Mathématiques – 2^ème Bac Économie & Gestion
Limites et continuité

Objectifs (programme marocain – filière Économie & Gestion) : comprendre les limites (finies et infinies), utiliser les propriétés de calcul (somme, produit, quotient, composition), étudier la continuité d’une fonction au point et sur un intervalle, qualifier les discontinuités et lire les asymptotes. Applications à des fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racines, trigonométriques) et à des situations économiques simples (coût moyen, recette marginale, élasticité locale).

Pré-requis
Calcul algébrique, factorisation, racines carrées, valeurs absolues, fonctions usuelles.

Compétences
Calculer des limites, démontrer des continuités, repérer asymptotes, interpréter graphiquement.

Mots-clés
Limite, unilatérale, gendarmes, TVI, continuité, discontinuité, asymptote.

1. Notion de limite

Idée intuitive. On écrit \( \lim_{x\to a} f(x)=L \) lorsque, en faisant \(x\) très proche de \(a\), les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent autant qu’on veut de \(L\). La limite peut être finie (\(L\in\mathbb R\)) ou infinie (\(+\infty,-\infty\)).

Exemple direct. Pour \(f(x)=3x-2\), \( \lim_{x\to 1} f(x)=1 \) (polynôme ⇒ continu).

Trou amovible. \( f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} \) pour \(x\ne 1\). Comme \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), \( f(x)=x+1 \) pour \(x\ne1\) et \( \lim_{x\to1} f(x)=2 \) (valeur manquante en \(1\)).

1.1. Limites unilatérales & unicité

Unilatérales. \( \lim_{x\to a^-} f(x) \) (à gauche) et \( \lim_{x\to a^+} f(x) \) (à droite). La limite (bilatérale) existe ssi les deux existent et sont égales.

Unicité. S’il existe une limite, elle est unique.

1.2. Opérations sur les limites (cas finis)

Si \( \lim f=L \) et \( \lim g=M \) alors \( \lim(f+g)=L+M,\; \lim(kf)=kL,\; \lim(fg)=LM,\; \lim\!\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{L}{M}\ (M\ne0) \).

Formes indéterminées. \( \frac{0}{0},\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty \) → à lever par factorisation, réduction, conjugaison, comparaison, changement de variable…

1.3. Théorème des gendarmes

Si \( g(x)\le f(x)\le h(x) \) près de \(a\) et \( \lim g=\lim h=L \), alors \( \lim f=L \).

Application. \(-1\le\sin t\le1\Rightarrow -|x|\le x\sin\!\frac1x \le |x|\). Comme \(|x|\to0\), \( \lim_{x\to0} x\sin\!\frac1x=0 \).

1.4. Limites usuelles (à connaître)

\( \lim_{x\to a} x = a \), \( \lim_{x\to a} x^n=a^n \) (\(n\in\mathbb N\)), \( \lim k=k \).
\( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 \).
\( \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^n}=0\) pour \(n\ge1\).
Rationnelles à l’infini : si \(P,Q\) polynômes, \( \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}= \begin{cases} 0 & \deg P<\deg Q\\ \dfrac{\text{coeff dom.}(P)}{\text{coeff dom.}(Q)} & \deg P=\deg Q\\ \pm\infty & \deg P>\deg Q \ (\text{selon signes}) \end{cases} \).

2. Limites infinies & asymptotes

Limite infinie en un point. \( \lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) (ou \(-\infty\)) : la courbe monte (ou descend) sans borne près de \(a\). Les rationnelles présentent souvent une asymptote verticale \(x=a\) si le dénominateur s’annule en \(a\) mais pas le numérateur.

Asymptotes à l’infini. Si \( \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell\in\mathbb R \), alors \( y=\ell \) est asymptote horizontale. Si \( \deg P= \deg Q +1 \) pour \( f=\dfrac{P}{Q}\), on peut obtenir une asymptote oblique par la division euclidienne \( f(x)=ax+b+\dfrac{r(x)}{Q(x)} \) (le terme \(ax+b\) est l’asymptote).

