Oscillations libres d’un circuit RLC série

1) Définition, modèle et grandeurs

Un circuit RLC série comporte une résistance \(R\), une inductance \(L\) et un condensateur \(C\) montés en série. On étudie ici les oscillations libres : le circuit est **isolé de la source** après une mise en énergie initiale (charge de \(C\) et/ou courant dans \(L\)).

  • Loi des mailles (circuit isolé) : \(\;u_R+u_L+u_C=0\;\) avec \(u_R=Ri\), \(u_L=L\,\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\), \(u_C=\dfrac{q}{C}\) où \(i=\dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt}\).
  • Grandeurs : \(R[\Omega]\), \(L[\text{H}]\), \(C[\text{F}]\), \(q[\text{C}]\), \(i[\text{A}]\).
  • Pulsations caractéristiques : \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) (pulsation propre sans pertes) ; \(\alpha=\dfrac{R}{2L}\) (amortissement).
RLC série (libre) R L C
Figure A — Circuit RLC série isolé (oscillations libres).

2) Équation différentielle et formes standards

En posant \(q\) la charge du condensateur : \(\displaystyle L\,\frac{\mathrm d^2 q}{\mathrm dt^2} + R\,\frac{\mathrm d q}{\mathrm dt} + \frac{1}{C}\,q = 0.\)

De la maille \(Ri + L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt} + \dfrac{q}{C}=0\) avec \(i=\dot q\) : \(L\ddot q + R\dot q + \dfrac{1}{C}q=0\).

  • Écriture normalisée : \(\ddot q + 2\alpha\,\dot q + \omega_0^2 q=0\) avec \(\alpha=\dfrac{R}{2L}\), \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\).
  • Courant \(i=\dot q\) vérifie \(\ddot i + 2\alpha\,\dot i + \omega_0^2 i=0\).

3) Régimes : sous-amorti, critique, sur-amorti

  • Sous-amorti (\(\alpha<\omega_0\)) : oscillations amorties de pulsation \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\).
  • Critique (\(\alpha=\omega_0\)) : retour apériodique le plus rapide sans oscillation.
  • Sur-amorti (\(\alpha>\omega_0\)) : somme de deux exponentielles décroissantes, pas d’oscillation.

En sous-amorti, la solution générale (pour \(q\)) : \(\displaystyle q(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t+\varphi)\) et \(i(t)=\dot q(t)\) de même enveloppe \(e^{-\alpha t}\).

Enveloppes ±e^{-αt}
Figure B — Oscillations amorties : enveloppes exponentielles.
i q
Figure C — Portrait de phase (q,i) : spirale vers l’origine (sous-amorti).

4) Période, pseudo-période, décrément et facteur de qualité

  • Pulsation amortie : \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\), pseudo-période \(T_d=\dfrac{2\pi}{\omega_d}\) (sous-amorti).
  • Décrément logarithmique \(\displaystyle \delta=\ln\!\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right)=\alpha T_d\) (entre deux maxima consécutifs).
  • Facteur de qualité \(\displaystyle Q=\frac{\omega_0}{2\alpha}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) ; si \(Q\gg 1\), faibles pertes.
  • Énergie totale \(E=\tfrac12 L i^2+\tfrac12 \frac{q^2}{C}\) décroît comme \(e^{-2\alpha t}\).

Si \(Q=20\), alors \(\alpha=\omega_0/(2Q)=\omega_0/40\), oscillations faiblement amorties.

t_n t_{n+1} δ = ln(A_n/A_{n+1})
Figure D — Décrément logarithmique entre deux pics successifs.

5) Conditions initiales et expressions usuelles

  • Exemple d’excitation initiale : \(\;q(0)=Q_0,\; i(0)=0\) (condensateur chargé, interrupteur fermé à \(t=0\)).
  • En sous-amorti, pour \(q(0)=Q_0\), \(i(0)=0\) : \(\displaystyle q(t)=Q_0 e^{-\alpha t}\!\left(\cos \omega_d t+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin \omega_d t\right).\)
  • Courant : \(\displaystyle i(t)=\dot q(t) = -Q_0 \frac{\omega_0^2}{\omega_d} e^{-\alpha t}\sin \omega_d t.\)

Résolution par méthode de la solution sous la forme \(e^{rt}\) puis ajustement des constantes par \(q(0)\) et \(i(0)\).

