Dénombrement et probabilités

1) Introduction : pourquoi les probabilités au Bac ?

En 2e Bac Sciences Physiques, le chapitre Dénombrement et probabilités te prépare à traiter des situations aléatoires de façon rigoureuse : tirage de cartes, de boules, expériences de réussite/échec, contrôles de qualité, etc.

Objectifs Bac

  • Savoir décrire une expérience aléatoire (univers, événements).
  • Calculer des probabilités dans un univers fini équiprobable.
  • Utiliser le dénombrement (principe additif/multiplicatif, combinaisons) pour calculer une probabilité.
  • Maîtriser la loi binomiale : reconnaître la situation, écrire la loi, calculer \(P(X=k)\).
  • Savoir interpréter une probabilité ou une espérance dans un contexte réel.

Réflexe méthode

  1. Décrire : univers \(\Omega\), événement \(A\), variable aléatoire \(X\) si besoin.
  2. Dénombrer : compter le nombre de cas favorables / possibles (ou utiliser la loi binomiale).
  3. Calculer : appliquer la formule de probabilité adaptée.
  4. Conclure en phrase : interpréter le résultat dans le contexte.

2) Expériences aléatoires, univers, événements

Vocabulaire de base

  • Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (ex. lancer un dé).
  • Issue : résultat possible d’une expérience.
  • Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles.
  • Événement : sous-ensemble de \(\Omega\).
  • Événement élémentaire : événement réduit à une seule issue.

Exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.

  • \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
  • « Obtenir un nombre pair » : \(A=\{2,4,6\}\).
  • « Obtenir 5 » : événement élémentaire \(B=\{5\}\).

Opérations sur les événements

  • Événement contraire : \(\overline{A}\) (ou \(A^c\)) = « A ne se produit pas ».
  • Intersection : \(A\cap B\) = « A et B se produisent ».
  • Union : \(A\cup B\) = « A ou B se produit (au moins l’un des deux) ».
  • Événements incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\).

3) Probabilités sur un univers fini équiprobable

Cas équiprobable

On suppose que toutes les issues de \(\Omega\) sont équiprobables (mêmes chances).

Pour tout événement \(A\subset\Omega\) :

\[ P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} =\dfrac{|A|}{|\Omega|}. \]

Propriétés fondamentales

  • Pour tout événement \(A\), \(0\le P(A)\le 1\).
  • \(P(\Omega)=1\) et \(P(\varnothing)=0\).
  • \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
  • Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B). \]

Exemple de calcul

On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes.

  • \(|\Omega|=52\).
  • Événement « obtenir un cœur » : 13 cartes \(\Rightarrow P(\text{cœur})=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\).
  • Événement « obtenir un as » : 4 cartes \(\Rightarrow P(\text{as})=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\).

4) Dénombrement : principes additif et multiplicatif

Principe additif

Si une tâche peut être réalisée de \(n_1\) façons ou bien de \(n_2\) façons, sans recouvrement, alors elle peut être réalisée de :

\[ n_1+n_2\ \text{façons}. \]

Principe multiplicatif

Si une tâche se décompose en deux étapes indépendantes :

  • Étape 1 : \(n_1\) possibilités.
  • Étape 2 : \(n_2\) possibilités pour chaque choix de l’étape 1.

Alors le nombre total de possibilités est :

\[ n_1\times n_2. \]

Au Bac, ces principes sont souvent visualisés avec un arbre pondéré : chaque branche représente un choix.

Exemple

Un mot de passe est composé d’une lettre majuscule puis d’un chiffre.

  • 26 possibilités pour la lettre, 10 possibilités pour le chiffre.
  • Nombre total de mots de passe : \(26\times 10=260\).

5) Arrangements, permutations, combinaisons

Factorielle

Pour tout entier \(n\ge 1\) :

\[ n! = 1\times 2\times 3\times\cdots\times n. \]

On pose par convention \(0!=1\).

Permutations

Le nombre de permutations de \(n\) objets distincts (nombre d’ordres possibles) est :

\[ P_n = n!. \]

Arrangements

Un arrangement de \(p\) éléments distincts choisis parmi \(n\) (avec l’ordre qui compte) est une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts de l’ensemble.

Le nombre d’arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\) est :

\[ A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}. \]

Combinaisons

Une combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) est un sous-ensemble de \(p\) éléments (l’ordre ne compte pas).

