Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe

1) Introduction et vocabulaire

On étudie la rotation d’un solide indéformable autour d’un axe fixe. La description cinématique se fait à l’aide de l’angle de rotation \(\theta(t)\), de la vitesse angulaire \(\omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}\) et de l’accélération angulaire \(\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}\).

Unité : \(\theta\) s’exprime en radian (rad), \(\omega\) en rad·s\(^{-1}\), \(\alpha\) en rad·s\(^{-2}\).
Sens positif : souvent pris anti-horaire, selon la règle de la main droite.

2) Cinématique de la rotation

Pour un point \(M\) du solide à distance \(r\) de l’axe : \(\boxed{v=r\,\omega}\) (tangentielle) et \(\boxed{a_t=r\,\alpha}\), \(\boxed{a_n=r\,\omega^2}\) (normale, centripète).
Rotation uniforme : \(\omega=\) cste, \(\alpha=0\). Rotation accélérée : \(\alpha\neq 0\).
Lien angle/arc : \(\Delta s=r\,\Delta\theta\).

Cinématique : \(\,v=r\omega\), \(a_t=r\alpha\), \(a_n=r\omega^2\).

3) Moment d’une force et couple

Le moment d’une force \(\vec{F}\) par rapport à un axe (ou un point \(O\)) est \(\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}\). Son module vaut \(M_O=rF\sin\varphi\) (bras de levier).

Un couple de forces crée un moment résultant non nul et une rotation pure (sans translation).
Le travail élémentaire d’un moment : \(\delta W = \tau\, d\theta\) avec \(\tau\) le moment selon l’axe.

Moment d’une force : \(\tau=rF\sin\varphi\).

4) Dynamique de la rotation — Équation fondamentale

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe : \[ \boxed{\sum \tau = I\,\alpha} \] où \(I\) est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe, \(\alpha\) l’accélération angulaire.

Moment cinétique : \(L=I\,\omega\) (axe fixe). Si \(\sum\tau=0\) alors \(L=\) cste ⇒ \(\omega\) constante.
Énergie cinétique de rotation : \(\displaystyle E_{c,rot}=\frac{1}{2}I\omega^2\).
Puissance d’un couple moteur : \(P=\tau\,\omega\).

5) Moment d’inertie — cas usuels et théorème de Huygens (Steiner)

Le moment d’inertie \(I\) mesure la répartition des masses autour de l’axe : plus la masse est loin, plus \(I\) est grand. Unités : \(\mathrm{kg\,m^2}\).

Disque plein (axe perpendiculaire au centre) : \(I=\dfrac{1}{2}MR^2\).
Couronne (anneau de rayon \(R\)) : \(I=MR^2\).
Tige (longueur \(L\), axe passant par centre ⟂ tige) : \(I=\dfrac{1}{12}ML^2\).
Huygens/Steiner : \(I_\Delta=I_G+M d^2\), \(d\) distance entre l’axe \(\Delta\) et l’axe parallèle passant par \(G\).

6) Travail et énergie en rotation

Travail d’un couple constant lors d’une rotation \(\Delta\theta\) : \(W=\tau\,\Delta\theta\).
Théorème de l’énergie cinétique (rotation) : \(\displaystyle \Delta\!\left(\tfrac12 I\omega^2\right)=\sum W_{\text{couples}}\).
Avec frottements visqueux (couple résistant \(k\omega\)) : \(\sum\tau=\tau_m-k\omega=I\alpha\).

7) Cas du mouvement circulaire uniforme (MCU)

MCU : \(\omega\) constante, \(\alpha=0\). Accélération radiale seule (\(a_n=r\omega^2\)). Les forces radiales (tension, réaction, gravitation) assurent la contrainte.

Volant d’inertie tournant à vitesse constante, satellite en orbite circulaire (si \(v\) et \(r\) constants), etc.

8) Mesures expérimentales (TP Bac)

Stroboscope / photogate : détermination de \(T\), \(\omega=2\pi/T\).
Rampe + poulie : mesure de \(\alpha\) sous couple connu ⇒ \(I\) par \(\sum\tau=I\alpha\).
Pente log (freinage visqueux) : \(\omega(t)\) et identification de \(k\) dans \(\tau_r=k\omega\).

9) Schéma d’un volant entraîné par un couple

Entraînement par masse suspendue : \(\tau = TR\), \(\sum\tau=I\alpha\).

10) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Vitesse angulaire

Un disque effectue \(N=1200\ \text{tr·min}^{-1}\). Calculer \(\omega\) en rad·s\(^{-1}\).

\(f=1200/60=20\ \text{Hz}\), \(\omega=2\pi f=40\pi\simeq 126\ \text{rad·s}^{-1}\).

Ex.2 — Vitesses et accélérations au bord

Rayon \(R=0{,}20\ \text{m}\), \(\omega=50\ \text{rad·s}^{-1}\), \(\alpha=80\ \text{rad·s}^{-2}\). Calculer \(v,a_t,a_n\) au bord.

