الموجات الميكانيكية المتوالية
1) مدخل عام وتذكير بالموجات
الظواهر الموجية موجودة في كل مكان: أمواج البحر، الموجات الزلزالية، الصوت، وحتى الضوء (الذي يُدرس في مبحث آخر). في هذا الدرس نهتم بـالموجات الميكانيكية المتوالية التي تحتاج إلى وسط مادي للانتشار.
أفكار أساسية يجب تذكرها من الأولى باك
- الموجة هي نقل اضطراب من نقطة إلى أخرى، وليست نقلًا للمادة.
- سرعة انتشار الموجة في وسط معين ثابتة، وتُقاس بوحدة \(\text{m·s}^{-1}\).
- كل نقطة من الوسط تقوم بحركة اهتزازية حول موضع توازنها.
2) تعريف الموجة الميكانيكية المتوالية وأنواعها
الموجة الميكانيكية المتوالية هي ظاهرة انتشار اضطراب ناتج عن حركة منبع مهتز في وسط مادي، بحيث ينتقل هذا الاضطراب من نقطة إلى أخرى بسرعة محددة دون انتقال المادة على مسافات كبيرة.
تصنيف حسب اتجاه الاهتزاز
- موجة مستعرضة: يكون اتجاه الاهتزاز عموديًا على اتجاه الانتشار (مثال: موجة على حبل مشدود).
- موجة طولية: يكون اتجاه الاهتزاز موازيًا لاتجاه الانتشار (مثال: موجة ضغط/تمدد في نابض).
تصنيف حسب الأبعاد
- موجة أحادية البعد: تنتشر على خط واحد (حبل، نابض).
- موجة ثنائية البعد: تنتشر على سطح (موجة على سطح الماء).
- موجة ثلاثية الأبعاد: تنتشر في الفضاء (موجة صوتية في الهواء).
3) الكميات المميزة للموجة
إزاحة النقطة
نرمز لإزاحة نقطة \(M\) من الوسط في لحظة \(t\) بـ \(y_M(t)\). هي المسافة الموقعة بين موضع النقطة وموضع توازنها.
سعة الموجة، الدور، التردد، الطور
- السعة \(A\): أكبر قيمة مطلقة للإزاحة؛ تقاس بوحدة \(\text{m}\) أو \(\text{cm}\).
- الدور \(T\): الزمن اللازم لقيام النقطة باهتزاز كامل؛ وحدة القياس \(\text{s}\).
- التردد \(f\): عدد الاهتزازات في الثانية؛ \[ f = \frac{1}{T}\quad\text{بوحدة Hz} \]
- الطور: كمية زاويّة تُحدد حالة الاهتزاز (قمة، قاع، مرور بالتوازن…).
| الكمية | الرمز | الوحدة | تفسير مختصر |
|---|---|---|---|
| السعة | \(A\) | m أو cm | أكبر إزاحة عن موضع التوازن |
| الدور | \(T\) | s | المدة بين مرورين متتالين بنفس الطور |
| التردد | \(f\) | Hz | عدد الاهتزازات في الثانية |
4) سرعة الانتشار والطول الموجي والعلاقة \(v = \lambda/T\)
نرصد نقطة \(M_1\) ونقطة \(M_2\) من الوسط، وبينهما مسافة \(\Delta x\). إذا مرّت نفس القمة على \(M_1\) ثم على \(M_2\) بعد زمن \(\Delta t\) فإن سرعة انتشار الموجة هي: \[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]
الطول الموجي
الطول الموجي \(\lambda\) هو المسافة الفاصلة بين نقطتين متتاليتين في نفس الطور (قمتين، قاعتين، أو نقطتين تمران بالتوازن في نفس الاتجاه).
العلاقة الأساسية
في موجة متوالية دورية: \[ v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f \] هذه العلاقة تُستعمل كثيرًا في التمارين لربط الكميات الأربعة \(v,\lambda,T,f\).
5) المقتطف الزمني والمقتطف المكاني
المقتطف الزمني
نثبت نقطة \(M\) من الوسط ونمثل إزاحتها بدلالة الزمن \(y_M(t)\). من هذا المنحنى نستخرج الدور \(T\) (المدة بين قمتين متتاليتين) ثم التردد \(f\).
المقتطف المكاني
نأخذ صورة للموجة في لحظة ثابتة \(t_0\)، ونمثل \(y(x,t_0)\) على طول الوسط. من هذا التمثيل نستخرج الطول الموجي \(\lambda\) (المسافة بين قمتين متتاليتين).
- من المقتطف الزمني ⇒ \(T\) ثم \(f\).
- من المقتطف المكاني ⇒ \(\lambda\).
- باستعمال العلاقة \(v = \lambda/T\) نحصل على سرعة الانتشار.
6) الموجة الجيبية والتعبير الرياضي على حبل
إذا كان المنبع \(S\) يهتز اهتزازًا جيبيًا: \[ y_S(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \] فإن الموجة الناتجة تُسمى موجة ميكانيكية متوالية جيبية، وكل نقطة من الوسط تهتز أيضًا بشكل جيبي بنفس الدور \(T\) والتردد \(f\).
