chaque situation, indiquer s’il faut utiliser plutôt le produit scalaireproduit vectoriel (sans détailler les calculs) :

  1. Vérifier que deux vecteurs sont perpendiculaires.
  2. Calculer l’aire d’un triangle dans l’espace.
  3. Déterminer un vecteur normal à un plan connaissant deux vecteurs du plan.
  4. Calculer l’angle entre deux vecteurs.
  1. Produit scalaire : \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  2. Produit vectoriel : \(\mathscr{A}_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|\).
  3. Produit vectoriel : \(\vec{n}=\vec{u}\wedge\vec{v}\) donne un vecteur normal.
  4. Produit scalaire : \(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\).

10) Mini-fiche récapitulative

  • Produit scalaire : \[ \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta =x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2. \]
  • \(\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  • Plan : \(ax+by+cz+d=0\) avec \(\vec{n}=(a,b,c)\) normal au plan.
  • Produit vectoriel : \[ \|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta, \] vecteur orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
  • Aire du parallélogramme : \(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|\), aire du triangle : \(\dfrac{1}{2}\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|\).
  • Droite : \(\begin{cases}x=x_A+\alpha t\\y=y_A+\beta t\\z=z_A+\gamma t\end{cases}\) avec vecteur directeur \((\alpha,\beta,\gamma)\).

Cours — Géométrie dans l’espace (produit scalaire & produit vectoriel) — 2ᵉ Bac Sciences Physiques — © neobac.ma