6) Bilans énergétiques et interprétation physique

  • Énergie magnétique : \(E_L=\tfrac12 L i^2\). Énergie électrique : \(E_C=\tfrac12 \dfrac{q^2}{C}\).
  • Sans pertes (\(R=0\)) : \(E=E_L+E_C\) **constante** → oscillations non amorties à \(\omega_0\).
  • Avec \(R\neq 0\) : \(E\) décroît à cause de \(p_R=Ri^2\), enveloppe \(E(t)\propto e^{-2\alpha t}\).
E(t) ~ e^{-2αt}
Figure E — Décroissance de l’énergie totale.

7) Mesures expérimentales (TP Bac)

  1. Mesure de \(T_d\) : relever deux maxima consécutifs → \(T_d=t_{n+1}-t_n\).
  2. Mesure de \(\delta\) : \(\delta=\ln\left(\dfrac{A_n}{A_{n+1}}\right)\) ; en déduire \(\alpha=\dfrac{\delta}{T_d}\) puis \(Q=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}\).
  3. Comparaison paramétrique : à partir de \(L,C,R\) mesurés, calculer \(\omega_0, \alpha, \omega_d\) et comparer aux valeurs expérimentales.
Utiliser les mêmes repères (mêmes axes et échelles) pour lire hauteurs \(A_n\) et temps \(t_n\).

8) Méthodologie Bac (résumé opérationnel)

  • Écrire l’ED : \(L\ddot q + R\dot q + \dfrac{1}{C}q=0\), poser \(\alpha,\omega_0\).
  • Identifier le régime (comparer \(\alpha\) et \(\omega_0\)).
  • Résoudre selon CI, obtenir \(q(t)\) et \(i(t)\). En sous-amorti : repérer \(\omega_d\) et l’enveloppe \(e^{-\alpha t}\).
  • Relier \(\delta, Q, \alpha, T_d\) : \(\delta=\alpha T_d=\dfrac{\pi}{Q}\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}\approx \dfrac{\pi}{Q}\) si \(Q\gg1\).

9) Exemples chiffrés guidés

Exemple 1 : \(L=50\ \text{mH}\), \(C=0{,}10\ \mu\text{F}\) ⇒ \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\approx 14142\ \text{rad·s}^{-1}\) (\(f_0\approx 2250\ \text{Hz}\)). Avec \(R=10\ \Omega\) : \(\alpha=R/(2L)=100\ \text{s}^{-1}\ll \omega_0\) ⇒ sous-amorti, \(\omega_d\approx \omega_0\).

Exemple 2 : on observe deux pics successifs \(A_1=6{,}0\ \text{V}\), \(A_2=5{,}2\ \text{V}\), \(T_d=0{,}40\ \text{ms}\). \(\delta=\ln(6/5{,}2)=0{,}143\) ⇒ \(\alpha=\delta/T_d=358\ \text{s}^{-1}\). Si \(f_0=2{,}3\ \text{kHz}\), \(Q\simeq \omega_0/(2\alpha)\approx 14100/(716)\approx 19{,}7\).

10) Erreurs fréquentes

  • Confondre \(T_d\) (pseudo-période amortie) et \(T_0=2\pi/\omega_0\) (sans pertes).
  • Oublier que \(E\) décroît comme \(e^{-2\alpha t}\) (et non \(e^{-\alpha t}\)).
  • Utiliser \(\omega_d=\omega_0\) quel que soit \(R\) (approximation valable seulement si \(\alpha\ll \omega_0\)).
  • Mesurer \(\delta\) avec des pics non consécutifs sans diviser par le nombre de périodes entre les pics.

11) Exercices Bac (22) — solutions détaillées

Ex.1 — Équation différentielle

Écrire l’ED de \(q(t)\) pour un RLC série libre.

