تطبيقات قوانين نيوتن: السقوط الرأسي لجسم صلب

1) بما أننا نهمل مقاومة الهواء، فإن القوة الوحيدة المؤثّرة على الكرة هي ثقلها: \(\vec{P} = m\vec{g}\) نحو الأسفل.

2) مخطط القوى: نرسم نقطة تمثل مركز الكرة، ثم شعاعاً متجهاً نحو الأسفل يمثل \(\vec{P}\) (مع ذكر \(P = mg\)).

3) على المحور العمودي، التسارع ثابت \(a = \pm g\) حسب اختيار الاتجاه، إذن الحركة مستقيمة متسارعة تناسبياً مع الزمن.

1) الثقل: \[ \vec{P} = m\vec{g},\quad |\vec{P}| = mg \] اتجاهه نحو الأسفل (عكس اتجاه المحور \(Oz\)).

2) القانون الثاني لنيوتن: \[ \sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g} \] على المحور \(Oz\) (الموجب للأعلى) تكون مركبة التسارع: \[ a_z = -g \]

3) نلاحظ أن التسارع لا يعتمد على كتلة الجسم \(m\) في هذا النموذج (مع إهمال مقاومة الهواء)، أي أن الأجسام تسقط بنفس التسارع بغض النظر عن كتلتها.

1) لدينا: \[ z(0) = h = 5{,}0,\quad v(0) = 0,\quad a_z = -g = -10 \] إذن: \[ z(t) = h - \dfrac{1}{2} g t^2 = 5{,}0 - 5 t^2 \]

2) عند وصول الجسم إلى الأرض: \[ z(t_{\text{chute}}) = 0 \Rightarrow 5{,}0 - 5 t_{\text{chute}}^2 = 0 \Rightarrow t_{\text{chute}}^2 = 1 \Rightarrow t_{\text{chute}} = 1{,}0\,\mathrm{s} \]

3) السرعة: \[ v(t) = v_0 + a t = 0 - 10 t \Rightarrow v(t_{\text{chute}}) = -10 \times 1{,}0 = -10\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \] (العلامة السالبة تدل على أن السرعة نحو الأسفل، وشدتها \(10\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\)).

1) من: \[ h = \dfrac{1}{2} g t_{\text{chute}}^2 \Rightarrow g = \dfrac{2h}{t_{\text{chute}}^2} \]

2) بالتعويض: \[ g = \dfrac{2 \times 1{,}25}{(0{,}50)^2} = \dfrac{2{,}50}{0{,}25} = 10{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]

3) القيمة التجريبية \(g_{\text{exp}} = 10{,}0\) قريبة من القيمة النظرية \(9{,}8\). الفارق يمكن أن يعود إلى:

• دقة قياس الزمن (خطأ في قراءة الكرونومتر).
• إهمال مقاومة الهواء التي تقلّل فعلياً من تسارع السقوط.
• تقريبات في القياسات (ارتفاع غير مضبوط تماماً).

1) لدينا: \[ a_z = -g = -9{,}8,\quad v(0) = v_0 = 8{,}0 \Rightarrow v(t) = v_0 - g t = 8{,}0 - 9{,}8 t \]

2) عند القمة تكون السرعة منعدمة: \[ v(t_{\text{max}}) = 0 \Rightarrow 8{,}0 - 9{,}8 t_{\text{max}} = 0 \Rightarrow t_{\text{max}} = \dfrac{8{,}0}{9{,}8} \approx 0{,}82\,\mathrm{s} \]

3) الارتفاع الأعظمي: \[ z_{\text{max}} = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{8{,}0^2}{2\times 9{,}8} = \dfrac{64}{19{,}6} \approx 3{,}27\,\mathrm{m} \]

4) عند الرجوع إلى نقطة القذف، نعلم أن الحركة تماثلية (إهمال الاحتكاك)، فتكون شدة السرعة مساوية لـ \(v_0\) لكن في الاتجاه المعاكس: \[ v = -8{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \] (اتجاه نحو الأسفل).

