Mathématiques – 2ème Bac Économie & Gestion
Fonctions primitives et calcul intégral
Ce chapitre introduit la notion de primitive d’une fonction, la table des primitives usuelles, les méthodes de calcul (linéarité, changement de variable simple), puis définit l’intégrale définie sur un intervalle et ses propriétés (additivité, monotonie, positivité, inégalité des gendarmes). On applique ces outils à des problèmes d’aires et à des situations économiques (coût total à partir du coût marginal, recette à partir de la recette marginale, surplus).
Compétences
Reconnaître/Calculer des primitives, utiliser \(\displaystyle\int_a^b f\), interpréter l’aire signée, appliquer le théorème fondamental.
Reconnaître/Calculer des primitives, utiliser \(\displaystyle\int_a^b f\), interpréter l’aire signée, appliquer le théorème fondamental.
Mots-clés
Primitive, intégrale, aire signée, additivité, changement de variable, Newton–Leibniz.
Primitive, intégrale, aire signée, additivité, changement de variable, Newton–Leibniz.
Applications
Coût total/recette totale, surplus consommateur/producteur, moyenne intégrale.
Coût total/recette totale, surplus consommateur/producteur, moyenne intégrale.
1. Notion de primitive
Définition.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que
\[
F'(x)=f(x)\ \text{pour tout }x\in I.
\]
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) avec \(C\in\mathbb R\).
Unicité à constante près. Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \(G=F+C\).
Exemples.
- De \(f(x)=x^n\) (\(n\ne -1\)) : une primitive est \(\displaystyle F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
- De \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\) : \(F(x)=\ln x\).
- De \(f(x)=e^x\) : \(F(x)=e^x\).
2. Table des primitives usuelles et règles
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | — |
| \(x^n\) (\(n\ne -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | — |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\ne0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(a^x\) (\(a>0,a\ne1\)) | \(\dfrac{a^x}{\ln a}\) | — |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | — |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | — |
| \(\dfrac{1}{x^2+1}\) | \(\arctan x\) | (selon programme, rappel utile) |
Linéarité. Pour \(a,b\in\mathbb R\): une primitive de \(a f+b g\) est \(aF+bG\) si \(F' = f\) et \(G' = g\).
Changement de variable simple (chaîne). Si \(u(x)\) est dérivable et \(F'(t)=f(t)\), alors
\[
\int f(u(x))\,u'(x)\,dx=F(u(x))+C.
\]
(Cas fréquents : \(\int \frac{u'(x)}{u(x)}dx=\ln|u(x)|+C\), \(\int e^{u(x)}u'(x)dx=e^{u(x)}+C\).)
3. Intégrale définie et aire signée
Définition (admis au lycée).
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) (\(aintégrale définie de \(f\) sur \([a,b]\) est notée
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx,
\]
et représente l’aire algébrique délimitée par la courbe \(y=f(x)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\) (positive au-dessus de l’axe, négative en dessous).
Théorème fondamental (Newton–Leibniz).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), alors
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]
Interprétation géométrique : aire algébrique sous \(f\) entre \(x=a\) et \(x=b\).
4. Propriétés essentielles de l’intégrale
- Linéarité : \(\int_a^b (\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\).
- Changement d’orientation : \(\int_a^b f=-\int_b^a f\).
- Additivité sur les intervalles : si \(a\le c\le b\), \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\).
- Positivité : si \(f\ge0\) sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b f\ge0\).
- Monotonie : si \(f\le g\) sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b f\le\int_a^b g\).
Pour borner une intégrale, encadrez la fonction (\(m\le f\le M\)) : alors \(m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\).
5. Méthodes de calcul
Par primitives. Choisir une primitive \(F\) puis appliquer \( \int_a^b f = F(b)-F(a)\).
Changement de variable simple. Avec \(u=u(x)\), \(du=u'(x)\,dx\) :
\[
\int_a^b f(u(x))u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du.
\]
(Cas typiques : \(\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|,\ \int e^u du=e^u\).)
Exemples rapides.
- \(\displaystyle \int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx = \left[x^3-2x^2+x\right]_0^2 = (8-8+2)-(0)=2.\)
- \(\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=\ln x\big|_1^e = 1-0=1.\)
- \(\displaystyle \int_0^1 2x e^{x^2}dx\). Poser \(u=x^2\Rightarrow du=2x\,dx\) : \(\int_0^1 e^{u}du= e-1.\)
6. Moyenne intégrale et applications économiques
Valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) :
\[
f_{\text{moy}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Coût marginal \(\to\) coût total.
Si \(C'(x)=c_m(x)\) et \(C(0)=C_0\), alors \(C(q)=C_0+\int_0^q c_m(x)\,dx\).