Le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\) est :

\[ C_n^p = \binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}. \]

Réflexe : l’ordre compte \(\Rightarrow\) arrangements ; l’ordre ne compte pas \(\Rightarrow\) combinaisons.

Exemple

  • On veut choisir 3 élèves parmi 10 pour former une équipe sans rôles particuliers : \[ C_{10}^3=\dfrac{10!}{3!\,7!}=120. \]
  • On veut choisir un président, un vice-président et un secrétaire parmi ces 10 élèves : \[ A_{10}^3=\dfrac{10!}{7!}=10\times 9\times 8=720. \]

6) Variable aléatoire discrète, loi de probabilité

Variable aléatoire

Une variable aléatoire discrète \(X\) est une fonction qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel (gain, nombre de succès, etc.).

Loi de probabilité

La loi de \(X\) est donnée par le tableau des valeurs possibles de \(X\) et de leurs probabilités :

\[ \begin{array}{c|cccc} x_i & x_1 & x_2 & \cdots & x_k\\\hline P(X=x_i) & p_1 & p_2 & \cdots & p_k \end{array} \]

où chaque \(p_i\ge 0\) et \[ \sum_{i=1}^k p_i = 1. \]

Espérance mathématique

L’espérance de \(X\), notée \(E(X)\), est :

\[ E(X)=\sum_{i=1}^k x_i P(X=x_i). \]

Elle représente la « valeur moyenne théorique » sur un grand nombre de répétitions.

Exemple de jeu

On lance un dé équilibré :

  • Si le résultat est 6 : gain de 2 dh.
  • Sinon : gain de 0 dh.

On définit \(X\) = gain réalisé.

\[ \begin{array}{c|cc} x & 0 & 2\\\hline P & \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} \end{array} \]

\[ E(X)=0\times\dfrac{5}{6}+2\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\,\text{dh}. \]

7) Loi binomiale \(B(n,p)\)

Schéma de Bernoulli

On considère une expérience à deux issues : succès (S) et échec (\(\overline{S}\)), avec :

  • \(P(S)=p\) (probabilité de succès).
  • \(P(\overline{S})=1-p\).

On répète cette expérience n fois, de façon indépendante et dans les mêmes conditions. On parle de schéma de Bernoulli d’ordre \(n\).

Variable aléatoire binomiale

On note \(X\) le nombre de succès obtenus lors des \(n\) répétitions.

Alors \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), et on note :

\[ X\sim B(n,p). \]

Formule de probabilité

Pour tout entier \(k\) tel que \(0\le k\le n\) :

\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \]

Espérance et variance (admis au Bac)

  • Espérance : \[ E(X)=np. \]
  • Variance : \[ V(X)=np(1-p), \] et écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\).

Exemple type Bac

Une pièce a probabilité \(p=0{,}3\) de donner « face » à chaque lancer. On la lance 5 fois. On note \(X\) le nombre de faces obtenues.

  • \(X\sim B(5,0{,}3)\).
  • \[ P(X=2)=\binom{5}{2}0{,}3^2\times 0{,}7^3 =10\times 0{,}09\times 0{,}343 \approx 0{,}3087. \]

8) Stratégie générale en dénombrement et probabilités

Checklist examen

  • Étape 1 : Identifier le type de situation (univers fini, schéma de Bernoulli, variable aléatoire…).
  • Étape 2 : Décrire \(\Omega\) et les événements \(A\), ou la variable \(X\).
  • Étape 3 : Dénombrer :
    • Principe additif/multiplicatif.
    • Combinaisons \(\binom{n}{p}\) quand l’ordre ne compte pas.
    • Arrangements/permutations si l’ordre compte.
  • Étape 4 : Utiliser la formule adaptée :
    • \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) (univers fini).
    • \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) (binomiale).
  • Étape 5 : Simplifier, donner un résultat numérique (et éventuellement une approximation décimale).

9) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Univers fini, événement élémentaire

On lance un dé équilibré numéroté de 1 à 6.

  1. Décrire l’univers \(\Omega\).
  2. Définir par un ensemble l’événement \(A\) : « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ».
  3. Calculer \(P(A)\).

1) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).

2) \(A=\{5,6\}\).

3) \(|\Omega|=6\) et \(|A|=2\). Donc \[ P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}. \]

Ex.2 — Principe multiplicatif

Un mot de passe est constitué :

  • d’une lettre majuscule (26 possibilités) ;
  • suivie de deux chiffres (de 0 à 9) ; les chiffres peuvent se répéter.