Discontinuité amovible : \( \tfrac{x^2-1}{x-1} \), prolongeable par \(2\) en \(x=1\).

Asymptote verticale : \( f(x)=\dfrac{1}{x-1} \) en \(x=1\).

3. Continuité

Définition. \(f\) est continue en \(a\) si \( \lim_{x\to a} f(x)=f(a) \) (et \(f(a)\) est défini). Continue sur un intervalle si continue en tout point.

Fonctions de référence. Les polynômes sont continus sur \(\mathbb R\). Une rationnelle \( \tfrac{P}{Q} \) est continue là où \(Q\ne0\). \( \sin,\cos \) sont continues sur \(\mathbb R\) ; \( \sqrt{x} \) est continue sur \([0,+\infty[ \).

3.1. Stabilité de la continuité

Si \(f,g\) sont continues en \(a\) alors \(f\pm g\), \(k f\), \(f g\), \( \dfrac{f}{g}\ (g(a)\ne0)\) sont continues en \(a\). Si \(f\) est continue en \(a\) et \(g\) est continue en \(f(a)\), alors \(g\circ f\) est continue en \(a\).

3.2. Types de discontinuités

Amovible : limite existe mais \(f(a)\) absent/différent → prolongeable.
De saut : \( \lim_{x\to a^-}f \ne \lim_{x\to a^+}f \) (ex : fonction “prix palier”).
Essentielle : oscillations (pas de limite) ou limites infinies.

3.3. TVI (théorème des valeurs intermédiaires)

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(y\) est entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors \(\exists c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=y\). En particulier, si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, \(f\) a au moins une racine.

En économie, le TVI justifie l’existence d’un prix d’équilibre lorsque l’offre et la demande sont continues et prennent des valeurs de signes opposés.

4. Techniques de calcul de limites

Factorisation / simplification

Mettre en évidence \((x-a)\) pour lever \(0/0\).
Réduire au même dénominateur, simplifier par un facteur non nul près du point.

Conjugaison (radicaux)

Multiplier par la conjugée : \( \sqrt{u}-\sqrt{v} = \dfrac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \).

Comparaisons

À l’infini : comparer les degrés des polynômes ; utiliser \( \frac{1}{x^n}\to0\).

Changement de variable

Ex : \( x\to a+h\) avec \(h\to0\) ; utile pour symétries ou racines.

Mini-simulateur — trou et limite

\( f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} \) si \(x\ne1\) x :

Pour \(x\) proche de \(1\) (mais \(x\ne1\)), \( f(x)=x+1 \) ≈ 1.85 → la limite vaut \(2\).

5. Applications économiques simples

Coût moyen. Si \( C(x)=ax^2+bx+c\) est le coût total (en MAD) pour \(x\) unités, alors le coût moyen \( \overline{C}(x)=\dfrac{C(x)}{x}=ax+b+\dfrac{c}{x}\).
À long terme \(x\to +\infty\), \( \lim \overline{C}(x)=+\infty\) si \(a>0\) (production très coûteuse), tandis que si \(C(x)=bx+c\) (linéaire), \( \lim \overline{C}(x)=b\) (coût unitaire).

Recette unitaire et élasticité locale. Si \( R(x)=p(x)\,x\) avec \(p\) prix dépendant de la quantité, l’étude des limites de \(p(x)\) ou \(R(x)/x\) à \(+\infty\) permet d’évaluer un prix plancher.

6. Exercices (12) — avec solutions détaillées

Exercice 1 — Limite par factorisation

Calculer \( \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \).

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\Rightarrow\) pour \(x\ne3\), la fraction vaut \(x+3\). Limite \(=6\).

Exercice 2 — Forme indéterminée \(0/0\)

\( \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \).

Conjugaison : \( \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}\to \frac12 \).