Recette marginale \(\to\) recette totale.
Si \(R'(x)=r_m(x)\) et \(R(0)=0\), alors \(R(q)=\int_0^q r_m(x)\,dx\).
Surplus consommateur (idée).
Avec demande \(p_D(x)\) et prix d’équilibre \(p^\star\), le surplus consommateur \(\approx \int_0^{q^\star} \big(p_D(x)-p^\star\big)_+\,dx\) (zone au-dessus du prix et sous la courbe de demande).
7. Exercices (12) — avec solutions détaillées
Exercice 1 — Primitive polynomiale
Trouver une primitive de \(f(x)=4x^3-6x+5\), puis calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx\).
\(F(x)=x^4-3x^2+5x\). Donc \(\int_{0}^{2} f = F(2)-F(0)=(16-12+10)-0=14.\)
Exercice 2 — Logarithme
Calculer \(\displaystyle\int_{1}^{e^2} \frac{1}{x}\,dx\).
\(\ln x\big|_{1}^{e^2}=2-0=2.\)
Exercice 3 — Exponentielle composée
Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^2 e^{x^3}\,dx\).
Poser \(u=x^3\Rightarrow du=3x^2 dx\). Limites : \(u(0)=0, u(1)=1\). Intégrale \(=\int_0^1 e^{u}du=e-1.\)
Exercice 4 — Fraction rationnelle simple
Calculer \(\displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+1}\,dx\).
Scinder : \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx + \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1)+\arctan x + C.\)
Exercice 5 — Aire algébrique
Soit \(f(x)=x-1\). Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)dx\).
Primitive \(F(x)=\tfrac{x^2}{2}-x\). Valeur : \((\tfrac{9}{2}-3)-(\tfrac{0}{2}-0)=\tfrac{3}{2}\).
Exercice 6 — Encadrement
Sur \([0,1]\), on a \(0\le \sin x \le x\). Encadrer \(\displaystyle\int_0^1 \sin x\,dx\).
Par monotonie : \(0\le \int_0^1 \sin x\,dx \le \int_0^1 x\,dx=\tfrac12\). En réalité \(\int_0^1 \sin x\,dx=1-\cos 1\approx0.4597\).
Exercice 7 — Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\) est ?
\(f_{\text{moy}}=\dfrac{1}{2-0}\int_0^2 x^2 dx=\dfrac{1}{2}\cdot \tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}.\)
Exercice 8 — Application économique (coût)
Un coût marginal est \(c_m(x)=2x+4\) (en MAD/unité). Sachant \(C(0)=100\), déterminer \(C(q)\).
\(C(q)=100+\int_0^q (2x+4)\,dx=100+\left[x^2+4x\right]_0^q=100+q^2+4q.\)
Exercice 9 — Application économique (recette)
Recette marginale \(r_m(x)=30-2x\) (MAD/unité), \(R(0)=0\). Calculer \(R(q)\) et le \(q\) maximisant \(R\).
\(R(q)=\int_0^q (30-2x)dx=[30x-x^2]_0^q=30q-q^2\). Maximum quand \(R'(q)=30-2q=0\Rightarrow q=15\).
Exercice 10 — Bornes par valeurs extrêmes
Sur \([1,3]\), \(2\le f(x)\le5\). Encadrer \(\displaystyle\int_1^3 f(x)dx\).
\(2\cdot(3-1)\le\int_1^3 f\le 5\cdot(3-1)\Rightarrow 4\le\int_1^3 f\le 10.\)
Exercice 11 — Changement de variable
Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} e^{2t}\,dt\).
\(\int e^{2t}dt=\tfrac12 e^{2t}\). Valeur : \(\tfrac12\big(e^{2\ln 3}-1\big)=\tfrac12(3^2-1)=4.\)
Exercice 12 — Étude d’une aire signée
Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2-1)\,dx\) et interpréter.
Primitive \(F=\tfrac{x^3}{3}-x\). Valeur : \(\left(\tfrac{8}{3}-2\right)-\left(-\tfrac{1}{3}+1\right)=\tfrac{8-6+1-3}{3}=0.\)
Les aires positives et négatives se compensent (symétrie par rapport à \(x=\pm1\)).
8. Synthèse — erreurs à éviter
- Confondre primitive et dérivée (sens inverse !).
- Oublier la constante \(+C\) pour une primitive indéfinie.
- Appliquer \(\int \frac{u'}{u}=\ln|u|\) sans vérifier que \(u(x)\neq0\) et le domaine.
- Se tromper d’orientation : \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
- Interpréter \(\int_a^b f\) comme une aire géométrique toujours positive : c’est une aire algébrique (signée).