Mathématiques – 2ème Bac Économie & Gestion
Fonctions exponentielles
Ce chapitre présente la fonction exponentielle de base \(e\), notée \(e^x\), ainsi que les exponentielles de base \(a>0\) (\(a\ne1\)). Nous étudierons leurs propriétés algébriques, leurs limites, la dérivation, la résolution d’équations/inéquations, les comparaisons de croissance et les applications économiques (intérêts composés, capitalisation continue, inflation, amortissement).
Compétences
Transformer et calculer avec \(e^x\) et \(a^x\), dériver/étudier des fonctions exponentielles, résoudre équations/inéquations.
Transformer et calculer avec \(e^x\) et \(a^x\), dériver/étudier des fonctions exponentielles, résoudre équations/inéquations.
Mots-clés
Exponentielle, base \(e\), \(a^x\), dérivée \(e^x\), croissance/ décroissance, équations \(a^{u(x)}\).
Exponentielle, base \(e\), \(a^x\), dérivée \(e^x\), croissance/ décroissance, équations \(a^{u(x)}\).
Applications
Intérêts composés, taux continus, croissance/décroissance, dépréciation, élasticité.
Intérêts composés, taux continus, croissance/décroissance, dépréciation, élasticité.
1. Définitions et domaine
Exponentielle de base \(e\).
La fonction \( \exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^\* \) définie par \( \exp(x)=e^x \) (où \(e\approx 2{,}71828\)) est continue, strictement croissante et toujours positive.
Son image est \(]0,+\infty[\), et elle est bijection de \(\mathbb R\) vers \(]0,+\infty[\). Son inverse est le logarithme népérien \(\ln\).
Exponentielle de base \(a\).
Pour \(a>0\), \(a\ne1\), on définit \(a^x = e^{x\ln a}\).
- Si \(a>1\), \(a^x\) est croissante.
- Si \(0<a<1\), \(a^x\) est décroissante.
Exponentielle croissante (base >1) et décroissante (base <1). Domaine : \(\mathbb R\), image : \(]0,+\infty[\).
2. Propriétés algébriques fondamentales
Pour tout \(x,y\in\mathbb R\), \(a>0\) (\(a\ne1\)) :
- \(e^{x+y}=e^x e^y\), \quad \(e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}\), \quad \((e^x)^k=e^{kx}\).
- \(a^{x+y}=a^x a^y\), \quad \((a^x)^k=a^{kx}\), \quad \(a^x = e^{x\ln a}\).
- \(e^0=1\), \(e^{\ln u}=u\) si \(u>0\), \(\ \ln(e^x)=x\).
À la différence des logarithmes : il n’existe pas de formule simple pour \(e^{u+v}\) lorsqu’il s’agit de sommes dans l’exposant qui dépendent de \(x\) (on garde \(e^{u(x)+v(x)}=e^{u(x)}e^{v(x)}\)).
Exemples rapides.
\(2^{3x-1} = 2^{-1}\cdot (2^3)^x = \dfrac{1}{2}\cdot 8^x\). \quad
\(5^{\ln x} = e^{(\ln x)\ln 5} = x^{\ln 5}\) (pour \(x>0\)).
3. Limites essentielles et comparaisons de croissance
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty\), \quad \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^x = 0\).
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\) pour tout \(n\in\mathbb N\) (l’exponentielle croît plus vite que toute puissance).
- \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{e^x}=0\) (l’exponentielle croît plus vite que le logarithme).
Pour des limites du type \(\dfrac{e^{ax}}{e^{bx}}\), factoriser \(e^{bx}\) : \(\dfrac{e^{ax}}{e^{bx}}=e^{(a-b)x}\).
4. Dérivation et variations
Dérivées.
\[
(e^x)'=e^x,\qquad (a^x)' = a^x \ln a \quad (a>0,\,a\ne1).
\]
Par chaîne : si \(u\) est dérivable, \((e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}\) et \((a^{u(x)})' = u'(x)\,a^{u(x)}\ln a\).
Exemples.
\((e^{3x-1})' = 3\,e^{3x-1}\). \quad \((2^{x^2})'=2^{x^2}\ln 2 \cdot 2x\).
Variations. Sur \(\mathbb R\), \(e^x\) est strictement croissante (dérivée \(e^x>0\)). Pour \(a^x\), le sens de variation dépend de \(a\) :
croissante si \(a>1\), décroissante si \(0<a<1\).
5. Équations et inéquations exponentielles
Méthode générale : Ramener à une base commune (ou utiliser \(\ln\)), isoler l’exponentielle, prendre le logarithme si nécessaire (en respectant le domaine \(>0\)).
Équation simple.
Résoudre \(e^{2x-3}=5 \Rightarrow 2x-3=\ln 5 \Rightarrow x=\dfrac{3+\ln 5}{2}\).
Inéquation.
Résoudre \(2^{x}\ge 7\). Comme \(2^x\) est croissante, \(x\ge \log_2 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 2}\).
Toujours vérifier le domaine avant de logarithmer : on ne prend \(\ln\) que de quantités strictement positives.
6. Étude de fonctions avec exponentielle
Exemple type.
Étudier \(f(x)=x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
- \(f'(x)=e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x)\).
- Signe de \(f'\) : positif si \(x<1\), nul en \(x=1\), négatif si \(x>1\).