التمثيل الرياضي لموجة جيبية أحادية البعد
إذا انتشرت الموجة على محور \(Ox\) نحو اليمين بسرعة ثابتة \(v\)، فإن إزاحة نقطة موضعها \(x\) في اللحظة \(t\) يمكن أن تُكتب على الشكل: \[ y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \varphi_0) \] حيث:
- \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) النبض الزاوي (بوحدة rad·s\(^{-1}\)).
- \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) العدد الموجي (بوحدة rad·m\(^{-1}\)).
- إشارة الناقص (−) أمام \(kx\) تعني أن انتشار الموجة يتم نحو اليمين.
في مسائل الباك، كثيرًا ما يُعطى لك تعبير من الشكل \(y(x,t)=A\sin(\alpha t+\beta x+\varphi_0)\)، ويُطلب منك استخراج \(A,T,\lambda,v\) واتجاه الانتشار.
7) انتقال الطاقة، شدة الموجة والتخامد
كل نقطة من الوسط تقوم بحركة اهتزازية ⇒ تملك طاقة حركية وطاقة وضع. لذلك تنقل الموجة الطاقة من المنبع إلى نقاط أبعد دون نقل المادة.
الشدة والتخامد (مستوى 2 باك)
- تتناسب الطاقة المنقولة تقريبًا مع مربع السعة \(A^2\).
- في وسط مثالي بدون احتكاك تبقى السعة ثابتة ⇒ نقول إن الموجة بدون تخامد.
- في وسط حقيقي تمتص جزءًا من الطاقة (احتكاكات، تشوهات) تتناقص السعة مع المسافة ⇒ الموجة مخمدة.
8) الانعكاس والانتقال على حدود وسطين
عندما تصل موجة ميكانيكية إلى حدّ فاصل بين وسطين مختلفين (تغيير في توتر الحبل، أو في الكثافة)، يحدث عموماً: جزء منعكس في الوسط الأول وجزء منتقل في الوسط الثاني.
حبل مشدود طرفه ثابت أو حر (معرفة نوعية)
- طرف ثابت: تنعكس الموجة مع انعكاس في الطور (قمة تصبح قاعًا).
- طرف حر: تنعكس الموجة دون انقلاب في الطور (قمة تبقى قمة).
في البرنامج يتم التركيز على الوصف الكيفي (سهم الموجة، نوع الحدود، وضعية العقد والبطن) أكثر من الحسابات التفصيلية للطاقة.
9) أمثلة فيزيائية نموذجية
أ) موجة على حبل
نهز طرف حبل مشدود حركة دورية عمودية ⇒ تنتشر موجة مستعرضة على الحبل. سرعة الانتشار تعتمد على توتر الحبل وكتلته الخطية.
ب) موجة في نابض حلزوني
ندفع طرف نابض ضغطًا ثم نحرره ⇒ تنتشر موجة طولية (مناطق انضغاط وتخلخل) على طول النابض.
ج) موجة على سطح الماء
رمي حصاة في حوض الماء يولد حلقات دائرية؛ كل نقطة من السطح تتحرك بحركة تقريبًا دائرية صغيرة، بينما تنتشر الحلقة نحو الخارج بسرعة ثابتة تقريبًا.
10) تمارين تطبيقية مع التصحيح
التمرين 1 — حساب سرعة الانتشار باستعمال T و λ
في تجربة على حبل مشدود، يعطي المقتطف الزمني لنقطة \(M\) الدور
\(T = 0{,}40\ \text{s}\)، ويُظهر المقتطف المكاني أن الطول الموجي
\(\lambda = 0{,}80\ \text{m}\).
أوجد سرعة انتشار الموجة على الحبل.
نستعمل العلاقة: \[ v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}80}{0{,}40} = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1} \] إذن سرعة انتشار الموجة على الحبل هي \(v = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1}\).
التمرين 2 — استخراج T و f من منحنى زمني
تمثل الوثيقة منحنى الإزاحة \(y_M(t)\) لنقطة من حبل.
تُبين القراءة أن المدة بين قمتين متتاليتين هي \(0{,}25\ \text{s}\).
أوجد الدور \(T\) والتردد \(f\) لهذه الموجة.
الدور هو المدة بين حالتين متتاليتين في نفس الطور: \[ T = 0{,}25\ \text{s} \] ومنه: \[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}25} = 4{,}0\ \text{Hz} \] أي أن المنبع يقوم بأربع اهتزازات في كل ثانية.
التمرين 3 — من معادلة الموجة إلى خصائصها
على حبل أفقي، تمثل إزاحة نقطة موضعها \(x\) في اللحظة \(t\) بالعلاقة:
\[
y(x,t) = 2{,}0 \sin(40\pi t - 8\pi x)
\]
(الوحدات: \(y\) بالـ cm، و\(x\) بالـ m).
استخرج \(A, T, f, \lambda, v\) واتجاه انتشار الموجة.