Exercice 3 — À l’infini (mêmes degrés)

\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{5x^2-3x+1}{x^2+2} \).

Diviser par \(x^2\) : \( \frac{5-3/x+1/x^2}{1+2/x^2}\to 5\). Asymptote horizontale \(y=5\).

Exercice 4 — Asymptote verticale

Pour \( f(x)=\dfrac{2x+1}{x-4} \), étudier \( \lim_{x\to4^\pm} f(x) \).

Numérateur \(9\ne0\) ; dénominateur \(\to0^\pm\) ⇒ \( \lim_{x\to4^\pm} f(x)=\pm\infty \). Asymptote \(x=4\).

Exercice 5 — Continuité d’une rationnelle

Étudier la continuité de \( f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} \) sur \(\mathbb R\) et le prolongement en \(1\).

Sur \( \mathbb R\setminus\{1\}\), \( f(x)=x+1\) ⇒ continue. \( \lim_{x\to1} f(x)=2\). Poser \(f(1)=2\) donne une continuité globale.

Exercice 6 — Gendarmes

Montrer \( \displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\!\frac{1}{x}=0 \).

\(-1\le\sin\!\frac1x\le1\Rightarrow -|x|\le x\sin\!\frac1x\le |x|\). Comme \(|x|\to0\), la limite vaut \(0\).

Exercice 7 — Limites unilatérales et saut

\( f(x)=\begin{cases}2x+1 & x<0\\ x^2 & x\ge 0\end{cases} \). Étudier la limite et la continuité en \(0\).

\( \lim_{0^-} f=1\), \( \lim_{0^+} f=0\) ⇒ pas de limite, discontinuité de saut en \(0\).

Exercice 8 — Radicaux

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x} \).

Conjugaison ⇒ \( \frac{1}{\sqrt{4+x}+2}\to \frac14\).

Exercice 9 — Croissances comparées

\( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^3-2x}{5x^2+7} \).

Degré numérateur \(3\) > degré dénominateur \(2\) ⇒ \(+\infty\). (Asymptote oblique possible par division.)

Exercice 10 — TVI

Montrer que \( p(x)=x^3-2x-5 \) admet au moins une solution dans \([2,3]\).

\(p\) polynôme ⇒ continu. \(p(2)=-1<0\), \(p(3)=16>0\). Par TVI, \(\exists c\in[2,3]\) tel que \(p(c)=0\).

Exercice 11 — Pièce économique (coût moyen)

Pour \(C(x)=2x^2+40x+100\) (MAD), étudier \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \overline{C}(x)=\lim \frac{C(x)}{x} \).

\(\overline{C}(x)=2x+40+\frac{100}{x}\to +\infty\). La production devient très coûteuse à long terme (modèle quadratique).

Exercice 12 — Continuité d’une valeur absolue

Étudier la continuité de \( f(x)=|x-2| \) en \(x=2\).

Unilatérales : \( \lim_{x\to2^-} |x-2|=0=\lim_{x\to2^+} |x-2| \) et \( f(2)=0\). Donc \(f\) est continue en \(2\).

7. Mémo – méthodes express

À un point \(a\)

Tester \(f(a)\). Si \(0/0\) : factoriser, conjuguer.
Utiliser la continuité de référence (polynômes, trig, racine sur domaine).

À l’infini

Rationnelles : comparer degrés.
Présence d’asymptote horizontale si limite finie.

Continuité

Vérifier que \(f(a)\) existe et \( \lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).
Pièces (par morceaux) : étudier limites unilatérales.

8. Synthèse — erreurs à éviter

Confondre existence de la limite et existence de \(f(a)\) (un trou peut avoir une limite).
Oublier de vérifier le domaine d’une rationnelle (zéros du dénominateur).
Arrêter le calcul sur une forme indéterminée sans la lever.
À l’infini : ne pas comparer les degrés des polynômes.
En continuité par morceaux : toujours comparer les limites à gauche/droite.