- Variations : croît sur \((-\infty,1]\), décroît sur \([1,+\infty)\). Maximum en \(x=1\) : \(f(1)=e^{-1}\).
- Limites : \(f(x)\to 0\) quand \(x\to +\infty\) (exponentielle domine), et \(f(x)\to -\infty\) quand \(x\to -\infty\) (car \(e^{-x}\to+\infty\) et \(x\to -\infty\)).
Pour des produits polynôme \(\times\) exponentielle, factoriser l’exponentielle et étudier la partie polynomiale (méthode standard bac).
7. Applications économiques
Intérêts composés (périodiques).
\(C_n=C_0(1+t)^n\). On peut comparer à \(e^{n\ln(1+t)}\) : pour de petits \(t\), \( (1+t)^n \approx e^{nt} \).
Capitalisation continue.
À taux continu \(r\), \(C(t)=C_0\,e^{rt}\). Le taux discret équivalent sur une période est \((e^{r}-1)\).
Inflation / Dépréciation.
Si un prix croît au taux \(i\) par période, \(P_n=P_0(1+i)^n\). En continu, \(P(t)=P_0 e^{it}\).
Pour une dépréciation à taux \(k\), \(V(t)=V_0 e^{-kt}\).
Pour linéariser une loi multiplicative \(y=A\,e^{bx}\), prendre le logarithme : \(\ln y = \ln A + bx\) (modèle linéaire en \(x\)).
8. Exercices (12) — avec solutions détaillées
Exercice 1 — Propriétés algébriques
Simplifier \(A=\dfrac{e^{3x}\cdot e^{-x}}{e^{2}}\).
\(A=e^{(3x-x)}\cdot e^{-2}=e^{2x-2}\).
Exercice 2 — Dérivation
Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x)=e^{4x-1}\).
\(f'(x)=4\,e^{4x-1}\) (chaîne).
Exercice 3 — Dérivation (base \(a\))
Soit \(g(x)=3^{x^2}\). Calculer \(g'(x)\).
\(g'(x)=3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x(\ln 3)\,3^{x^2}\).
Exercice 4 — Équation exponentielle
Résoudre \(e^{2x}+e^{x}-6=0\).
Poser \(y=e^{x}>0\) : \(y^2+y-6=0\Rightarrow (y-2)(y+3)=0\Rightarrow y=2\) (seul valable) ⇒ \(x=\ln 2\).
Exercice 5 — Inéquation
Résoudre \(0.5^{\,x}\le 0.1\).
Base \(0.5<1\) décroissante : \(x\ge \log_{0.5}(0.1)=\dfrac{\ln 0.1}{\ln 0.5}\approx 3.3219\).
Exercice 6 — Limite
Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{x^5}\).
Exercice 7 — Étude de signe
Étudier le signe de \(h(x)=e^{x}-x-1\) sur \(\mathbb R\).
\(h(0)=0\). \(h'(x)=e^{x}-1\) : négatif sur \((-\infty,0)\), nul en \(0\), positif sur \((0,+\infty)\).
Donc \(h(x)\ge0\) pour tout \(x\) (inégalité classique \(e^x\ge 1+x\)).
Exercice 8 — Étude de fonction
Étudier \(f(x)=x e^{-x}\) (variations, extremum).
Voir cours : maximum en \(x=1\) de valeur \(e^{-1}\), croissante puis décroissante.
Exercice 9 — Intérêts composés (discret)
Capital \(C_0=20\,000\) MAD, taux annuel \(t=5\%\), sur 6 ans.
\(C_6=C_0(1+t)^6=20\,000(1.05)^6\approx 26\,838\ \text{MAD}.\)
Exercice 10 — Capitalisation continue
Capital \(10\,000\) MAD au taux continu \(r=4\%\) pendant 5 ans.
\(C(5)=10\,000\,e^{0.04\times 5}=10\,000\,e^{0.2}\approx 12\,214\ \text{MAD}.\)
Exercice 11 — Inflation
Un indice de prix croît à \(3\%\)/an. Estimer le facteur en 10 ans : discret et continu.
Discret : \((1.03)^{10}\approx 1.3439\). Continu : \(e^{0.03\times 10}=e^{0.3}\approx 1.3499\).
Exercice 12 — Équation avec base \(a\)
Résoudre \(4^{x+1}=3\cdot 2^{2x}\).
\(4^{x+1}=4\cdot 4^{x}=4\cdot (2^2)^x=4\cdot 2^{2x}\). Donc \(4\cdot 2^{2x}=3\cdot 2^{2x}\Rightarrow 4=3\) impossible ?
En réalité, diviser par \(2^{2x}\,>0\) donne \(4=3\), contradiction ⇒ aucune solution.
9. Fiches-mémo & erreurs à éviter
Mémo
- \(e^{x+y}=e^x e^y\), \((e^x)'=e^x\).
- \(a^x=e^{x\ln a}\), \((a^x)'=a^x\ln a\).
- \(\lim_{x\to-\infty} e^x=0\), \(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\).
- Équations : logarithmer après avoir isolé l’exponentielle.
Pièges
- Oublier que \(a^x>0\) : pas de solution si on exige une valeur négative.
- Logarithmer une quantité \(\le 0\) (interdit).
- Confondre croissance/décroissance selon la base (\(a>1\) vs \(0<a<1\)).
- Oublier la chaîne : \((e^{u(x)})'=u'(x)\,e^{u(x)}\).