Combien de mots de passe différents peut-on former ?

On a 26 choix pour la lettre, 10 choix pour le premier chiffre, 10 pour le second.

Par le principe multiplicatif : \[ N=26\times 10\times 10=2600. \]

Ex.3 — Combinaisons simples

Une classe de 30 élèves doit choisir 3 délégués sans rôle particulier.

  1. Combien de trios différents peut-on former ?
  2. Un élève donné a-t-il la même probabilité que les autres d’être choisi ? Justifier.

1) On choisit 3 élèves parmi 30, l’ordre ne compte pas :

\[ C_{30}^3=\binom{30}{3} =\dfrac{30!}{3!\,27!} =\dfrac{30\times 29\times 28}{6}=4060. \]

2) Toutes les combinaisons de 3 élèves sont équiprobables. Chaque élève apparaît dans le même nombre de trios. La situation est symétrique, donc tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis.

Ex.4 — Arrangements vs combinaisons

Dans une équipe sportive, 12 joueurs sont sélectionnés.

  1. On veut choisir 5 joueurs pour une séance photo sans ordre : combien de choix possibles ?
  2. On veut choisir un capitaine, un vice-capitaine et un porte-parole : combien de trios ordonnés différents ?

1) Choix de 5 joueurs parmi 12, ordre non important :

\[ C_{12}^5=\binom{12}{5} =\dfrac{12!}{5!\,7!}=792. \]

2) Choix de 3 joueurs parmi 12, ordre important (les rôles sont différents) :

\[ A_{12}^3=\dfrac{12!}{9!}=12\times 11\times 10=1320. \]

Ex.5 — Probabilités et combinaisons

Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules blanches, indiscernables au toucher. On tire au hasard 3 boules simultanément, sans remise.

  1. Combien de tirages possibles de 3 boules ?
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 boules rouges ?

1) On choisit 3 boules parmi 12 :

\[ |\Omega|=C_{12}^3=\binom{12}{3} =\dfrac{12\times 11\times 10}{6}=220. \]

2) « 2 rouges et 1 blanche » : on choisit 2 parmi 5 rouges et 1 parmi 7 blanches :

\[ |A|=C_5^2\times C_7^1=\binom{5}{2}\times 7=10\times 7=70. \]

Donc \[ P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{70}{220}=\dfrac{7}{22}\approx 0{,}318. \]

Ex.6 — Variable aléatoire discrète

On considère le jeu suivant : on lance une pièce équilibrée.

  • Si « face » : gain de 3 dh.
  • Si « pile » : gain de 1 dh.

On note \(X\) le gain.

  1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
  2. Calculer l’espérance \(E(X)\).

1) La pièce est équilibrée : \(P(\text{face})=P(\text{pile})=\dfrac{1}{2}\).

\[ \begin{array}{c|cc} x & 1 & 3\\\hline P(X=x) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \]

2) \[ E(X)=1\times\dfrac{1}{2}+3\times\dfrac{1}{2} =\dfrac{1+3}{2}=2\ \text{dh}. \]

Ex.7 — Reconnaître une loi binomiale

Une machine produit des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec probabilité \(p=0{,}02\), indépendamment des autres.

On prélève au hasard 50 pièces. On note \(X\) le nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon.

  1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Écrire \(P(X=3)\) sous forme exacte.

1) On répète 50 fois une expérience de Bernoulli « pièce défectueuse / non défectueuse » :

  • succès = « pièce défectueuse », probabilité \(p=0{,}02\) ;
  • les 50 tirages sont indépendants et identiques.

Donc \(X\) = nombre de succès \(\Rightarrow X\sim B(50,0{,}02)\).

2) \[ P(X=3)=\binom{50}{3}0{,}02^3(0{,}98)^{47}. \]

Ex.8 — Probabilités binomiales

On lance une pièce équilibrée 4 fois. On note \(X\) le nombre de fois où on obtient « face ».

  1. Quelle est la loi de \(X\) ?
  2. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X\ge 1)\).

1) À chaque lancer, succès = « face » avec probabilité \(p=\dfrac{1}{2}\). On répète 4 fois, donc :

\(X\sim B(4,\dfrac{1}{2})\).

2) <[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 =\dfrac{1}{16}. ]>

\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 =4\times\dfrac{1}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}. \]

\[ P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}. \]

Ex.9 — Espérance d’une loi binomiale

Un examen est réussi avec probabilité \(0{,}8\) pour un candidat, indépendamment des autres.