\(L\ddot q+R\dot q+\dfrac{1}{C}q=0\).

Ex.2 — Paramètres \(\alpha,\omega_0\)

Exprimer \(\alpha\) et \(\omega_0\) en fonction de \(R,L,C\).

\(\alpha=\dfrac{R}{2L}\), \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\).

Ex.3 — Type de régime

\(L=20\ \text{mH}\), \(C=0{,}22\ \mu\text{F}\), \(R=12\ \Omega\). Conclure.

\(\omega_0\approx 1/\sqrt{4{,}4\times10^{-9}}=15048\ \text{rad·s}^{-1}\). \(\alpha=R/(2L)=12/(0{,}04)=300\ \text{s}^{-1}\ll \omega_0\) ⇒ sous-amorti.

Ex.4 — Pseudo-période

Déduire \(T_d\) pour les données de l’Ex.3.

\(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\approx \omega_0\). \(T_d\simeq 2\pi/\omega_0\approx 0{,}000418\ \text{s}\) (0,418 ms).

Ex.5 — Solution pour \(q(0)=Q_0, i(0)=0\)

Donner \(q(t)\) en sous-amorti.

\(q(t)=Q_0 e^{-\alpha t}\!\left(\cos \omega_d t+\dfrac{\alpha}{\omega_d}\sin \omega_d t\right)\).

Ex.6 — Courant maximal initial ?

Avec \(q(0)=Q_0\), \(i(0)=0\), le courant est-il maximal à \(t=0\) ?

Non, \(i(0)=0\). Le premier maximum de \(i\) apparaît vers \(t\approx \dfrac{\pi}{2\omega_d}\) si \(\alpha\ll\omega_d\).

Ex.7 — Énergie au temps t

Exprimer \(E(t)\) et sa loi de décroissance.

\(E=\tfrac12 Li^2+\tfrac12 q^2/C\), et \(E(t)\propto e^{-2\alpha t}\).

Ex.8 — Condition critique

Donner la condition sur \(R,L,C\) pour l’amortissement critique.

\(\alpha=\omega_0\Rightarrow \dfrac{R}{2L}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow R_{\text{crit}}=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}\).

Ex.9 — Décrément logarithmique

Montrer que \(\delta=\alpha T_d\).

\(A(t)=A_0 e^{-\alpha t}\). Deux pics espacés de \(T_d\) ⇒ \(\dfrac{A_n}{A_{n+1}}=e^{\alpha T_d}\Rightarrow \delta=\ln(A_n/A_{n+1})=\alpha T_d\).

Ex.10 — Qualité et décrément

Relier \(Q\) et \(\delta\) (approximation \(Q\gg1\)).

\(\delta=\alpha T_d=\dfrac{\omega_0}{2Q}\cdot \dfrac{2\pi}{\omega_d}\approx \dfrac{\pi}{Q}\).

Ex.11 — Mesure de Q

On mesure \(A_1=4{,}0\ \text{V}\), \(A_2=3{,}2\ \text{V}\), \(T_d=0{,}50\ \text{ms}\). Estimer \(Q\) si \(f_0=2{,}0\ \text{kHz}\).

\(\delta=\ln(4/3{,}2)=0{,}223\), \(\alpha=\delta/T_d=446\ \text{s}^{-1}\). \(\omega_0=2\pi f_0=12566\). \(Q=\omega_0/(2\alpha)\approx 14{,}1\).

Ex.12 — R à partir de Q

\(L=40\ \text{mH}\), \(C=0{,}10\ \mu\text{F}\), \(Q=20\). Calculer \(R\).

\(Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\Rightarrow R=\dfrac{1}{Q}\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{1}{20}\sqrt{\dfrac{0{,}04}{10^{-7}}}\approx \dfrac{1}{20}\times632\approx 31{,}6\ \Omega\).

Ex.13 — Pseudo-période mesurée

\(T_0=0{,}40\ \text{ms}\), \(\alpha=500\ \text{s}^{-1}\). Donner \(T_d\) précis.

\(\omega_0=2\pi/T_0=15708\). \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\approx 15700\). \(T_d=2\pi/\omega_d\approx 0{,}4002\ \text{ms}\) (très proche).