\(v=R\omega=10\ \text{m·s}^{-1}\), \(a_t=R\alpha=16\ \text{m·s}^{-2}\), \(a_n=R\omega^2=0{,}2\times 2500=500\ \text{m·s}^{-2}\).

Ex.3 — Moment d’une force

Bras \(r=0{,}30\ \text{m}\), force \(F=40\ \text{N}\) faisant \(\varphi=30^\circ\) avec le bras. Calculer \(\tau\).

\(\tau=rF\sin\varphi=0{,}3\times40\times 0{,}5=6\ \text{N·m}\).

Ex.4 — Équation de la dynamique

Un volant (\(I=0{,}25\ \text{kg·m}^2\)) subit \(\tau=5{,}0\ \text{N·m}\) (constante). Trouver \(\alpha\).

\(\alpha=\tau/I=5/0{,}25=20\ \text{rad·s}^{-2}\).

Ex.5 — Énergie cinétique de rotation

\(I=0{,}18\ \text{kg·m}^2\), \(\omega=100\ \text{rad·s}^{-1}\). Calculer \(E_{c,rot}\).

\(E=\tfrac12 I\omega^2=0{,}5\times 0{,}18\times 10^4=900\ \text{J}\).

Ex.6 — PUISSANCE

Couple moteur \(\tau=8{,}0\ \text{N·m}\), \(\omega=120\ \text{rad·s}^{-1}\). Calculer \(P\).

\(P=\tau\omega=960\ \text{W}\).

Ex.7 — Huygens/Steiner

Tige \(M=0{,}40\ \text{kg}\), \(L=1{,}0\ \text{m}\). \(I_G=\frac{1}{12}ML^2\). Axe à l’extrémité (parallèle). Calculer \(I_{\text{extrémité}}\).

\(I_G=1/12\times 0{,}40\times 1^2=0{,}0333\). \(d=L/2=0{,}5\). \(I=I_G+Md^2=0{,}0333+0{,}40\times 0{,}25=0{,}1333\ \text{kg·m}^2\).

Ex.8 — Freinage visqueux

\(\tau_m=12\ \text{N·m}\), résistance \(\tau_r=k\omega\), \(k=0{,}10\ \text{N·m·s}\), \(I=0{,}50\). Écrire l’E.D. sur \(\omega(t)\) et \(\alpha\) à \(\omega=60\).

\(\sum\tau=\tau_m-\tau_r=I\alpha\Rightarrow 12-0{,}10\omega=0{,}50\,\alpha\). À \(\omega=60\), \(\alpha=(12-6)/0{,}50=12\ \text{rad·s}^{-2}\).

Ex.9 — Temps d’accélération

Partant de repos, couple constant \(\tau=3{,}0\), \(I=0{,}60\). Temps pour atteindre \(\omega=150\) ?

\(\alpha=\tau/I=5\). \(\omega=\alpha t\Rightarrow t=\omega/\alpha=150/5=30\ \text{s}\).

Ex.10 — MCU : effort radial

Petit objet de masse \(m\) fixé au bord \(R\) d’un disque tournant à \(\omega\) cste. Trouver la force minimale de maintien (direction radiale).

\(F=m a_n=mR\omega^2\), dirigée vers l’axe (centripète).

Ex.11 — Disque plein vs couronne

Deux solides (même \(M,R\)) tournent à même \(\omega\). Comparer \(E_{c,rot}\) pour disque plein (\(I=\frac12 MR^2\)) et couronne (\(I=MR^2\)).

\(E\propto I\). Couronne : \(E\) double du disque, car \(I\) double.

Ex.12 — Travail d’un couple

Couple constant \(\tau=4{,}0\ \text{N·m}\). Le solide tourne de \(\Delta\theta=3\ \text{rad}\). Calculer \(W\) et l’augmentation d’énergie cinétique.

\(W=\tau\Delta\theta=12\ \text{J}\). D’après le T.E.C. : \(\Delta E_{c,rot}=W=12\ \text{J}\).

11) Erreurs fréquentes

Confondre degrés et radians (utiliser le radian dans toutes les formules).
Oublier la composante normale \(a_n=r\omega^2\) même si \(\alpha=0\).
Employer \(P=\tau/\omega\) au lieu de \(P=\tau\,\omega\).
Utiliser \(I\) du mauvais axe (penser au théorème de Huygens/Steiner).

12) Mini-fiche

\(\omega=\dfrac{d\theta}{dt}\), \(\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}\), \(v=r\omega\), \(a_t=r\alpha\), \(a_n=r\omega^2\).
Moment : \(\tau=rF\sin\varphi\). Équation : \(\sum\tau=I\alpha\).
Énergies : \(E_{c,rot}=\tfrac12 I\omega^2\), \(P=\tau\omega\).
Usuels : disque \(\frac12 MR^2\), couronne \(MR^2\), tige \(\frac{1}{12}ML^2\).