بمقارنة التعبير مع الشكل: \(y = A\sin(\omega t - kx)\) نجد: \[ A = 2{,}0\ \text{cm},\quad \omega = 40\pi,\quad k = 8\pi \] ثم: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{40\pi} = 0{,}05\ \text{s} \] \[ f = \frac{1}{T} = 20\ \text{Hz} \] \[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{8\pi} = 0{,}25\ \text{m} \] وأخيرًا: \[ v = \lambda f = 0{,}25 \times 20 = 5{,}0\ \text{m·s}^{-1} \] إشارة الناقص أمام \(kx\) تدل على أن الموجة تنتشر نحو اليمين على محور \(Ox\).
التمرين 4 — حساب v من انتقال الطور بين نقطتين
نقطتان \(A\) و\(B\) من حبل تفصل بينهما مسافة \(1{,}5\ \text{m}\).
تمر نفس القمة على \(A\) ثم على \(B\) بعد مدة \(0{,}30\ \text{s}\).
أحسب سرعة انتشار الموجة، ثم استنتج الطول الموجي إذا كان الدور \(T = 0{,}20\ \text{s}\).
أولاً: \[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1{,}5}{0{,}30} = 5{,}0\ \text{m·s}^{-1} \] ثم من العلاقة \(v = \lambda/T\) نجد: \[ \lambda = vT = 5{,}0 \times 0{,}20 = 1{,}0\ \text{m} \]
التمرين 5 — موجة مخمدة أم غير مخمدة؟
عند تصوير موجة على حبل حقيقي نلاحظ أن سعة الاهتزاز تتناقص شيئًا فشيئًا مع الابتعاد عن المنبع.
1) ما اسم هذه الظاهرة؟
2) كيف نفسرها فيزيائيًا؟
3) هل تتغير سرعة الانتشار بالضرورة؟
1) نسمي هذه الظاهرة تخامد الموجة.
2) جزء من الطاقة المنقولة يتحول إلى حرارة داخل الحبل والوسط المحيط بسبب الاحتكاكات
والتشوهات الداخلية ⇒ تنقص الطاقة الميكانيكية للموجة ⇒ تنقص السعة مع المسافة.
3) سرعة الانتشار \(v\) مرتبطة بخصائص الوسط (توتر الحبل والكتلة الخطية) ولا تتغير
بالضرورة مع التخامد ما دامت هذه الخصائص ثابتة.
التمرين 6 — مقارنة بين موجتين
على نفس الحبل تنتشر موجتان جيبيتان: \[ y_1(x,t) = A\sin(\omega t - kx),\quad y_2(x,t) = A\sin(\omega t - 2kx) \] أي الموجتين أسرع انتشارًا؟ علل جوابك.
في الموجة الأولى: \(\lambda_1 = 2\pi/k\). في الثانية: \(\lambda_2 = 2\pi/(2k) = \lambda_1/2\). بما أن الدور \(T\) نفسه (نفس \(\omega\)) فإن: \[ v_1 = \frac{\lambda_1}{T},\quad v_2 = \frac{\lambda_2}{T} = \frac{\lambda_1}{2T} = \frac{v_1}{2} \] إذن الموجة الأولى أسرع من الثانية لأن طولها الموجي أكبر في نفس الوسط.
التمرين 7 — تحديد نوع الموجة (مستعرضة/طولية)
في تجربة على نابض حلزوني، نضغط الطرف الأيسر ثم نتركه. تظهر على النابض مناطق انضغاط
وتخلخل تنتشر على طوله.
1) ما نوع هذه الموجة (مستعرضة أم طولية)؟
2) هل هي موجة أحادية البعد أم ثنائية البعد؟
3) ما الذي يهتز؟ وما الذي ينتقل؟
1) الاهتزاز موازي لاتجاه الانتشار (ضغط/تمدد على طول النابض) ⇒ الموجة طولية.
2) تنتشر على خط واحد (النابض) ⇒ موجة أحادية البعد.
3) حلقات النابض نفسها تهتز حول مواضع توازنها، بينما ينتقل فقط الاضطراب والطاقة
من طرف لآخر.
التمرين 8 — ربط التمثيل البياني بالتعبير الرياضي
من مقتطف زمني لنقطة من حبل نستخلص:
\(A = 1{,}5\ \text{cm}\) و\(T = 0{,}20\ \text{s}\).
كما علمنا أن سرعة انتشار الموجة هي \(v = 4{,}0\ \text{m·s}^{-1}\).
1) أحسب التردد \(f\) والطول الموجي \(\lambda\).
2) اكتب تعبيرًا ممكنًا للموجة من الشكل
\(y(x,t) = A\sin(\omega t - kx)\) (نهمل طور البداية).
1) لدينا: \[ f = \frac{1}{T} = 5{,}0\ \text{Hz},\quad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{4{,}0}{5{,}0} = 0{,}80\ \text{m} \] 2) نحسب: \[ \omega = 2\pi f = 10\pi,\quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}80} = \frac{5\pi}{2} \] وبالتالي يمكن كتابة: \[ y(x,t) = 1{,}5\ \text{cm}\; \sin\!\left(10\pi t - \frac{5\pi}{2}x\right) \] وهي معادلة موجة جيبية تنتشر نحو اليمين على الحبل.