Ex.14 — Énergie après n périodes

Montrer \(E_{n+1}=E_n e^{-2\delta}\).

Amplitude \(\propto e^{-\alpha t}\). Sur \(T_d\) : \(A\to A e^{-\alpha T_d}\Rightarrow E\propto A^2\to E e^{-2\alpha T_d}=E e^{-2\delta}\).

Ex.15 — Critique : forme temporelle

Donner \(q(t)\) à l’amortissement critique.

\(q(t)=(A+Bt)\,e^{-\alpha t}\) avec \(\alpha=\omega_0\), constantes \(A,B\) fixées par CI.

Ex.16 — Sur-amorti : racines

Donner les racines de l’équation caractéristique en sur-amorti.

\(r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}\) réelles négatives distinctes.

Ex.17 — Condition de sous-amortissement

Exprimer la condition sur \(R\) pour avoir des oscillations.

\(\alpha<\omega_0 \Rightarrow \dfrac{R}{2L}<\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow R<2\sqrt{\dfrac{L}{C}}\).

Ex.18 — Temps pour division par 10 de l’énergie

Trouver \(t\) tel que \(E(t)=E(0)/10\).

\(E(t)=E_0 e^{-2\alpha t}=E_0/10\Rightarrow t=\dfrac{\ln 10}{2\alpha}\).

Ex.19 — Numérique complet

\(L=30\ \text{mH}\), \(C=0{,}20\ \mu\text{F}\), \(R=8\ \Omega\). Calculer \(\omega_0,\alpha,\omega_d,T_d\).

\(\omega_0=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{6\times10^{-9}}=12910\). \(\alpha=R/(2L)=8/0{,}06=133\). \(\omega_d=\sqrt{12910^2-133^2}\approx 12909\). \(T_d\approx 2\pi/12909=0{,}000487\ \text{s}\).

Ex.20 — Décrément mesuré

Deux pics \(A_1=10\ \text{V}\), \(A_4=7{,}4\ \text{V}\). \(T_d=0{,}30\ \text{ms}\). Estimer \(\alpha\).

\(\delta_3=\ln(A_1/A_4)=\ln(10/7{,}4)=0{,}287\). Par période : \(\delta=\delta_3/3=0{,}0957\). \(\alpha=\delta/T_d=0{,}0957/3\cdot 10^{-4}=319\ \text{s}^{-1}\).

Ex.21 — R depuis α

\(\alpha=400\ \text{s}^{-1}\), \(L=40\ \text{mH}\). Calculer \(R\).

\(R=2L\alpha=2\times0{,}04\times400=32\ \Omega\).

Ex.22 — Q depuis mesures

\(T_d=0{,}25\ \text{ms}\), \(\delta=0{,}12\), \(L=25\ \text{mH}\), \(C=0{,}15\ \mu\text{F}\). Estimer \(Q\) et comparer à \(Q_{\text{th}}=\dfrac{1}{R}\sqrt{L/C}\) si \(R=10\ \Omega\).

\(\alpha=\delta/T_d=480\ \text{s}^{-1}\), \( \omega_0=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{3{,}75\times10^{-9}}=16330\). \(Q_{\text{exp}}=\omega_0/(2\alpha)\approx 17{,}0\). \(Q_{\text{th}}=(1/10)\sqrt{0{,}025/1{,}5\times10^{-7}}=(0{,}1)\times408\approx 40{,}8\). Écart dû aux pertes parasites non modélisées.

12) Mini-fiche révision

  • \(L\ddot q+R\dot q+\dfrac{1}{C}q=0\) ; \(\alpha=\dfrac{R}{2L}\), \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), \(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\).
  • Sous-amorti si \(R<2\sqrt{L/C}\) ; critique si \(R=2\sqrt{L/C}\) ; sur-amorti sinon.
  • \(q(t)\sim e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t+\varphi)\), \(E(t)\propto e^{-2\alpha t}\).
  • \(\delta=\alpha T_d\), \(Q=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\) (si pertes ohmiques seules).

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