On considère un groupe de 10 candidats. On note \(X\) le nombre de candidats qui réussissent.

  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer l’espérance \(E(X)\). Interpréter.

1) Chaque candidat réussit ou échoue, avec probabilité \(p=0{,}8\) de succès, indépendance :

\(X\sim B(10,0{,}8)\).

2) \[ E(X)=np=10\times 0{,}8=8. \]

Interprétation : en moyenne, on peut s’attendre à ce qu’environ 8 candidats sur 10 réussissent l’examen (pour un grand nombre de groupes de 10).

Ex.10 — Proba « au moins une fois »

Une entreprise envoie un SMS promotionnel. Chaque client le lit avec probabilité \(0{,}6\), indépendamment des autres.

On choisit au hasard 5 clients et on note \(X\) le nombre de SMS lus.

  1. Donner la loi de \(X\).
  2. Calculer la probabilité qu’au moins 3 clients lisent le SMS.

1) Succès = « le client lit le SMS », probabilité \(p=0{,}6\). On a :

\(X\sim B(5,0{,}6)\).

2) \[ P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). \]

\[ P(X=3)=\binom{5}{3}0{,}6^3 0{,}4^2 =10\times 0{,}216\times 0{,}16\approx 0{,}3456. \]

\[ P(X=4)=\binom{5}{4}0{,}6^4 0{,}4 =5\times 0{,}1296\times 0{,}4\approx 0{,}2592. \]

\[ P(X=5)=\binom{5}{5}0{,}6^5 0{,}4^0 =1\times 0{,}07776=0{,}07776. \]

Donc \[ P(X\ge 3)\approx 0{,}3456+0{,}2592+0{,}07776\approx 0{,}68256\approx 0{,}683. \]

Ex.11 — Dénombrement + probabilité

On dispose de 8 cartes numérotées de 1 à 8. On les mélange et on en tire 3 au hasard, sans remise, que l’on pose dans l’ordre de tirage (on s’intéresse à la suite obtenue).

  1. Combien de suites différentes peut-on obtenir ?
  2. Quelle est la probabilité que les trois numéros tirés soient tous pairs ?

1) On tire successivement 3 cartes distinctes parmi 8, l’ordre compte :

\[ N=A_8^3=\dfrac{8!}{5!}=8\times 7\times 6=336. \]

2) Les numéros pairs sont \(\{2,4,6,8\}\) (4 cartes). On veut 3 cartes distinctes parmi ces 4, l’ordre compte :

\[ N_{\text{pairs}}=A_4^3=\dfrac{4!}{1!}=4\times 3\times 2=24. \]

\[ P(\text{3 numéros pairs})=\dfrac{24}{336}=\dfrac{1}{14}\approx 0{,}071. \]

Ex.12 — Choix de la bonne méthode

Pour chaque situation, indiquer si on utilisera plutôt :

  • (a) un simple calcul de fréquence dans un univers fini équiprobable,
  • (b) les combinaisons,
  • (c) la loi binomiale.
  1. On lance un dé équilibré une fois. On veut la probabilité d’obtenir un nombre pair.
  2. On tire 5 cartes dans un jeu de 32, sans remise, et on veut la probabilité d’obtenir exactement 2 as.
  3. Une pièce truquée donne « face » avec probabilité 0,6. On la lance 20 fois ; on veut la probabilité d’obtenir exactement 12 faces.
  1. (a) Univers fini simple : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), fréquence \(|A|/|\Omega|\).
  2. (b) Tirage sans remise dans un jeu de cartes : on compte les mains avec des combinaisons \(C_n^p\).
  3. (c) Répétition indépendante de lancers d’une même pièce (succès/échec) : loi binomiale \(B(20,0{,}6)\).

10) Mini-fiche récapitulative

  • Univers fini équiprobable : \[ P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}. \]
  • Principes de dénombrement :
    • additif : « ou » \(\Rightarrow\) on additionne ;
    • multiplicatif : « puis » \(\Rightarrow\) on multiplie.
  • Combinaisons : \[ \binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}. \]
  • Variable aléatoire discrète : \[ E(X)=\sum x_i P(X=x_i). \]
  • Loi binomiale \(B(n,p)\) : \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad E(X)=np. \]

Cours — Dénombrement et probabilités — 2ᵉ Bac Sciences Physiques — © neobac.ma