1) ميل المستقيم: \[ a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{-19{,}6 - 0}{2{,}0 - 0} = -9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \] وهو يوافق التسارع.

2) بما أن: \[ a = -g \Rightarrow g = 9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]

3) بما أن التسارع ثابت، فالحركة مستقيمة ومتسارعة بتسارع ثابت.

1) لدينا: \[ z(t) = H - \dfrac{1}{2} g t^2 \] و: \[ v(t) = -g t \]

2) من المعادلة الأولى: \[ H - z = \dfrac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t^2 = \dfrac{2(H - z)}{g} \] ومن الثانية: \[ v^2 = g^2 t^2 = g^2 \dfrac{2(H - z)}{g} = 2 g (H - z) \]

3) عند \(z = h\): \[ v^2 = 2 g (H - h) = 2 \times 9{,}8 \times (25 - 9) = 19{,}6 \times 16 = 313{,}6 \] \[ |v| = \sqrt{313{,}6} \approx 17{,}7\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \] والسرعة نحو الأسفل.

1) بالنسبة لكل جسم: \[ \sum \vec{F} = \vec{P} = m\vec{g} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g} \] إذن تسارع الجسمين هو نفسه \(\vec{g}\)، لا يعتمد على الكتلة.

2) مع نفس الارتفاع الابتدائي ونفس التسارع ومع انطلاق من السكون، ستكون حركة الجسمين متطابقة زمنياً، فيصلان إلى الأرض في نفس اللحظة (نفس \(t_{\text{chute}}\)).

3) سرعة الوصول: \[ v_{\text{impact}} = -\sqrt{2 g h} \] لا تعتمد على الكتلة أيضاً. شدة السرعة نفسها للجسمين، الاتجاه نحو الأسفل.

1) عملياً، تصل قطعة الحديد إلى الأرض أولاً، بينما الورقة تسقط ببطء أكبر وتستغرق زمناً أطول.

2) مقاومة الهواء تؤثّر بشكل أكبر على الأجسام ذات المساحة الكبيرة والكتلة الصغيرة، مثل الورقة. لذلك، قوة المقاومة قد تكون قريبة من ثقل الورقة، مما يقلّل تسارعها، بينما بالنسبة لقطعة الحديد يكون تأثير الهواء ضعيفاً نسبياً.

3) في وجود مقاومة الهواء، التسارع ليس ثابتاً ولا يساوي \(g\) دائماً، بل يكون أقل من \(g\) ويتغيّر مع السرعة. بالنسبة لقطعة الحديد يكون قريباً من \(g\)، أما بالنسبة للورقة فقد يكون أقل بكثير.

في السقوط الرأسي لجسم صلب صغير في الهواء مع إهمال مقاومة الهواء، تكون القوة الوحيدة المؤثّرة هي ثقل الجسم \(\vec{P} = m\vec{g}\) نحو الأسفل. بتطبيق قانون نيوتن الثاني في مرجع أرضي غاليلي تقريباً نحصل على \(\vec{a} = \vec{g}\)، أي أن التسارع ثابت ومستقل عن الكتلة. على محور عمودي، نكتب العلاقات الزمنية \(v(t) = v_0 + a t\) و\(z(t) = z_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\).

في حالة السقوط الحر من السكون، تكون \(v_0 = 0\) فنحصل على \(z(t) = h - \frac{1}{2} g t^2\)، مما يسمح بحساب زمن السقوط \(t_{\text{chute}}\) وسرعة الوصول إلى الأرض. أما في حالة القذف الرأسي إلى الأعلى، يكون \(v_0 > 0\) في اتجاه معاكس للثقل، ويصعد الجسم إلى أن تصبح سرعته منعدمة عند ارتفاع أعظمي، ثم يبدأ في النزول من جديد بنفس التسارع \(g\). هذه النماذج البسيطة تشكّل أساس فهم كثير من الظواهر الميكانيكية في الحياة اليومية.